Автор: Б.Т. Федосов
Источник:http://model.exponenta.ru
Реальные промышленные объекты управления обычно являются многомерными, т.е. имеют несколько входов и несколько выходов. В ряде случаев такие объекты можно промоделировать, пренебрегая второстепенными воздействиями, а также второстепенными управляемыми величинами. В результате такого обоснованного упрощения можно получить простую модель с двумя (управляющим и возмущающим), а в некоторых случаях и с одним воздействием, и с одной управляемой величиной. Это существенно упрощает как анализ объекта, так и разработку системы автоматического управления им.
Однако во многих случаях необходимо обеспечить управление несколькими управляемыми величинами объекта, его выходными величинами, путем воздействия на несколько его входов, т.е. изменения управляющих величин, плюс к тому следует учесть еще и несколько возмущений. Особенность управления таким, достаточно сложным в описании объектом, состоит в том, что может случиться, что воздействие по одному входу приводит к изменению не одной, а сразу нескольких управляемых величин. Например, по некоторым оценкам [8–2], в химических технологических процессах порядка 15% составляют двусвязные системы регулирования. Проиллюстрируем особенности многомерных объектов управления следующими примерами.
Пусть имеется легковой автомобиль. Если он едет, и водитель слегка повернет руль налево, то и автомобиль начнет поворачивать влево. Если шофер добавит газу, то машина поедет быстрее. Это очевидно. Представим воображаемый автомобиль, который при повороте руля не только поворачивает, изменяет направление движения, но и ускоряется. Имея такой автомобиль, владелец недобрым словом помянет его производителей, но, не имея другого, будет вынужден приноравливаться к тому, что есть. Поворачивать машину придется не только поворотом руля, но и одновременным уменьшением газа, если требуется повернуть на той же скорости. В конце концов, и к этому можно приноровиться.
Конечно, такой воображаемый автомобиль никто не будет производить, поскольку его никто не купит. Но вот с вертолетами совсем другое дело. Они ведут себя именно так, и, тем не менее, их используют. Действительно, если пилот вертолета желает ускориться, то он, естественно увеличивает подачу газа. Однако только это не приводит к увеличению скорости: несущий винт начинает вращаться быстрее, и вертолет стремится подняться. Более того, ускорение вращения несущего винта заставляет вертолет еще и поворачиваться вокруг вертикальной оси, меняя направление движения. Итак, чтобы ускорить полет вертолета на той же высоте и по тому же направлению, пилот должен увеличить подачу топлива и одновременно увеличить тягу заднего винта, изменяя угол атаки его лопастей, а также несколько наклонить вертолет вперед (точнее, перекосить плоскость вращения лопастей главного винта), чтобы добавленная увеличением газа мощность расходовалась на полет вперед. Поэтому–то управлять вертолетом куда сложнее, чем самолетом, у которого управляемые величины если и взаимозависимы, то куда в меньшей степени.
Таким образом, существуют объекты, управляемые величины которых зависят от нескольких управляющих и возмущающих воздействий и управление такими объектами довольно сложное занятие.
Для описания и исследования, стабилизации и оптимизации многомерных систем используется солидный математический аппарат [1], в частности методы декомпозиции и децентрализации, векторные функции Ляпунова и др. Этот аппарат с одной стороны, требует достаточно высокой математической культуры, но с другой, ввиду своей общности, существенно затрудняет понимание технической, физической сущности процесса управления. Работа по анализу и оптимизации системы управления сводится к выполнению некоторых математических операций, в результате которых может быть получена оптимальная в некотором смысле система управления. Однако разработчику весьма полезно чувствовать свойства проектируемой и исследуемой системы, чтобы качественно (в смысле не количественно) контролировать процесс оптимизации.
Настоящая статья имеет целью наглядное рассмотрение особенностей многомерных объектов и управления ими, позволяющее достичь понимания существа дела.
