Разработка математической модели плана модернизации медицинского учреждения

Аннотация

Кошель А.С., Савкова Е.О. Разработка математической модели плана модернизации медицинского учреждения. Рассмотрена проблема модернизации медицинских учреждений. Приведено описание и обоснование актуальности данной темы. Разработана математическая модель. Изучены и выделены основные методы, используемые для решения подобных задач, проанализированы их достоинства и недостатки.

Ключевые слова: модернизация, медицинское учреждение, оборудование, система поддержки принятия решений, муравьиный алгоритм, граф решений.

Постановка проблемы

Здравоохранение является одной из основных сфер, определяющих качество жизни людей и социальное самочувствие общества. В деятельности любого медучреждения однажды наступает момент, когда обновление медицинского оборудования становится жизненно важной необходимостью. Известно, что в ходе эксплуатации оборудование теряет свои качества. Кроме того, технический прогресс, который не стоит на месте, способствует относительно быстрому моральному устареванию первоначальных эксплуатационных характеристик оборудования. С целью доведения его до уровня, соответствующего современным требованиям к объектам основных средств, учреждения проводят модернизацию.

Использование в медицине устаревших технологий, несвоевременная замена инвентаря приводит к частым поломкам аппаратуры, возникновению форсмажорных ситуаций и высокому риску для людей, проходящих лечение в больницах. Модернизация медицинского оборудования – это залог эффективной помощи пациентам. При выборе масштабов и направления модернизации целесообразно принимать во внимание финансовые ресурсы, возможности практикующих специалистов, т.е. насколько врачи обучены работе с новыми видами оборудования, имеется ли необходимое помещение для установки оборудования. Ведь проблема морального старения зданий больниц и необходимость их соответствующей модернизации как социально значимых объектов является также весьма актуальной. Возникает необходимость подобрать оптимальный вариант обновления медтехники с учётом наличия помещения для оборудования и квалификации медперсонала с минимальными затратами на модернизацию. Поэтому наиболее важным помощником руководителя становятся системы поддержки принятия решений, которые позволяют моделировать ситуацию и сформировать наилучшую стратегию действий.

В некоторых случаях при принятии решений мы допускаем ошибки, имеющие последствия различной степени значимости. Поэтому одним, из несомненных условий успешной деятельности независимо от характера и специфики труда является искусство принятия правильных решений [4].

Цель статьи

Разработать математическую модель плана модернизации медицинского учреждения, провести обзор существующих методов решения данной задачи и выбрать наиболее оптимальный.

Разработка математической модели

Задача построения плана модернизации медицинского учреждения может быть сформулирована как поиск оптимального пути в пространстве принятия решений. Главной задачей является нахождение минимума функционала F при заданных ограничениях. Необходимо найти такое решение, при котором бы выполнялись все ограничения и затраты были минимальные. Пространство принятия решения в общем случае может быть представлено в виде взвешенного графа на рис.1.

Введём понятие взвешенного графа решений. Взвешенный граф решений (G) – граф, каждому ребру которого поставлен в соответствие вес ребра. Такой граф можно представить в виде:

где

V – множество вершин (действий),

E – множество дуг (рёбер)

W – множество весов.

Дуги могут быть представлены как:

Дуга соединяет две вершины графа. В качестве вершин графа выступают действия v_i v_j, которые будут выполняться над объектами модернизации: оборудованием, помещением, персоналом.

Для определения кратчайшего пути из одной вершины в другую необходимо иметь возможность измерять расстояние между узлами (действиями), поэтому введём функцию расстояния, определённую на дугах графа d: E→R, где R – множество вещественых чисел.

Веса учитывают степени рисков, уровни затрат и могут быть представлены в виде:

где w_ij – вес дуги.

Кроме того введём функции-ограничения для каждого узла. Ограничение – функция, заданная на вершине графа.

Ограничения:

• Ограничение на доступный бюджет

(5)

• Ограничение на время выполнения

(6)

• Ограничения на постройку новых зданий за счет окружающей застройки.
• Имеющиеся обязательства.
• Лимиты по внешним ресурсам (электричество, тепло, вода).

Необходимо учитывать следующие риски:

• Нарушение сроков строительства.
• Изменение цен на оборудование или материалы, вследствие чего за счет повышения стоимости модернизации возможно нарушение ограничения на доступный бюджет.

Критерий необходимости модернизации

Каждой вершине графа будем сопоставлять индекс в промежутке от 0 до 1. Индекс износа — функция, зависящая от времени. Чем больше индекс, тем больше необходимость модернизации.

Решение поставленной задачи производится в два этапа:

• Просмотр всех имеющихся индексов износа. Все узлы у которых индекс износа больше некоторого заданного порога пометить как требующий модернизации.
• Поиск оптимального решения в пространстве состояний.

Минимум функционала F достигается последовательности вершин, сумма весов которых даёт минимально возможный вес.

Действиями на графе являются:

1. Модернизация
2. Выбор оборудования
3. Покупка нового
4. Наладка
5. Монтаж
6. Другие расходы
7. Ремонт старого
8. Не делать ничего
9. Выбор помещения
10. Строительство нового
11. Ремонт старого
12. Не делать ничего
13. Выбор персонала
14. Обучение
15. Нанять нового
16. Не обучать

Решения

Для решения поставленной задачи подходят следующие алгоритмы:

1. Муравьиный алгоритм

Муравьиный алгоритм – алгоритм оптимизации подражанием муравьиной колонии, один из эффективных полиномиальных алгоритмов для нахождения приближённых решений задачи коммивояжёра, а также аналогичных задач поиска маршрутов на графах. Суть подхода заключается в анализе и использовании модели поведения муравьёв, ищущих пути от колонии к источнику питания и представляет собой метаэвристическую оптимизацию [5].

