Аннотация

A.G. Phadke and J.S. Thorp. Выборочные данные и наложение спектров (эффект наложения сигнала). Дискретное преобразование Фурье.

Математическая база для описания процесса получения синхронизированых данных в устройствах PMU. Примеры обработки входного сигнала выборки данных с разложением в ряд Фурье.

 

1.4 Выборочные данные и наложение спектров (эффект наложения
сигнала)

Выборка данных входных сигналов является отправной точкой цифровой обработки сигнала. Вычисление векторов напряжений и токов начинается с образцов формы волны, взятых с равномерными интервалами kΔT {k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,± 4, · · · · · ·}. Рассмотрим входной сигнал x(t), который проходит процесс дискретизации, что дает нам выборку данных х(kΔT).

Мы можем рассмотреть эту выборку данных как функцию времени х'(t), состоящую из равномерно расположенных импульсов, каждый из которых имеет величину х(kΔT):

Можно произвести преобразование Фурье выборочных данных функции 1.11. Заметьте, что выборочные данные функции – это произведение функции x(t) и дискретной функции δ(t–k&ёDelta;T), это произведение показано в выражении 1.9. Дейсвительно, преобразование Фурье X′(f) функции x′(t) – это свертка преобразования Фурье x(t) и единичной последовательности импульсов (Гребень Дирака). Исходя из Свойства 6, преобразование Фурье последовательности импульсов – это

Действительно, преобразование Фурье функции выборки данных - это свертки от Δ(f) и X(f)

Порядок суммирования и интегрирования был изменен на обратный (в тех случаях, если это допустимо), а интеграл оценивается, используя выборочное свойство импульсной функции. Отношение между преобразованиями Фурье - x(t) и х'(t) показано на рисунке 1.6. Преобразование Фурье x(t) ограничено линией – это означает, что преобразование не имеет компонентов за пределами частоты отсечки fc.

Выборка данных включает в себя преобразование Фурье, которое состоит из бесконечной последовательности преобразований Фурье x(t) с центром в частотных интервалах (k/ΔT) для всех значений k. Напомним, что интервал дискретизации (выборки) – это ΔT, так что частота дискретизации (выборки) будет – fs=1/ΔT.

Если частота отключения fс больше, чем половина частоты дискретизации fs, преобразование Фурье выборочных данных будет таким, как показаны на риc. 1.7. В этом случае спектр выборки данных отличается от спектра входного сигнала в области, где соседние спектры перекрываются, как показано в заштрихованной области на рис. 1.7. Это означает, что частотные компоненты, оцененные по выборочным данным в этом регионе будут ошибочными, из-за явления известного как "сглаживание". Как видно из вышеизложенного, для того, чтобы избежать ошибок, связанных со сглаживанием, диапазон входного сигнала должен быть меньше, чем половина выборки частоты, используемой в получении выборки данных. Это требование, как известно как "критерий Найквиста".

Для того, чтобы избежать ошибки наложения, во всех системах выборочных данных (используемых в векторной оценке) используют анти- сглаживающие фильтры, которые ограничивают диапазон входных сигналов ниже половины частоты дискретизации. Заметьте, что частота отсечки входного сигнала должен быть меньше половины частоты дискретизации. На практике, сигнал, как правило, ограничен до значения намного меньшего, чем требуется для удовлетворения критерию Найквиста.

Анти-сглаживающие фильтры, как правило, пассивные низкочастотные RC фильтры, хотя активные фильтры также могут быть использованы для получения характеристики быстрого отключения. В дополнение к пассивным анти-сглаживающим фильтрам, цифровые фильтры также могут быть использованы в особых случаях. Все анти-сглаживающие фильры применяют частотно-зависимый фазовый сдвиг на входной сигнал, который должен быть компенсирован при определении векторного представления входного сигнала. Этот вопрос будет обсуждаться далее в Главе 5.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

ДПФ — это метод расчета преобразования Фурье, в котором небольшое количество образцов, берутся из данных входного сигнала x(t). Преобразование Фурье рассчитывается с дискретными шагами в частотной области, как и входной сигнал берется в дискретный момент временной области. Рассмотрим процесс выбора N выборки: х(kΔT) , {k = 0, 1, 2, · · · · ·, N-1}, ΔT - интервал выборки. Это эквивалентно умножению последовательности выборки данных на оконную функцию w(t), которая представляет собой прямоугольную функцию времени (с интервалом NΔT).

Функция x(t), функция выборки δ(t), и оконная функция w(t) вместе с их преобразованиями Фурье показаны на рис. 1.8.

Рассмотрим выборку образцов сигнала, которые попадают в окно данных: х(kΔT),{k = 0,1,2, · · · · ·, N-1}. Эти образцы можно рассматривать как образцы, полученные умножением сигнала x(t), функции выборки δ(t) и «окно» w(t):

где снова умножение на дельта-функцию должно быть понятно в контексте интегрального уравнения. (1.9). Преобразование Фурье выборки оконной функциии у(t) - это свертка преобразований Фурье из трех функций. Преобразование Фурье у(t) должна быть выборка в частотной области для того, чтобы получить ДПФ у(t). Дискретные шаги в частотной области кратные 1/T0, где T0 - интервал оконной функции. Частота дискретизации функции Φ(f) задается

и обратное преобразование Фурье (Свойство 6) – это

Для того чтобы получить образцы в частотной области, мы должны перемножить преобразование Фурье Y(f) и F(f). Для получения соответствующей области временной функции x′(t) нам необходимо сделать свертку во временной области y(t) и φ(t):