Отличительной особенностью реальных многомерных многосвязных объектов является то, что каждая выходная, управляемая величина зависит не от одной, а от нескольких входных, управляющих величин, а также нескольких возмущений. Как показано на примерах, приведенных выше, во введении, управление таким объектом может оказаться довольно сложной задачей.
Для упрощения управления многомерными объектами стараются «развязать» выходные величины так, чтобы каждая выходная, управляемая величина зависела только от «своей» (своих) входной, управляющей. Но даже при осуществлении такой развязки при последующем включении многомерного объекта в контуры управления, оказывается, что в системе управления возникают более или менее сложные контура, которые, в принципе, потенциально могут привести к потере устойчивости системой управления. Потери устойчивости и нужно избежать при проектировании системы управления.
Динамический режим работы объекта подразумевает, что воздействия на него изменяются во времени, что приводит к проявлению инерционно–колебательных свойств объекта, а также к проявлению имеющихся в нем запаздываний, связанных с распространением сигналов.
Рассмотрим некоторый объект с двумя входами и двумя выходами. На первый вход подадим единичную ступеньку, а через некоторое время подадим ступеньку и на второй вход:
Рис. 1.1.1.1. На осциллограмме показана только первая выходная величина как функция времени, чтобы не перегружать чертеж. Первая выходная величина зависит не только от воздействия по первому входу, но и от воздействия по второму входу
По начальной части осциллограммы первой выходной величины y1 можно сделать вывод, что прямой канал u1 → y1 представляет собой последовательное соединение апериодического звена первого порядка, имеющего постоянную времени, равную примерно 0.3 сек, и звена запаздывания на 1.5 сек. На восьмой секунде появляется ступенчатое единичное воздействие на втором входе объекта, и это приводит к уменьшению первой выходной величины, имеющему затухающий колебательный характер. Частота и скорость затухающих колебаний, а также приращение первой выходной величины, вызванное ступенчатым изменение второй управляющей, позволяют оценить и параметры колебательного звена, связывающего второй вход с первым выходом.
Таким образом, при управлении многомерным многосвязным объектом следует учитывать и компенсировать реакцию управляемых величин на иные, кроме «своего» управляющего воздействия, которые могут рассматриваться с точки зрения управления объектом по первой управляемой величине как возмущения.
Посмотрим, что находится внутри составного блока линейной модели 2D–объекта управления:
Рис. 1.1.1.2. Структура рассматриваемого объекта показывает, что связи имеются с каждого входа к каждому выходу. Как видно, каждая выходная величина зависит не только от собственной управляющей, но и от другой величины, которую можно рассматривать как возмущение. По существу в реальных линейных объектах связи могут быть более сложными, но их можно привести примерно к такому виду, разве что звенья запаздывания могут оказаться еще и в других связях
Описание методом "Вход – выход" связывает выходные сигналы модели с каждым входным. В области изображений такое описание реализуется с помощью передаточных функций по каждой связи:
(1.1.1.1)
Или, в матричной форме:
(1.1.1.2)
Достоинство описания по методу «Вход – выход» состоит в том, что можно в явном виде проследить прохождение сигнала по всем ветвям модели от любого входа к любому выходу. Недостаток описания в том, что при большом числе входных и выходных величин работа по анализу свойств системы становится весьма трудоемкой.
Статический режим работы системы или объекта управления это их функционирование при постоянных или относительно весьма медленно изменяющихся входных воздействиях, когда переходные процессы или уже закончились, или они дают пренебрежимо малый вклад по сравнению с текущими значениями выходных, управляемых величин. По существу, как правило, большая часть времени работы типовых промышленных объектов проходит в режиме статики или близком к нему режиме, что определяет его значимость при рассмотрении свойств объекта.
Линейная статическая модель объекта управления хороша тем, что наглядна и поэтому ввиду своей наглядности широко используется в практике. Действительно, практически любой слесарь, и само собой мастер и оператор, обслуживающие некоторый технологический объект, легко ответят на вопрос, на сколько поднимется или снизится та или иная управляемая величина, если слегка повысить управляющую или возмущение.