Муравьиные алгоритмы работают лучше, чем другие глобальные оптимизации (нейронные сети, генетические алгоритмы). Недостатками является то, что обычно необходимо применение дополнительных методов таких, как локальный поиск; сходимость гарантируется, но время сходимости не определено; сильно заисят от настроечных параметров, которые подбираются только исходя из экспериментов. При решении поставленной задачи как субоптимальный метод выбран именно этот алгоритм.

2. Алгоритм имитации отжига

Алгоритм имитации отжига относится к классу пороговых алгоритмов локального поиска. Целью алгоритма является минимизация некоторого функционала. В процессе работы алгоритма хранится текущее решение, которое является промежуточным результатом. А после работы алгоритма оно и будет ответом.

Преимуществами метода являются отсутствие ограничений на вид функции; эффективность при решении задач различных классов, требующих оптимизации, поиск глобального минимума. Недостатками являются сложность настройки алгоритма и его медленная работа [2].

3. Двоичные деревья поиска

Двоичным деревом поиска называют дерево, все вершины которого упорядочены, каждая вершина имеет не более двух потомков, и все вершины, кроме корня, имеют родителя. Вершины, не имеющие потомков, называются листами. Преимуществами являются: лёгкость добавления элемента, лёгкость удаления элемента, быстрый поиск [2].

Одним из недостатков бинарных деревьев является то, что после нескольких операций добавления/удаления элементов такие деревья могут начать вырождаться, что существенно замедлит работу с бинарным деревом.

4. Динамическое программирование

Метод динамического программирования – один из наиболее мощных и широко известных математических методов современной теории управления, был предложен в конце 50-х годов американским математиком Р. Беллманом.

Динамическое программирование – способ решения сложных задач путём разбиения их на более простые подзадачи. Он применим к задачам с оптимальной подструктурой. Задача имеет оптимальную подструктуру, если её оптимальное решение может быть рационально составлено из оптимальных решений её подзадач.

Кроме принципа оптимальности, основного приема исследования, большую роль в аппарате динамического программирования играет идея погружения конкретной задачи оптимизации в семейство аналогичных задач. Третьей его особенностью, выделяющей его среди других методов оптимизации, является форма конечного результата. Применение принципа оптимальности и принципа погружения в многошаговых, дискретных процессах приводят к рекуррентно-функцио-нальным уравнениям относительно оптимального значения критерия качества. Полученные уравнения позволяют последовательно выписать оптимальные управления для исходной задачи. Выигрыш здесь состоит в том, что задача вычисления управления для всего процесса разбивается на ряд более простых задач вычисления управления для отдельных этапов процесса. Главным недостатком метода является, говоря словами Беллмана, «проклятие размерности» – его сложность катастрофически возрастает с увеличением размерности задачи.

5. Алгоритм А* и его модификации

Этот алгоритм был впервые описан в 1968 году Питером Хартом, Нильсом Нильсоном и Бертрамом Рафаэлем. Это по сути было расширение алгоритма Дейкстры, созданного в 1959 году. Новый алгоритм достигал более высокой производительности (по времени) с помощью эвристики. В их работе он упоминается как «алгоритм A». Но так как он вычисляет лучший маршрут для заданной эвристики, он был назван A*.

Поиск А* – алгоритм поиска по первому наилучшему совпадению на графе, который находит маршрут с наименьшей стоимостью от одной вершины к другой. Алгоритм работает с «оптимистичной» оценкой пути через вершину. Оптимистичной в том смысле, что, если он пойдёт через эту вершину, у алгоритма «есть шанс», что реальная стоимость результата будет равна этой оценке, но никак не меньше. Алгоритм А* никогда не упустит возможности минимизировать длину пути, и потому является допустимым. Большую проблему представляют собой потребляемые алгоритмом ресурсы памяти.

Выводы

В ходе проведённой работы была разработана математическая модель плана модернизации медицинского учреждения, был проведён обзор существующих методов решения. Рассмотрев основные их достоинства и недостатки, для решения поставленной задачи предполагается выбрать в качестве оптимального метода решения – алгоритм А*, в качестве субоптимального – муравьиный алгоритм.

Список использованной литературы

1. Касьянов В.Н., Евстигнеев В.А. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение СПб. БХВ-Петербург, 2003. – 1104 c.
2. Russel S., Norvig P. / Рассел С., Норвиг П. – Artificial Intelligence. A Modern Approach, Second Edition / Искусственный интеллект. Современный подход (2-е издание),2006. – 1408 с.
3. Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ, 3-е издание – М.: Вильямс, 2013. – 1328 с.
4. Терелянский П.В. Системы поддержки принятия решений. Опыт проектирования: монография / П. В. Терелянский; ВолгГТУ. – Волгоград, 2009. – 127 c.
5. Скобцов Ю.А. Основы эволюционных вычислений. – Донецк: ДонНТУ, 2008. – 326 с.