ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ ВАЛКОВОГО УЗЛА

Задача управления работой машинного агрегата от УВМ требует наличия адекватной математической модели технологического процесса выполняемого на данном машинном агрегате. В настоящей работе ставится задача разработки оптимальной по критерию плоскостности полосы режимов обжатий, которые определяются соотношением формы активной образующей рабочих валков с учетом многообразия влияющих факторов и формы поперечной разнотолщинности прокатываемой полосы.

Эту информацию можно получить путем расчета на жесткость валкового узла клети, основываясь на известных положениях теории упругости, сопротивления материалов и теории обработки металлов давлением (физическая модель), либо путем построения регрессионных моделей, полученных на основании статистической обработки экспериментальных данных.

Первый тип моделей менее пригоден для использования в УВМ ввиду того, что они занимают большой объем оперативной памяти и имеют большое время счета, что не позволяет их использование в реальном масштабе времени.

В этом плане более предпочтительны регрессионные модели, однако, и они имеют ряд существенных недостатков:

1) применение их ограничено рамками стана, для которого она разработана.

2) низкая точность модели, определяемая точностью используемых датчиков.

3) недостаточно полное оснащение валкового узла промышленного стана требуемыми для построения модели датчиками.

4) трудоемкость проведения эксперимента с охватом всего многообразия возможных технологических ситуаций.

5) невозможность разработки моделей для вновь проектируемых станов.

С учетом сказанного, поставленная задача решается путем разработки регрессионных моделей на основе исходных данных, полученных на математической модели валкового узла (физическая модель), с последующей ее проверкой и адаптацией на действующем стане.

С учетом имеющейся информации о факторах, влияющих на форму активной образующей рабочих валков [1], принято решение установить регрессионную взаимосвязь между следующими параметрами (факторами): сила прокатки (Р), относительная ширина полосы (B/L), сила противоизгиба рабочих валков (Q_р), суммарная рабочая профилировка валков (), скосы на краях бочки опорных валков (С_е), разность прогиба рабочих валков на ширине полосы (y). В качестве функции отклика, в зависимости от предполагаемого места использования модели, принималась сила противоизгиба рабочих валков, разность прогиба рабочих валков на ширине полосы.

С целью определения степени и характера взаимовлияния переменных, был проведен однофакторный анализ варьируемых параметров с фиксацией остальных на среднем уровне. Установлено, что влияние независимых переменных на функцию отклика в пределах факторного поля носит линейный (Р, , B/L, h) или близкий к линейному (С_е) характер

С учетом сказанного и с целью уменьшения объема вычислительной работы, проведено планирование эксперимента с варьированием независимых переменных на двух уровнях (2⁵ = 32 опыта).

Функцию отклика строили в виде полинома

(1)

Где - неизвестные коэффициенты полинома,

m – количество независимых переменных;

x_i,j – независимые переменные.

Построение полиномов и их статистическую обработку провели с использованием библиотеки стандартных программ. Как показал последующий анализ, полученные таким образом модели имели низкую точность расчета функции отклика даже в точках аппроксимации – отклонение в некоторых точках превышало 20%.

Анализ причин низкой точности моделей показал, что в этом случае имеет место некоторые неточности с использованием методов математической статистики для оценки качества полученной модели: отсутствие параллельных опытов не позволяет дать оценку дисперсии ошибок наблюдений, проверить адекватность модели и оценить значимость коэффициентов регрессии.

Учитывая сказанное, принято решение в основу оценки качества полинома положить величину относительного отклонения функции отклика (y_ip) от «экспериментальных» данных (y_iэ) во всех точках плана

(2)

«Экспериментальные» данные получены в результата расчета на математической модели [2].

Построение полинома проводили методом включения (пошагового поиска) начиная с линейной модели (первые два члена в уравнении (1)).

Если величина отклонения (2) для построенного полинома даже в одной точке плана эксперимента превышает заданную точность ( = 10%), то этот полином считается неадекватным, дополняется взаимодействием факторов или степенным членом (в зависимости от достигнутой структуры) и построение полинома повторяется.

Так как в математическом обеспечении ПЭВМ подобных программ нет, была разработана специальная программа, работающая по сформулированному принципу.

Исходные данные представляются в виде матрицы размерности (Nm+2)

(3)

На основании метода наименьших квадратов минимума средне – квадратичной разности экспериментальных и рассчитанных по полиному функций отклика, формируется расширенная матрица плана, начиная с линейной (k = m)

(4)

где k – число членов полинома

, (5)

здесь - число сочетаний из m по z=2m.

Неизвестные коэффициенты полинома определяем методом Гаусса [3] c использованием матрицы (3).

Определив коэффициенты, производят расчет по полученному полиному во всех точках плана, и определяют абсолютную и относительную разность функции отклика в точках плана (2). Если отклонение в одной точке превышает заданную точность (), полином дополняется новым членом и расчет повторяется.

С использованием разработанной программы построены модели поперечной разнотолщинности полосы и силы противоизгиба рабочих валков для стана 2000 ЧерМК, силы противоизгиба для проектировавшегося стана 3600 ЗСМК (Россия), и относительной величины силы прижима ролика для стана 5000 КрМК (Россия).

Для удобства использования в УВМ, коэффициенты полиномов сгруппированы по признаку частоты их пересчета в процессе выполнения технологического процесса.

(6)

где к – корректировочный коэффициент;

A₁ – коэффициент, зависящий от силы прокатки Р;

B₁ – коэффициент, зависящий от геометрических размеров прокатываемой полосы и геометрических размеров валкового узла.

В таком виде полином предназначен для корректировки силы противоизгиба от УВМ в период прокатки одной полосы.

В случае использования полинома в модели оптимизации процесса прокатки от УВМ исходя из критерия обеспечения плоскостности полосы, по описанной методике разработан применительно к условиям стана 2000 ЧерМК полином зависимости разности прогиба рабочих валков на ширине полосы (Δy) в функции выше перечисленных параметров и силы противоизгиба (Q) рабочих валков [4]

(7)

(8)

Где к₅, (к₇) – коэффициенты полинома содержащие фактор Р (Q),

к₆, (к₈) – коэффициенты полинома, содержащие факторы Q (P),

к₂, к₄ – остальные члены полинома,

b₀ – свободный член.

Как показал сравнительный анализ, среднеквадратичное отклонение результатов расчета по разработанным регрессионным моделям по сравнению с «физической» не превышает 6,1%, а максимальное - 9, 3%

Список литературы.

1. Клименко В.М., Горелик В.С., Поваляев В.Д. и др. Точность листов при контролируемой прокатке // Производство толстолистовой стали. – М.: Металлургия. – 1977. - №2. – С. 74 – 78.

2. Клименко В.М., Поваляев В.Д., Горелик В.С. Математическая модель станов кварто с силовым профилированием рабочих и опорных валков.// Известия вузов. Черная металлургия 1976.- №12.- С.77-80.

3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.:- Наука.- 1970.-662 с.

4. Поваляев В.Д. Управление плоскостностью полос на прокатных станах в автоматическом режиме от УВМ. // Производство проката.- 1998.-№ 11-12. С.42-45.