Линеаризованный многомерный объект управления может быть описан в статическом режиме матрицей с постоянными коэффициентами [16, 17]. Уравнения вытекают из (1.1.1.2) при подстановке р = 0 и переходе из области изображений во временную область, в область оригиналов.
Например, для объекта, имеющего два воздействия и две управляемых величины, статическая модель выглядит следующим образом:
Рис. 1.1.2.1. Описание и управление объектом в режиме статики
Смысл коэффициентов матрицы Моу, характеризующей статический режим работы объекта, нагляден и понятен. Это коэффициенты усиления сигналов по соответствующим каналам, показанным стрелками. Эти коэффициенты имеют в общем случае разные размерности. Размерности коэффициентов определяются размерностями входных и выходных величин объекта управления
В общем случае линейного объекта каждая выходная, управляемая величина определяется всеми управляющими, представляя собой их взвешенную сумму.
Известно, что практически все реальные объекты и системы являются нелинейными и непрерывными. Ограничение метода «Вход – выход» состоит в использовании линейной модели. Но малые изменения воздействий на нелинейный объект приводят к малым, пропорциональным изменениям его реакций. Моделирование объектов при достаточно малых изменениях воздействий позволяет описывать их линейными уравнениями, в частности по методу «Вход – выход». И линейность модели существенно упрощает анализ систем управления при их работе в режимах, близких к номинальным, близким к точке, в которой проведена линеаризация модели объекта.
Полное описание нелинейной модели многомерного объекта волей–неволей приходится осуществлять методом переменных состояния.
Альтернативный метод моделирования нелинейных многомерных объектов и систем это численное объектно–ориентированное моделирование в специальных программах, например в программе Vissim.
Метод переменных состояния используется для описания многомерных объектов и систем. Его применение обусловлено тем, что уравнения различных объектов имеют стандартный вид, что позволяет анализировать их свойства, в частности устойчивость, типовыми методами.
Дифференциальные уравнения, описывающие динамический объект управления, можно привести к системе уравнений первого порядка стандартного вида, т.е. представить их в т.н. форме Коши. Переменные системы уравнений называются переменными состояния. Если каждая последующая переменная состояния является производной по времени от предыдущей, то такие переменные называются фазовыми.
Для линейных объектов без звеньев запаздывания уравнения в переменных состояния имеют вид [2]:
(1.2.1.1)
Таким образом, система уравнений (1.2.1.1) связывает набор, вектор выходных переменных {yk} с набором входных воздействий {ui} через посредство «внутренних» переменных состояния {xj} многомерного объекта. На первый взгляд, введение «промежуточного звена», каким является набор переменных состояния, усложняет описание системы. Однако это не так. Наряду с тем, что описание (1.2.1.1) имеет стандартный вид, что существенно упрощает, делает единообразным анализ и решение уравнений, описывающих объект, такое описание дает и определенный методологический взгляд на линейный объект. Действительно, уравнение
(1.2.1.1,а)
в переменных состояния с учетом начальных условий, т.е. значений переменных состояния в условный нулевой момент времени, полностью, всесторонне описывает собственные, внутренние свойства и поведение объекта в отсутствие внешних воздействий.
Отметим, что матрица А содержит ровно ту же самую информацию о внутренних свойствах линейного объекта, что и его характеристический полином, в частности, сведения о степени устойчивости объекта. К этому объекту, посредством матрицы В может быть приложен нужный исследователю набор внешних воздействий, соответствующий реальной ситуации. А, кроме того, посредством матрицы С можно задать, определить, как выходные величины зависят от переменных состояния, обеспечивая соответствие моделируемому реальному объекту.
Отметим, что в литературе используется и другие назначения матрицы D, но матрицы A, B и C используются только так, как в (1.2.1.1). Уравнения (1.2.1.1) в отношении матрицы D записаны здесь так потому, что именно в таком виде они используются в Vissim’е, в котором ниже и будут определяться их матрицы по известной, заданной структурной модели.
