Автор: В. В. Барышев, А. В.Корощенко
Источник: Вісник кафедри "Електротехніка" за підсумками наукової діяльності студентів.-Донецьк, ДонНТУ, 2011-181 с.
В. В. Барышев, А. В.Корощенко. Использование векторной алгебры в теории электрических цепей. В статье рассмотрены области применения веторной алгебры в ТОЭ
В теории электрических цепей элементы векторной алгебры широко используются в символическом (комплексном) методе расчета и анализа цепей синусоидального тока, а также в методе векторных диаграмм (без применения комплексных величин). Однако при изучении курса понимаю физического математического и геометрического смысла понятий векторной алгебры не уделяется достаточного внимания. В данной работе предпринята попытка провести параллели между теорией цепей и векторной алгеброй.
В символическом методе используется то обстоятельство, что синусоидальную величину можно представить вращающимся вектором на комплексной плоскости. Если таких величин несколько и они все одной частоты (например, токи и напряжения некоторой цепи синусоидального тока с одним или несколькими источниками, но одной частоты), их можно рассматривать в некоторый определённый момент времени (обычно t=0), и тогда мы получаем неподвижные векторы, которые не зависят от времени, являются константами. Совокупность таких векторов называется векторной диаграммой. В отличие от цепей постоянного тока, где токи и напряжения являются действительными константами, в цепях переменного тока они являются комплексными величинами (или векторными).
Умножение и деление вектора на число находит свое отражение в законез Ома для резистора в комплексной форме: rI=U или U/r=I. При последовательном соединении нескольких резисторов получаем (r1+r2+r3)I = r1I+r2I+r3I– свойство распределительности по отношению к числовому множителю; при использовании метода наложения, когда в одном резисторе протекает несколько составляющих тока, получаем r(I+I)= rI+rI - свойство распределительности по отношению к векторному множителю.
В уравнениях по законам Кирхгофа используются сложение и вычитание векторов, например, I = I1+I2+I3 и E = U1+U2+U3, причем слагаемые можно менять местами, то есть работает свойство сочетательности. Векторные диаграммы строятся таким образом, чтобы было видно выполнение законов Кирхгофа в комплексной форме. Чаще используется построение суммы векторов по правилу «треугольника». Uab = Ua - Ub – есть выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца. С суммой противоположных векторов приходится иметь дело при сложении напряжений при последовательном соединении элементов r, L, C (резистора, индуктивности, емкости). Здесь векторы UL и UC противоположно направлены. Можно вектор проецировать на оси координат (на ось действительных и ось мнимых чисел), то есть представлять комплексную величину в алгебраической форме записи; можно находить проекцию вектора на другой вектор. В последнем случае, когда раскладывают вектор напряжения на направление тока, ведут речь об активной составляющей (параллельной току, являющейся проекцией напряжения на вектор тока) и реактивной составляющей (перпендикулярной току) напряжения; аналогично получаем активную и реактивную составляющие тока.
Своё отражение находят теоремы о проекциях вектора. Так, проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. В связи с этим комплексы представляются в алгебраической форме, и отдельно складываются действительные, а отдельно – мнимые части. Отдельно складываются активные, и отдельно – реактивные составляющие напряжений и токов. В соответствии с другой теоремой алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором. Получаем: U1=UcosW U2=Ucos(90-W). Тут W – начальная фаза напряжения. Аналогично для ток
Длина вектора выражается через его координаты |a|=(x2+y2+z2). На комплексной плоскости имеем дело лишь с двумя координатами, поэтому U=U12+U22 или U=Uа2+Uр2. Последнее выражение носит название треугольника напряжений, который возникает в случае последовательного соединения сопротивлений. Это же применимо к токам в случае параллельного соединения.
Скалярному умножению векторов соответствует формула активной мощности – Р=UIcosф, где ф – угол сдвига фаз между током и напряжением. Пусть комплексы напряжения и тока представлены в алгебраической форме – U=U1+jU2, I=I1+jI2. По определению скалярного произведения, зная координаты векторов, мы должны получить U1I1+U2I2. Однако, возводя мнимую единицу в квадрат, мы получаем знак минус перед вторым слагаемым. С целью получения плюса мы обязаны взять либо сопряжённый комплекс напряжения, либо сопряжённый комплекс тока. Принято умножать комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока. Таким образом, для активной мощности в комплексной форме получаем следующую формулу: Р=Re(UI*). Кроме того, скалярное произведение можно найти, перемножая длину первого вектора на проекцию второго на первый или длину второго вектора на проекцию первого на второй. Получаем следующие формулы для активной мощности: P=UaI=UIa.
Угол между осью координат и вектором и между вектором используется в коэффициенте мощности cosф= x/(x2+y2+z2) =x/|a| = Re(UI*)/(|U||I*|) =P/S. Здесь S2=P2+Q2; S (полная мощность), Р (активная мощность), Q (реактивная мощность) образуют треугольник мощностей.
Векторному произведению двух векторов соответствует формула реактивной мощности – Q=UIsinф. В случае всего двух координат (на комплексной плоскости) получаем UI = j(U1I2-U2I1), а надо получить -j(U1I2-U2I1). В связи с этим нужно рассматривать векторное произведение IU.. В комплексной форме мы приходим к искусственной формуле Q=Im(UI*). Следствия: наибольшее значение реактивной мощности получается в случае чисто реактивного характера цепи, когда напряжение и ток взаимно перпендикулярны, а вот в случае резистивного характера цепи, когда ток и напряжение совпадают по фазе, реактивная мощность отсутствует.
Вывод: знание векторной алгебры способствует лучшему пониманию теории электрических цепей. Правильное использование векторной алгебры уберегает от многих ошибок при анализе цепей и может быть основой для некоторых методов расчета.
1. Рибалко М. П., Есауленко В. О., Костенко В. І. Теоретичні основи електротехніки: лінійні електричні кола: Підручник.-Донецьк: Новий світ, 2003.-513с.