Задачи, которые не хотят быть решенными просто

Мне довелось попробовать много интересного в своей жизни. И много такого о чем хотелось бы рассказать. Три дня под дождем в палатке среди Карпат дали мне понять насколько холодно может быть в середине августа. Два месяца отработав электриком в трамвайном депо, я понял, что встать на первую пару проще, чем в 4:30 на первую смену, а также с удивлением обнаружил, что чаще пользовался гаечными ключами и пастой автомобилиста для удаления мазута с рук, чем пассатижами, а уж тем более вольтметром. Играя в Что? Где? Когда? и дебаты, я обнаружил что умение быстро оценить ситуацию также важно, как и умение пользоваться знаниями. Занимаясь танцами (систематически посещая серьезный танцевальный коллектив), понял, что это тяжелый труд, и физические нагрузки там не хуже чем в секции единоборств (и там и там у меня было пару лет, чтобы сравнить). Еще до школы я понял, что слушать музыку приятнее, чем посещать музыкальную школу.

Но из всех моих увлечений наибольшую радость мне приносило решение интересных головоломок.

Стандартные задачи по ТОЭ и методы их решения

Откровенно говоря, стандартные задачи имеются не только в дисциплине теоретические основы электротехники, но во всех без исключения дисциплинах [1]. Решение таких задач можно назвать инженерным ремеслом. Контроль уровня жидкости, автоматизация накопительного водонагревателя, расчет сечения проводников кабеля, выбор мощности привода и масса прочих задач решаются открытием необходимого справочника. Образование инженера в данном случае необходимо для того чтобы знать в какие именно справочники нужно заглянуть. Конечно, даже на эту роль не сгодится дрессированная обезьяна, так как в решении этих задач возникают не только технические аспекты, но и вопросы соотношения цена/качество, эргономики, надежности, совместимости, технологичности и пр. Однако это все же ремесло. В качестве примера простой задачи можно (с некоторыми допущениями в области переходных процессов и схемы включения) считать расчет количества лампочек. Нам известно напряжение источника и сила тока, которую могут длительно пропускать имеющиеся проводники. Закон Ома, и формула для вычисления активной мощности – вот и все необходимые инструменты для решения поставленной задачи. Пример, конечно же, утрированный, но что если при тех же исходных данных (напряжение и допустимая сила тока нагрузки, проще говоря – допустимая мощность нагрузки), добавляются новые требования. Совместимость источников света с wi‑fi роутерами и Bluetooth‑гарнитурами, организация местного и общего освещения согласно санитарно‑гигиеническим нормам, учет фактора естественно освещения, возможность работы в режиме дежурного и аварийного освещения. Задача становится не такой уж простой, но и рассматривать ее в категории инженерного искусства еще не получается.

А вот более интересный пример. Рассчитать мощность на валу двигателя в заданных габаритах. Берем открываем Копылова и считать… В более современном варианте открываем какой‑то %username%CAD, и тоже самое. А теперь заказчик говорит, а выдайте мне мощность в три раза большую, при тех же габаритах, в режиме S3, без использования материалов применяемых в NASA и когтей уссурийских тигров. Справочник не поможет: или танцы с бубном (с соответствующей эффективностью), или инженерное искусство. А этот конкретный пример не высосан из пальца, задача была решена, профессором кафедры ГЕА ДонНТУ Ковалевым Е. Б., в бытность его сотрудником УкрНИИВЭ.

Таким образом, стандартная задача – это задача, которая решается известными, проработанными методами решения. В ТОЭ для решения подобных задач достаточно знания закона Ома и двух законов Кирхгофа (на самом деле много чего еще, но уже готового, это придумали до вас). В таком случае, остается просто выбрать более подходящий метод решения: законов Кирхгофа, узловых потенциалов, контурных токов и пр. На основании исходных данных (число ветвей и узлов в цепи) оценивается количество уравнений, которые предстоит решить, и в бой! Именно это и должно остаться в памяти у каждого слушателя курса ТОЭ.

В общем случае, для всех дисциплин: смотрим на условия задач, вспоминаем соответствующие законы физики, и с помощью алгебры (в особо запущенном случае мат. анализа и мат. статистики), выражаем из этих формул то, что нам необходимо найти.