Запись уравнений состояния в виде (1.2.1.1) приводит к стандартной форме структурной схемы модели объекта:
Рис. 1.2.1.1. Структурная векторная модель линейного многомерного объекта, описанная переменными состояния. Центральная часть модели является многомерным аналогом модели апериодического звена первого порядка. Матрица интеграторов системы четвертого порядка приведена для примера, Отметим, что в схеме матрицы умножаются на входные векторные сигналы, а не наоборот, поскольку умножение матриц и векторов некоммутативно. Апериодическое звено здесь названо «векторным» потому, что его входные и выходные величины являются векторами в пространстве переменных состояния
Для объекта с двумя входами и двумя выходами уравнения (1.2.1.1) могут, например, иметь вид:
(1.2.1.2)
Запись уравнений переменных состояния некоторой модели, да и ее последующий анализ вручную является довольно трудоемкой и скучной работой, что, возможно, заставляет отворачиваться от этого метода инженеров–практиков. Однако современные программы объектно–ориентированного моделирования (Vissim) позволяют автоматизировать процесс записи уравнений состояний для построенных структурным моделированием объектов, а программы численно–аналитического моделирования (Маткад) позволяют легко проводить алгебраические операции над матрицами и векторами, упрощая анализ конкретной системы или объекта.
Анализ свойств модели с заданной, известной структурой и определение матриц ее уравнений состояния можно выполнить в Vissim’е, в соответствии со стандартным алгоритмом [3]. Правда, по методике работы требуется сделать некоторые пояснения, иначе при ее освоении встречаются затруднения.
Для определения коэффициентов матриц некоторого фрагмента или полной модели объекта в Vissim’е необходимо запустить моделирование и выделить интересующий многомерный фрагмент схемы. Щелкнуть по Select Input/Output Points (Выбрать Вход/Выход) в списке, выпадающем при щелчке по пункту меню Analyze, а затем щелчками выбрать один вход и один выход:
Рис.1.2.1.2. Определение коэффициентов матриц переменных состояния выбранного фрагмента модели в Vissim’е и сохранение их в файле. Выбраны первый вход и первый выход модели 2D–объекта, их цвет изменился
После выбора входа и выхода щелкнуть по свободному месту на рабочем поле, а затем по пункту Linearize в списке, выпадающем при щелчке по пункту меню Analyze. В появившемся окне диалога выбрать Linearize to .m File, задать содержательное название файла и щелкнуть ОК.
В папке, где сохранен и откуда запущен файл анализируемой, линеаризуемой модели Vissim’а появится текстовый файл с расширением .m. В данном случае это файл 2D_Obj_vabcd_11.m. Просматривать его можно с помощью какого–нибудь текстового редактора, например, Notepad++, Word, или даже Блокнот. Но в последнем появляются нечитаемые символы переноса строки и запись приходится слегка править вручную для того, чтобы текст принял вид:
Рис. 1.2.1.3. Содержание файла 2D_Obj_vabcd_11.m, представленное в Notepad++. Как видно, Vissim ввел все семь переменных состояния (одну для апериодического звена и по две для каждого колебательного звена), но матрицы B и C соответствуют наличию в модели только первого входа и первого выхода. Матрица D также отражает наличие одного входа, не связанного с выходами
Для определения матриц b, c и d проведем также как и выше, линеаризацию объекта с каждого входа на каждый выход и посмотрим на содержание сформированных Vissim’ом файлов:
Рис. 1.2.1.4. При каждом создании матриц уравнений состояния Vissim полностью определяет матрицу A, а матрицы входа B и выхода C определяются только для конкретных входов и выходов. Как видно, для получения полных матриц B и C достаточно провести линеаризацию только с первого входа на первый выход и со второго входа на второй выход
Таким образом, Vissim при каждой частной линеаризации определяет весь набор коэффициентов матрицы А для всех переменных состояния, видимо, в предположении, что в дальнейшем к этой основе, ядру исследователь будет различным образом подключать входы и делать выходы.
