Основные источники и классификация погрешностей численного решения задач на ЭВМ

Источник: http://www.math.tsu.ru/EEResources/cm/text/1_2.htm

Одним из главных вопросов, возникающих при численном решении задач математической физики,является оценка достоверности полученного результата. Получение такой оценки усложняется, если в распоряжении исследователя нет экспериментальных или каких-либо иных результатов. Источник возникновения погрешностей можно проследить, следуя вышеприведенным этапам численного решения задачи. Во-первых, это погрешность, вносимая математической моделью задачи. Величина погрешности, вносимой в результат математической моделью, может возрасти, если в модели не учтены какие-либо важные характеристики изучаемого явления.

Кроме того, исходные данные вносят свою долю (иногда основную) в образование погрешности результата.

Эти источники погрешности называют неустранимыми погрешностями, так как их нельзя полностью устранить ни до начала решения задачи, ни, тем более, в процессе ее решения.

Не следует стремиться к уменьшению погрешности одних данных, оставляя другие без изменения. Это не приводит к повышению точности результата, поэтому на практике исходные данные задаются примерно с одинаковой точностью.

Еще одним источником погрешности является численный метод. Во многих численных методах, связанных,например, с приближенным вычислением интегралов или с нахождением промежуточных значений функции, заданной в виде таблицы, используется идея приближения функции с помощью алгебраического многочлена степени . Это приводит к образованию погрешности, связанной с такой заменой.

Заметим, что приближенное вычисление интеграла осуществляется также путем замены его конечной суммой, исходя из определения интеграла. Такая замена приводит к погрешности. Этот список примеров можно продолжить (см. [4, c. 19]). Заметим, что погрешность численного метода может быть уменьшена до разумных пределов за счет изменения некоторых параметров задачи, например шага интегрирования.

Этот тип погрешности более подробно анализируется для каждого численного метода в соответствующих разделах курса “Методы вычислений” [1–5].

При вычислении на ПЭВМ неизбежно возникает погрешность округления в силу ограниченности разрядной сетки компьютера. Например, при округлении в компьютере максимальная относительная погрешность равна , где – основание системы счисления, – количество разрядов мантиссы числа. Если просто отбрасывать лишние разряды, то эта погрешность может возрасти в два раза.

Максимальная погрешность, вычисленная по вышеприведенной формуле, для чисел, представленных в формате с одинарной точностью (стандарт IEEE754), равна

Для чисел,представленных в формате с двойной точностью, (см. [4, c. 20]).

Список использованной литературы

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – М., 1966. –Т. 1. – 632 с.
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М., 1966. – 638 с.
3. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. – М., 1976. – Т. 1. – 302 с.
4. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. – М., 2002. – 300 с.
5. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М., 1972. – 367 с.
6. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М., 1987. – 288 с.