Задачи с нестандартными условиями (примеры)

Задача 1. Роль векторной диаграммы [2]

Задача 1 - Схема

В заданной цепи синусоидального тока показания всех вольтметров одинаковы. Определить cosφ – коэффициент мощности цепи.

Простая задача: начать лучше с диаграммы напряжений – это равносторонний треугольник. А потом пристроить токи, проследив за тем, чтобы ток Iвх = IL был перпендикулярен своему напряжению. По диаграмме справа хорошо видно: φвх = 30°, cos30º = 0,866.

Векторная диаграмма к задаче 1

Постороение векторной диаграммы. Анимация состоит из 7 кадров, задержка между кадрами составляет 100 мс, количество повторений – 7

Задача 2. Цепь с индуктивно связанными элементами [2]

Задача 2 - Схема

Дано: Jк = 0,1 А, ω = 1000 рад/с, С1 = 1 мкФ, С2 = 2 мкФ, L1 = 1 Гн, L2 = 1 Гн, М = 0,5 Гн.

Определить показания вольтметров.

Решение

Несмотря на грозный вид схемы, цепь простая, ток I2L = 0.

В комплексной форме: пусть Jк = 0,1е j0 А; −jX1C = −j1/1000⋅1⋅10−6 = −j1000 Ом; −jX2C = −j500 Ом; +jX1L = +jX2L = +j1000 Ом; +jXM = +j500 Ом.

Так как ток I2L = 0, то ток в ветви L1–C2 находим по правилу разброса тока в параллельные ветви:

ILC = Jк(−jX1C)(−jX1C + (jX1L − jX2C))−1 = 0,2е j0 А.

Уравнения по II закону Кирхгофа для расчёта показаний вольтметров:

UV1 − jX2L ⋅ I2L + jXM ⋅ ILC − jX1L ⋅ ILC + jXM ⋅ I2L = 0; UV1 = +j100 В.

UV2 − jX2C ⋅ ILC + jX2L ⋅ I2L − jXM ⋅ ILC = 0; UV2 = 0 В.

Задача 3. Переходные процессы [2]

Задача 3 - Схема

В цепи с постоянными источниками Jк = 5 А; Е = 100 В; сопротивлениями резисторов R1 = R3 = 16 Ом; R2 = 40 Ом; R4 = 5 Ом; R5 = 20 Ом и конденсатором ёмкостью С = 100 мкФ произошли две коммутации: в момент t1 = 0 разомкнулся контакт 1, а при t2 = 18 мс замкнулся контакт 2. Определить функцию мгновенного значения тока i4(t) и построить её график для 0 < t < ∞.

Пояснения. В задаче поначалу озадачивает первая коммутация: источник постоянного тока Jк оказывается включённым на конденсатор, который, как известно, не пропускает постоянного тока. Как это понимать? Но вспоминаешь, что он же может гнать свой ток через внутреннее Rк сопротивление.

Решение

1. До первой коммутации конденсатор заряжен: uc(0−) = R1 ⋅ Jк = 80 В, ток i4(t−) = 4 А. Это состояние сохраняется до второй коммутации.

2. Вторая коммутация. Цепь имеет один накопитель энергии, и процесс в любом случае будет апериодический: i4(t) = iпр+B ⋅ е pt.

Последовательно рассматривая цепь в начальный момент t2 = 0+, в принуждённом режиме (удобен метод наложения), в свободном режиме, находим необходимые величины: i4(0+) = 4 А, i4(∞) = 0, В = i4(0+) − i4(∞) = 4 А, р = −500 1/с.

Записываем окончательное выражение тока и строим его график: i4(t) = 0 + 4⋅е−500t.

Задача 3. i4(t)

Олимпиады и мое участие в них (Как я за счет ВУЗа пять раз съездил в Киев и не только)

Олимпиады по различным учебным дисциплинам проводятся достаточно давно. Изначально в качестве дисциплин выступали математика и физика. Постепенно их количество расширялось, пополняясь общими техническими дисциплинами, такими как теоретическая механика и теоретические основы электротехники. В настоящее время олимпиады проводятся и по сугубо специальным дисциплинам, таким как автоматизация и компьютерно‑интегрированные технологии, электроника и т. д.