Совместив вручную в текстовом редакторе матрицы B и C из первого и последнего файлов, а также отразив тот факт, что входы не подключены непосредственно, через усилители к выходам, что дает нулевую матрицу D, размерности [2x2] по числу входов и выходов, получим окончательно матрицы уравнений состояния объекта управления:
Рис.1.2.1.5. Набор полных матриц уравнений состояния динамического 2D–объекта, файл 2D_Obj_vabcd_Full.m. Матрицу D следует представить в виде [2 х 2], соответственно числу входов и выходов объекта
Как же Vissim определяет число переменных состояния и их локализацию в схеме модели?
Он определяет число интеграторов в выделенном фрагменте схемы, включая интеграторы, входящие в схемы субмоделей. Например, в блоке Передаточная функция (TransferFunction) второго порядка два интегратора, третьего порядка – три. Переменные состояния относятся к выходам этих интеграторов, и поэтому их число совпадает с числом интеграторов.
Для построения модели, базирующейся на переменных состояния, в Vissim’е необходимо вынести на рабочее поле блок Пространство Состояний – State Space (Blocks – Linear Systems – Statespace). Затем, щелкнув по блоку правой кнопкой, в окне диалога указать путь к файлу с матрицами 2D_Obj_vabcd_Full.m и щелкнуть по кнопке ОК. Подав на входы блока Пространство Состояний пробные сигналы, присоединив выходы к осциллографу и запустив моделирование получаем осциллограммы, которые совпадают с осциллограммами исходного объекта, см. рис. 1.2.2:
Рис. 1.2.1.6. Моделирование 2D–объекта блоком Пространство Состояний – State Space дает тот же результат, что и исходная модель, составленная из динамических звеньев. Модель состоятельна. Отметим, что блок сам, по заданному ему файлу матриц 2D_Obj_vabcd_Full.m определяет число входов и выходов, отображая их на рабочем поле и число переменных состояния, показывая их в окне диалога при последующих его открытиях
Раскроем частично объектную модель, соответствующую блоку Пространство Состояний (StateSpace) рис. 1.2.1.6, построив эквивалентную схему из отдельных блоков.
Схема получится довольно большой, поэтому для начала покажем задание на рабочем пространстве коэффициентов матриц входа В и выхода С:
Рис. 1.2.1.7. Задание коэффициентов матриц B и C с помощью бока ScalarToVec (Blocks – Annotation) преобразования набора скалярных величин в вектор и беспроводная передача матриц по их имени. Значения коэффициентов на цифровых дисплеях появляются после запуска моделирования
Теперь покажем модель рассмотренного ранее объекта, являющегося частным случаем модели рис. (1.2.1.1):
Рис. 1.2.1.8. Векторно–матричная модель 2D–объекта с раскрытием матриц операторов и системной матрицы А. Уравнения состояния позволяют моделировать сложный объект в типовом векторно–матричном виде. Операции умножения матрицы интеграторов на вектор производных переменных состояния, а также умножения матрицы А на вектор переменных состояния раскрыты, показаны в явном виде для ненулевых коэффициентов матрицы. Как видно, результаты моделирования, т.е. переходные функции модели точно такие же, как и у исходного объекта, построенного из совокупности динамических блоков, см. рис. 1.2.1.2 и рис. 1.2.1.6
Итак, матрица В «распределяет» с соответствующими весами входные воздействия по каналам каждой переменной состояния. Матрица А возвращает с соответствующими весами переменные состояния ко входу векторного сумматора, что в сумме со взвешенными матрицей В входными воздействиями дает вектор производных переменных состояния. Этот вектор интегрируется матричным интегратором, давая значения переменных состояния. Круг замкнулся.
Полученные значения переменных состояния взвешиваются матрицей С, давая в итоге выходные величины объекта.
В данном случае матрица D нулевая, и не передает непосредственно входные сигналы на выход. Поэтому соответствующие связи на модели не показаны, чтобы не перегружать чертеж.