Эта функция является периодической (период T0). Функции x(t), y(t), x′ (t) показаны на рис. 1.9. Оконная функция ограничивает данные выборки от 0 до N-1, а также отбор проб в частотной области преобразует исходные N образцы (во временной области) в бесконечную последовательность с периодом T0 как показано на рисунке 1.9 (с). Отметим, что хотя первоначальная функция x(t) не была периодической, в свою очередь функция x′(t) – периодическая, и мы можем рассмотреть эту функцию, чтобы ближе к x(t). Преобразование Фурье периодической функции x′(t) представляет собой последовательность импульсной функции в частотной области (Свойство 5). Таким образом,

Подставляя x′(t) в приведенное выше выражение для αn

Индекс m обозначает последовательность периодов, показан на рисунке 1.9 (с). Исходя из ограничений на интегрирование интервала только одного периода, мы можем отбросить суммирование по m, и установить m = 0, таким образом, образцы используя только за период (жирный шрифт на рисунке 1.9 (в)). Уравнение (1,15), то становится

Таким образом, N образцов в окне данных T0,NΔT= T0, поэтому

Хотя значения индекса n включает в себя все положительные и отрицательные целые числа, cледует отметить, что существует только N различных коэффициентов αn. Таким образом, αn+1 то же самое что и α1 и преобразования Фурье X′(f) имеет только N различных значений, соответствующие на частотам F = n/T0, в диапазоне от 0 до N-1:

Уравнение (1.22) - это определение ДПФ N входных образцов, взятых с интервалами от ΔT. ДПФ симметрично относительно N/2, компоненты за пределами N/2 просто принадлежат отрицательной частоте. Таким образом, ДПФ не рассчитывает частоты компонентов за пределами N/(2T0), который в свою очередь бывает ограничен критерием Найквиста, чтобы избежать ошибок сглаживания.

Также отметим, что любая реальная функция времени может быть записана как сумма реальных и нечетных функция. Следовательно, в силу свойства 2 и 3 выше реальной функции времени будет иметь действительные части ДПФ, так как даже функции частоты и мнимой части ДПФ будут нечетными функциями частоты.

ДПФ и ряды Фурье

Серия коэффициентов Фурье периодического сигнала может быть
получена из ДПФ своей выборки данных путем деления ДПФ на N, количество образцов в данных окна. Таким образом, ряд Фурье для функций x(t) может быть выражен по формуле

Поскольку существует только N компонентов в ДПФ, суммирование по k в
формуле.
(1.23) от {k = 0, · · · ·, N-1}.
____________________________________________________________________

Пример 1.3

Рассмотрим периодическую функцию x(t) = 1 + соs(2πf0t) + sin(2πf0t). Функция уже выражена в ряде Фурье с a0 = 2, a1 = 1, b1 = 1.

Сигнал выборки — поступает 16 раз в течение одного периода основной частоты. Выборочные данные, ДПФ, и ДПФ разделить на 16 (N, число образцов) показана в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Последний столбец содержит коэффициенты Фурье. Обратите внимание, что DC (постоянный) компонент a0 появляется в 0-й позиции, в то время как основная частота компонента появится во 2-й и 15-й позиции. Косинус-компонент будучи четной функциией создает реальные части, которые являются четными функциями частоты (0,5 при ± f0), в то время как синус-компонент является нечетной функцией времени и производит нечетные функции частоты (± j0.5 при ± f0).Коэффициент a1 получен путем добавления реальных частей, соответствующих f0 и -f0 (DFT/16)-колонке, в то время как коэффициент b1 получается путем вычитания мнимой части -f0t от мнимой части f0:
a0= 2X0= 2
a1= Re(X1+ XN – 1) = 1
b1= Im(X1– XN– 1) = 1

Из приведенного выше примера видно, что для реальных функций x(t) коэфициенты ряда Фурье периодической функции могут быть получены с помощью DFT выборки его данных по следующим формулам:
a0= 2.X0
ak= 2.Real(Xk)
bk= 2.Imaginary(Xk) for k= 1, 2, ,····, N/2 – 1.

ДПФ и векторное представление.

Синусоида x(t) с частотой kf0 с рядом Фурье

И векторное представление

где квадратный корень из 2 в знаменателе – для получения среднеквадратичного значения синусоиды. Вектор в комплексной форме становится

Используя соотношение коэффициентов Фурье с ДПФ,векторные представления k-й гармоники дается

Используя обозначения x(nΔT)=xn, и 2π/N = θ (θ - это отбор образцов угла, измеренного в течении периода основной гармоники)

Если мы посчитаем суммы косинусов и синусов:

далее вектор Xk задается как

Уравнения (1.29-1.31) будут использоваться для представления вектора в большинстве вычислений в остальной части нашей темы.

___________________________________________________________

Пример 1.4

Рассмотрим сигнал, состоящий из постоянной составляющей, 60 Гц, 120 Гц и 300 Гц компонентов:
x(t) = 0,5 + соs(120πt + π/4) + 0,2соs(240πt + π/8) + 0,3соs(600πt).

Обратите внимание, что сигнал является действительным, но не является четной или нечетной функцией времени, и cледовательно, по свойству 4, действительная часть преобразования Фурье будет четной, и мнимая часть будет нечетной функцией частоты. Сигнал выборки на 1440 Гц и следующие 24 образца получены в окне 16,66 мс, что соответствует одному периоду 60-Гц сигнала. Там будет 24 частоты образца ДПФ. Они рассчитаны и сведены в табл. 1.2.:

Таблица 1.2

Коэффициенты ряда Фурье
a0= 1.0,
a1= 0.707,
b1= –0.707,
a2= 0.1848,
b2= –0.0766,
a5= 0.3,
b5= 0.000,
получаем ряд Фурье
x(t)=0.5+0.707cos(120πt)-0.707sin(120πt)+0.1848cos(240πt)-0.0766sin(240πt)
+0.3cos(600πt),
который согласован с выражением входного сигнала