Данное образовательное движение полезно не только в плане поиска лучших ВУЗов, преподавателей и студентов. Польза олимпиад для системы образования заключается в подготовке к ним. Образовательная программа не в состоянии обеспечить глубокое изучение всех дисциплин, олимпиады же могут помочь любознательным в углубленном изучении конкретного предмета. Не существует утвержденных министерством планов и методик подготовки к данным мероприятиям, поэтому преподавателю, подготавливающему студентов к олимпиаде, приходится разработать свой метод. И это исключительно положительное явление. На многих кафедрах большинства ВУЗов Украины есть преподаватели готовые протянуть руку помощи студентам. У них есть постоянно пополняющийся набор интересных задач, они ищут оптимальные пути решения той или иной задачи и в любой момент готовы безвозмездно поделиться результатами своего труда со всеми желающими. В стенах родного ДонНТУ судьба свела меня с такими преподавателями как Савин Александр Иванович (математика), Журба Валерий Владимирович (теоретическая механика) и Антамонов Валентин Харитонович (теоретические основы электротехники).

И если польза подготовки не вызывает вопроса, то процесс написания порой обходится стороной. А ведь он кардинально отличается от написания обычного экзамена. Очень часто ты оказываешься в стрессовой ситуации (хотя с некоторыми подобное происходит и на обычной контрольной работе), требующей полной отдачи твоих внутренних резервов. Что, несомненно, помогает выработать качество, о котором в резюме пишут – стрессоустойчивость. Важно понимать, что олимпиада возможно не лучший способ воспитания ученого. Пишут, что Максвелл предпочитал размышлять у камина со стаканом портвейна в руке, да и каноничный образ профессора – человек, живущий размеренной жизнью, не принимающий скоропалительных решений. Однако подобное поведение могут позволить себе люди, уже достигшие чего‑то. А вот молодой исследователь, а уж тем более инженер, постоянно помнит о том, что его проект должен завершиться в установленное время.

Процесс решения олимпиадных задач (ДонНТУ 2014)

Мне пришлось побывать на шести всеукраинских олимпиадах по трем дисциплинам. Но рассказать хотелось бы об олимпиаде по ТОЭ 2012 года, в этой олимпиаде я показал не лучший свой результат, да и в КПИ я был во второй раз, но почему то именно она осталась в моей памяти самой интересной.

Дорога всегда представляет собой примерно одно и то же. Поезд, вагон, полка, бутерброды, кефир, булка. Но это время общения, в руках конспекты, а вот в голове… Послезавтра мы пишем олимпиаду, что ж самое время поговорить об инфраструктуре железной дороги, обсудить, целесообразны ли поезда на магнитном подвесе, или почему вагоны синие?

Первый день. Регистрация участников, пожалуй, самый нудный процесс (впрочем, он начался еще в альма‑матер, с оформления командировки). Очередь на регистрацию, очередь к коменданту общежития‑профилактория, очередь в кассу, очередь за постельным бельем, очередь в ближайшем продуктовом магазине, очередь в душ. И вот, ты в комнате, конспекты и книги окружают тебя, но разговоры все дальше и дальше от ТОЭ. Давайте решим задачу, а потом сравним ответы… Хорошая идея. Мы последовательны и выбираем сначала задачу из раздела: постоянный ток. Забегая вперед – на этом решение задач и прекращается. После задачи обед. Нужно пройтись. Идем, дальше и дальше… Профилакторий закрывается в 23:00, попытки объяснить что ты заблудился, вознаграждение кондитерскими изделиями и вход открыт. Последний раз, в виде исключения для гостей ВУЗа, завтра этот номер не пройдет, кстати, молочный шоколад лучше черного. Чай перед сном, последние 15 минут в сознании уходят на усиленное чтение. Сон…