В векторно–матричном виде модель в форме рис. 1.2.1.1 примет вид:
Рис.1.2.1.9. Представление модели 2D–объекта в матричной форме имеет компактный вид. Результаты моделирования те же самые, что и ранее, модель состоятельна. Конечно, показанные здесь для наглядности блоки задания коэффициентов матриц следует поместить в составной блок, чтобы не перегружать основное рабочее поле модели
Модель, в отличие от реального объекта, позволяет посмотреть и поведение всех переменных состояния:
Рис. 1.2.1.10. Осциллограммы переменных состояния рассмотренного выше 2D–объекта
Переменные состояния, в случае, если каждая из них является производной по времени от предыдущей, называются фазовыми переменными и в этом случае они имеют конкретный физический смыл, как правило, могут быть локализованы и проконтролированы в реальном объекте. В некоторых случаях переменные состояния могут вообще не иметь достаточно ясно выраженной смысловой физической нагрузки, и не могут быть локализованы в реальной системе, а, следовательно, и не могут быть проконтролированы, т.е. измерены. Тем не менее, модель объекта, представленная в переменных состояния позволяет наблюдать, контролировать поведение всех переменных состояния, см. рис. 1.2.1.10.
Анализируя матрицу выхода С, полученную Vissim'ом можно определить, выходные сигналы каких блоков исходной модели, построенной из динамических звеньев, каким переменным состояния соответствуют:
Рис. 1.2.1.11. Матрица выхода С позволяет локализовать переменные состояния в исходной модели объекта. Это просто выходные сигналы соответствующих звеньев. Переменные х2, х4 и х6 локализованы «внутри» колебательных звеньев
Первая переменная, как видно по матрице С, это выходной сигнал апериодического звена. Седьмая переменная это выходной сигнал звена со второго входа на первый выход. Третья переменная это выходной сигнал звена перекрестной связи с первого входа на второй, и пятая переменная это выходной сигнал звена в связи второго входа ко второму выходу.
Матрицы уравнений переменных состояния не столько нужны исследователю непосредственно в программе Vissim, где вполне достаточно модели, собираемой из динамических звеньев, сколько могут потребоваться для последующего аналитического исследования объекта или системы и оптимизации ее параметров.
Отметим, что Vissim не может осуществлять описанную выше линеаризацию, с получением матриц уравнений состояния при наличии блоков задержки в составе модели объекта. При анализе схемы ветвь со звеном запаздывания Vissim просто считает разомкнутой. Дело в том, что в этом случае в системе уравнений переменных состояния присутствуют не только дифференциальные уравнения, но и алгебраические.
Тем не менее, Vissim вполне может быть использован для «полуавтоматического» получения матриц уравнений состояния, если в объекте отсутствуют звенья запаздывания. Это уменьшает ручную рутинную и трудоемкую работу по проведению выкладок при записи и преобразовании системы дифференциальных уравнений произвольного вида к форме Коши, и по силам любому студенту.
Способы учета звеньев запаздывания при описании линейных объектов уравнениями состояния, а также записи уравнений с использованием Vissim’а, рассмотрены далее.
Определять матрицы уравнений состояния позволяют и другие программы, например ПК «МВТУ» [4] и Jigrein [5]. Более того, в отличие о Vissim’а, эти программы имеют инструменты для построения частотных характеристик моделей со звеньями запаздывания, а, следовательно, позволяют проводить их частотный анализ, в частности судить о степени устойчивости, т.е. качестве САР.
В традиционных учебниках, например [6], при рассмотрении описания линейной системы в пространстве переменных состояния обычно, скорее всего, ненароком, авторы умалчивают о том, что представление уравнений в классической форме Коши позволяет описывать только системы без запаздывания. Конечно, как правило, студент об этом не может догадаться, у него достаточно других проблем, связанных с освоением материала.
Естественно, исключение из рассмотрения запаздывания в объектах является недостатком метода, поскольку существенно сужает класс объектов, которые можно анализировать методом переменных состояния. Отметим, что и Vissim способен анализировать, определять матрицы уравнений переменных состояния только для моделей без звеньев запаздывания, см. выше.
