Борейко О.В.

Анотация

Дословно термин "робастное управление" означает "сильное управление", т.е. управление с определенным запасом, например, по устойчивости. Практическая ценность задачи робастного управления связана с тем, что синтезированная по критериям устойчивости система управления может иметь малую чувствительность к изменению параметров или большую. В первом случае говорят о грубости системы или о ее робастности, во втором случае система практически неработоспособна, так как малейший уход параметров ведет к потере устойчивости. Таким образом, постановка задачи робастного управления связана с требованием сохранения работоспособности системы при наличии неопределенностей в ее описании.

В робастном управлении рассматриваются два вида неопределённостей — структурные и неструктурные. Неструктурные неопределённости делятся на аддитивные и мультипликативные обычно представляют собой элементы, зависящие от частоты, такие как, например, насыщение в силовых приводах или возмущения в низкочастотной области АФЧХ объекта управления..

Данная статья посвящена анализу метода робастной устойчивости при котором каждый член матрицы является множеством асимптотически устойчивым в дискретный момент времени. В работе используется метод Ляпунова.

Анализ проблемы:

Пусть дискретная система с неопределенностью описывается уравнением:

(1.3)

где - матрица динамики

(1.4)

Определение 1: Система (1.3) стабильна в области неопределенности (1.4) если все собственные значения матрицы , имеют величину меньше 1 для всех значений таких что .

Воспользовавшись определением устойчивости по Ляпунову, можно преобразовать определение 1 в эквивалентное условие приведенное в лемме 1.

Лемма 1: система (1.3) стабильна в области неопределенности (1.4) тогда, когда выходы матрицы такие что:

(1.5)

(1.6)

На данный момент не существует способа формально определить , как функцию от неопределенного параметра . Матрица является зависимой от параметров матрицы Ляпунова. Матрицу удовлетворяющую условию заданному в Лемме 1 можно найти с использованием ЛМН. Это можно реализовать с помощью Леммы 2.

Лемма 2: Система с неопределенностью (1.3) является стабильной в области неопределенности (1.4) если:

(1.7)

Теорема 1: Условия эквивалентности (1): существует симметричная матрице . Такая что:

(1.8)

Условие эквивалентности (2): Существует симметричная матрица и матрица такие что:

(1.9)

(1.4)

Лемма 1: система (1.3) стабильна в области неопределенности (1.4) тогда, когда выходы матрицы такие что:

(1.5)

(1.6)

Лемма 2: Система с неопределенностью (1.3) является стабильной в области неопределенности (1.4) если:

(1.7)

Теорема 1: Условия эквивалентности (1): существует симметричная матрице . Такая что:

(1.8)

Условие эквивалентности (2): Существует симметричная матрица и матрица такие что:

(1.9)

Доказательство: применим дополнение Шура к матрице (1.9) и восстановим (1.8) выбрав . Следовательно (1) условие эквивалентности следует из (2). С другой стороны, если в (1.9) . Тогда умножив (1.9) на слева и на справа мы получим (1.8). Следовательно (2) условие эквивалентности вытекает из (1).

Условие (2) является расширение условия (1). Дополнение Шура позволяет нам ввести матрицу чтобы получить линейно матричные неравенства в которых матрица Ляпунова не участвует в уравнениях с динамической матрицей . Эта функция позволяет нам получить новые условия робастной устойчивости не являющиеся сильно консервативными за счет наличия дополнительной степени свободы путем введения матрицы . Дополнительная матрица не обязательно должна быть симметричной.

Теорема 2: система с неопределенностью (1) является стабильной в области неопределенности (2) если существует симметричная матрица матрице такая что:

(1.10)

Следуя по той же схеме как и при доказательстве теоремы 1, покажем что если условие (1.9) выполняется то существуют выходы зависящие от параметров матрицы Ляпунова.

(1.11)

Матрица положительно определенна для всех значений где . Таким образом определение возможных матриц и может быть легко реализовано с помощью решений для линейно матричных неравенств (ЛМН).

Рассмотрим линейную дискретную систему:

(1.12)

Где матрица динамики принадлежит как указано в (1.2) и определен как указано ниже.

(1.13)

Мы ищем усиление обратной связи такое что асимптотически устойчива для каждого

Теорема 3: Система с неопределенностью (1.10) устойчива в области неопределенности (1.4) и (1.11) если существуют симметричные матрицы и матрица такие что:

(1.12)

для каждого

В (1.12) обратная связь задается:

(1.13)

Доказательство. Теорема 3 доказывается с помощью транспонирования теоремы 2 путем транспонирования и , вместе с изменением переменных . Примем .

Следовательно

(1.14)

Был изложен достаточное условие робастной устойчивости дискретных систем с неопределенностью.

Как следует из вышеизложенного, робастный регулятор гарантирует устойчивость замкнутой системы управления, если неизменяемая во времени параметрическая или неизменяемая по времени структурная неопределенность принадлежит некоторому множеству. Вместе с тем, условия робастности не гарантируют устойчивости замкнутой системы управления даже при достаточно малых параметрических или структурных изменениях во времени. Эту задачу решает теория абсолютной устойчивости.

Перечень ссылок

1. D.-W. Gu, P. Hr. Petkov and M. M. Konstantinov. Robust Control Design

with MATLAB.

2.R.J. Adams, J.M Buffington, A.G. Sparks, and S.S. Banda. Robust Multivariable

Flight Control. Springer-Verlag, New York, 1994.

3. U.M. Al-Saggaf and G.F. Franklin. An error bound for a discrete reduced

order model of a linear multivariable system. IEEE Transactions on Automatic

Control, AC-32:815–819, 1987.

4. G.J. Balas, J.C. Doyle, K. Glover, A. Packard, and R. Smith. μ-Analysis and

Synthesis Toolbox: User’s Guide. MUSYN Inc. and The Mathworks, Inc., 1995.

5. D.S. Bernstein and W.M. Haddad. LQG control with an H∞

performance

bound: A Riccati equation approach. IEEE Transactions on Automatic Control,

AC-34:293–305, 1989.

Надежные условия устойчивости при переменном периоде дискретности