Большая физическая аудитория КПИ

Второй день. Через два часа, после твоего пробуждения наступит время Ч. Душ, завтрак, кофе, сбор. Если бы книги не промокали, ты бы читал их даже в душе. Вот ты уже в пути, идти метров 600 (мне так кажется), по пути магазин: вода без газа и шоколад. Пить ты захочешь, это точно. Шоколад, говорят, что он стимулирует умственную деятельность, вряд ли, просто захочется чего‑то такого, из чего приемлемым будет только он. В кармане лежит шпаргалка. Всегда в моем кармане лежит шпаргалка, и никогда я ее не достаю. Вузовская привычка, я почему то пишу их, а вот списывать не умею. Тем более тут, если выгонят, что я скажу по приезду. Никого никогда при мне не выгоняли, хотя списывали, правда, не очень‑то это им помогало. Зашел в большую физическую аудиторию КПИ. Задания в этот раз порадовали своей сложностью. Провизия уничтожается, задачи решаются. Ну вот и все. На листах с ответами нет твоей фамилии, запрещены какие-либо нестандартные пометки, все написано на одинаковой бумаге, одинаковыми ручками. Мы едем на экскурсию по Киеву. После которой узнаем свои результаты. Год назад, в этой же аудитории я писал олимпиаду по теоретической механике, я ощущал провал, но оказалось все вышло неплохо – третье место. В этом году все наоборот, ожидания не оправдываются, но у меня есть место в первой десятке. Вкупе с третьим местом моего напарника (Антона Страчкова), мое седьмое позволяет команде ДонНТУ занять третье командное место, при условии, что практически все остальные команды состоят из трех человек результат не так уж и плох. Вечер тратится на прогулки.

Третий день самый насыщенный. Помимо награждения и церемонии закрытия есть возможность организовать собственную программу. В качестве таковой мы выбрали музей истории Великой Отечественной войны [3]. Наверное, нас, как и всех мальчишек интересует оружие. Ощущается мощь и сила моего народа: величественная Родина‑Мать, грозные и красивые одновременно танки, экспозиция партизанской землянки отчетливо дает понять что такое спартанские условия. Фронтовые письма, винтовки и снаряды, бинокли и консервные банки, кружки и курительные трубки – вот и все имущество тех, кто изменил историю и выиграл Войну.

Самая надежная служба доставки

Отдельно стоит сказать о музеях самого КПИ: компьютеры 60‑х годов, флешка на 200 Мб в виде пробирки (правда принцип действия нам не смог объяснить даже экскурсовод), стол для картографирования местности по аэрофотоснимкам (по сравнению с которым трансформеры выглядят как буратино), мопед с пропеллером (победитель проекта технического творчества школьников). Ну и конечно же стоящий рядом музей авиации и космонавтики КПИ. Настоящие турбореактивный и турбовинтовой авиационные двигатели, костюмы космонавтов (удивительно малы, но если учесть сколько стоит вывести один килограмм на орбиту компактность космонавтов является обоснованной), пюре, сгущенка и щи в тюбиках (наверное борщ не влез) [4].

А в конце дня – поезд в обратную сторону, глядя в потолок со второй полки невольно задумываешься, может ли человек, который спал в плацкартном вагоне страдать бессонницей.

Логика поиска решений нестандартных задач

Я постараюсь написать некий алгоритм решения нестандартных задач, которым я пользуюсь время от времени. При внимательном прочтении и осмыслении первого пункта, можно прийти к выводу, что задачи потому то и нестандартные, что алгоритма их решения не существует. Что верно, если под алгоритмом понимать что-то обладающее свойством массовости, конечности действий и результативности. Что же представляет собой наш алгоритм? А просто последовательность действий, какую следует предпринять, если решения не видно.

После того как условие прочитано наступление желательно проводить по всем фронтам. Но на черновике. До тех пор пока все искомое (или хотя бы найденное) не будет выражено на черновике, прикасаться к чистовику бессмысленно. В первую очередь необходимо посмотреть на параметры схемы и воздействия на нее. И выписать в виде формул все, что можно выразить из этих параметров. Не брезгуя записывать даже очевидные соотношения. Возможно, через величины посредники можно прийти к искомому ответу. Подобно следователю на допросе нельзя упустить ни одной мелочи.

Параллельно с упражнениями в области алгебры необходимо заниматься графикой. Если в комплект поставки схема не входит, нужно не полениться сделать ее самому (апелляции к поставщику, как правило, бессмысленны). Все что выражено в виде формулы стоит отобразить на схеме. Не нужно стесняться при обращении со схемой, ее можно крутить как угодно. Каждую ветвь необходимо сделать достаточно длиной, чтобы в нее можно было добавить что-нибудь, ведь не перерисовывать же схему, если вы решили применить развязку индуктивной связи. Между параллельными ветвями, возможно, придется написать что-нибудь трехэтажное (желательно дробь), что необходимо учесть.