Некоторые продвинутые учебники, например [9, формула (2.1.2)] дополняют классическую систему уравнений в форме Коши еще и вспомогательными уравнениями запаздывания:
Рис. 1.2.2.1. Учет задержек в объекте с запаздыванием путем введения вспомогательных уравнений и соответствующих им дополнительных звеньев запаздывания ЗЗ [9]
При таком описании выходные сигналы звеньев запаздывания не относят к переменным состояния. И поэтому такое представление выглядит паллиативом, половинчатым решением, поскольку анализ традиционной матрицы системы, в которой не учитываются звенья запаздывания, например оценка устойчивости, теряет смысл.
Рассмотрим многомерный многосвязный объект, в некоторых или во всех ветвях которого имеются звенья запаздывания.
Первоначально опишем этот объект предварительно исключив из него звенья запаздывания, заменив их прямыми жесткими связями. В этом случае объект без запаздывания может быть описан в традиционной форме Коши (1.2.1.1):
(1.2.2.1)
Первое матричное уравнение в (1.2.2.1) может быть записано в виде
(1.2.2.2)
где L – матричный оператор дифференцирования:
(1.2.2.3)
Вернемся к полной схеме объекта. В общем случае, каждая переменная состояния исходной модели, не учитывавшей задержки, может быть задержана на некоторое время соответствующим звеном запаздывания. Поэтому дополним набор переменных состояния уравнения (1.2.2.2) таким же числом переменных состояния, соответствующих выходным сигналам звеньев запаздывания.
Для обобщения линейного оператора объекта L (1.2.2.3) придется ввести формальный оператор Fwd[x(t), τ], описывающий значение функции, опережающее по времени текущее на интервал τ:
(1.2.2.4)
Отметим, что для задач, решаемых в реальном времени, такой оператор–предсказатель, естественно, нереализуем. Но для апостериорного решения [22], когда воздействия известны заранее на всем нужном промежутке времени, например от минус бесконечности до плюс бесконечности, это возможно. Впрочем, проводимое описание направлено на получение в результате структурной модели объекта с запаздыванием, способной работать в реальном времени, составляемой на основе уравнения состояния. Поэтому не слишком актуальные проблемы аналитического решения уравнений состояния оставим до лучших времен.
Итак, в любой ветви модели объекта может оказаться звено запаздывания, более того, запаздывать может любая исходная переменная состояния объекта, рассмотренного без учета звеньев запаздывания (1.2.2.2). Отобразим этот факт уравнением:
(1.2.2.5)
где LdF – формальный матричный оператор дифференцирования – опережения по времени:
(1.2.2.6)
где ki – коэффициент, равный единице, если звено запаздывания для некоторой переменной состояния имеется, и равно нулю, если таковое отсутствует. Максимальная размерность матрицы LdF может быть равна удвоенному значению размерности матрицы L.
Операторная матрица LdF получена из исходной операторной матрицы L путем добавления строк соответствующих задержкам по времени исходных переменных состояния. Справа матрица дополнена таким же количеством нулевых столбцов.
Поскольку может быть, что не все исходные переменные состояния задерживаются, что соответствует ki = 0, то эти строки и столько же нулевых столбцов справа исключается из конечной операторной матрицы.
Матрица внутренних связей между переменными состояния объекта с учетом звеньев запаздывания примет вид:
(1.2.2.7)
Если ki = 0, то одновременно с исключением строк и столбцов в операторной матрице LdF следует то же самое сделать и в матрице связей AdF. В компактном виде матрицы LdF и MdF можно представить так:
(1.2.2.8)
Матрица AdF как и ранее, указывает на внутренние связи между элементами объекта. Матрица BdF теперь должна содержать столько же строк, что и матрицы LdF и MdF. Поскольку к исходным «инерционным» переменным состояния были добавлены «запаздывающие» переменные состояния, то следует модифицировать и уравнение выхода:
(1.2.2.9)
Матрица СdF содержит столько же столбцов, что и матрицы LdF и MdF, их число равно числу переменных состояния.