Третий плацдарм для наступления – векторная диаграмма. Чтобы найти ток – нужно думать как ток, а векторная диаграмма, как никто другой, показывает в какой ситуации он оказался. При построении векторной диаграммы не стоит забывать и причинности, а именно что первично, что вторично в условиях данной задачи.

Когда же мы дышим запахом победы, созерцая искомые величины, не лишним будет проверить, не напали ли мы на ложный след. Для чего желательно вспомнить баланс мощности, или же выразить какую либо известную величину, через полученный ответ (но ни в коем случае не решая задачу в обратном порядке). Не вредно проверить размерность итоговой формулы.

При этом нужно понимать, что на олимпиаде главный враг это не вон тот щуплый паренек в очках, а время. Оно неумолимо, и если решения все еще нет, нужно искать успеха с другой задачей. Однако стоит записать хотя бы то, что было получено. Если препятствием на пути к цели стал математический аппарат, к примеру, вы забыли что такое гиперболический косинус (хотя от волнения можно забыть что такое косинус в принципе), запишите, что нужно было бы сделать дальше, если бы это препятствие было вам по силам.

И напоследок. Оригинальная задача подразумевает изюминку. Но возможно в вашей булке ее не окажется. Когда‑то на первом курсе, участвуя в олимпиаде по физике, я нашел изюминки во всех задачах. Но, как оказалось, передо мной был обычный батон. Итог – последнее место. Так что если задача решается долго и нудно, но наверняка, стоит присмотреться к этому пути.

Памятка участника олимпиады по ТОЭ [2]

Не обязательно начинать с первой же задачи конкурсного задания. Посмотрите все задачи, возможно, какая-то иная задача для Вас будет легче.

Заданные условия задачи следует хорошенько осмыслить: что задано, что требуется рассчитать, стараясь понять, в чём задумка, хитринка авторов. Для этого условия необходимо прочесть хотя бы дважды: сначала бегло, охватывая смысл задания в целом, а затем медленно, стараясь подметить мелкие, на первый взгляд незначительные детали. Мозг потихоньку усвоит задание, появится какая‑то мысль, идея решения. Лучше это получается, если условия задачи студент переписывает от руки.

Заданную в задании схему, лучше перерисовать в привычном, понятном для себя виде. Приборы в схеме следует опустить. Чтобы избежать ошибок, сначала обозначьте все точки схемы, примите направления токов. Желательно, чтобы все величины, относящиеся к одной ветви, имели одинаковый индекс. Наиболее естественно воспринимается схема с начертанием слева направо, и с вертикальным изображением элементов.

Не допускайте элементарных ошибок! Искомый ток амперметра, показание вольтметра, или ваттметра умники часто хотят записать сразу, в уме перенося в правую часть уравнения другие слагаемые. Исходное уравнение сначала должно быть записано строго по закону!

Пробуйте дедуктивный подход к решению задачи! Допустим, задано: Pw = 0. Начните с общего выражения Pw = Uw ⋅ Iw ⋅ cosφ и установите, почему показание равно нулю: ток ли Iw = 0, напряжение Uw = 0, или это сдвиг по фазе между ними равен 90°. Потом подумайте, а как может быть найдено напряжение, а что для этого уже задано или легко находится. И так до тех пор, пока доберётесь до возможного пути решения.

Не покидайте поле боя досрочно! Мы так устроены, что именно в последний момент вдруг приходит вдохновение и получается правильное решение. Студентам ведь всегда не хватает чуть-чуть.

Результаты решения должны быть осмыслены и, по возможности, проверены тем или иным способом. Первичное черновое решение, всегда получается хаотичным, разбросанным по листку. Но когда решение закончено, все блуждания должны быть отметены, а решение должно быть приведено в чёткую логическую последовательность. Для этого необходимо просто пройтись карандашом по решению, помечая каждый последующий правильный шаг к решению задачи. Такая систематизация, упорядоченность решения всегда полезна.

Перечень ссылок

  1. Как решают нестандартные задачи
  2. Антамонов В. Х., Денник В. Ф., Корощенко А. В. Конкурсные задачи олимпиад по теории электрических цепей: Методическое учебное пособие. – Донецк, ДонНТУ, 2013. – 437с.: илл.
  3. Музей истории Великой Отечественной войны
  4. Государственный политехнический музей при НТУУ КПИ