Итак, в результате введения оператора опережения Fwd, уравнения состояния объекта с задержками принимают ту же самую традиционную форму:
(1.2.2.10)
Однако размерность матриц увеличивается на число переменных состояния, соответствующих звеньям запаздывания в объекте. Кроме того, операторная матрица наряду с операторами дифференцирования содержит теперь и операторы опережения Fwd[x(t), τ].
По существу, уравнения состояния, приведенные выше, отображают все фундаментальные инерционно–динамические и пространственно–временные свойства непрерывных линейных физических объектов, включая как динамические их свойства, так и пространственную протяженность объектов и связанные с этим задержки в распространении сигналов и перемещении тел. Матрица A определяет, отражает физические связи внутри объекта.
Аналитическое решение операторных уравнений (1.2.2.8) не вызывает особого энтузиазма, поскольку матричный оператор LdF содержит операторы разной физической природы: дифференцирования и прогнозирования. В то же время, структурное решение получается без труда, см. ниже.
Отметим также, что аналитическое решение позволяет оценивать свойства модели объекта только в апостериорном режиме, когда воздействия известны заранее на всей временной оси [21]. Структурное решение, в отличие от аналитического, позволяет определять реакцию модели объекта в реальном режиме времени, по мере поступления новых, неизвестных заранее значений воздействий. Другими словами, структурные, виртуальные модели могут работать в реальном режиме времени в реальных системах управления.
Структурная модель для объекта с запаздываниями строится по тем же принципам, что и для объекта без задержек, см. рис. 1.2.1.1. Внешнее отличие состоит только в обозначении и наполнении матрицы операторов.
Матрицу операторов, рис. 1.2.1.1 структурной модели следует модифицировать путем продолжения диагонали с интеграторами операторами задержки
(1.2.2.11)
обратными по действию по отношению к оператору прогноза Fwd, см. ниже.
Покажем на примере применение обобщенного представления уравнений состояния для модели двумерного объекта с запаздыванием:
Рис. 1.2.2.2. Модель 2D–объекта в переменных состояния с использованием в матрице операторов не только интеграторов, но и блоков задержки обеспечивает моделирование объектов с запаздыванием. Конкретные значения задержек заданы в операторах задержки операторной матрицы. Матрица AdF обозначена на схеме для наглядности как ADelay, а в файлах Vissim’a матрицам сохранены названия А, В и С соответственно. Переходные функции объекта точно такие же, как и у объекта, собранного из динамических звеньев со звеньями запаздывания, см. рис. 1.1.2. Модель состоятельна. Задание значений коэффициентов матриц А, В и С проводится в составном блоке, за пределами области рабочего поля Vissim’а, показанной на рисунке
Матрица операторов структурной модели и конкретная реализация этой матрицы выглядят следующим образом:
Рис. 1.2.2.2, а. Матрица операторов и наполнение составного блока «Матрица операторов»
Модификация операторной матрицы и остальных матриц системы уравнений состояния проводилась вручную, на основе анализа локализации переменных состояния в модели объекта с исключенными звеньями запаздывания, см. рис. 1.2.1.11 и добавлением соответствующих выходным сигналам этих звеньев дополнительных переменных состояния.
Доцент ЮУрГУ Н.В. Клиначев предложил [14] остроумный способ локализации переменных, позволяющий обойти неспособность Vissim’а анализировать системы со звеньями запаздывания: следует заменить эти звенья интеграторами, а затем стандартными средствами Vissim’а получить матрицы уравнений состояния. С некоторым дополнением, упрощающим локализацию переменных, этот способ выглядит так:
Рис. 1.2.2.3. Замена звеньев запаздывания интеграторами и усилителями с характерными значениями коэффициентов усиления позволяют идентифицировать исходную модель, т.е. ввести и локализовать переменные состояния, соответствующие выходам звеньев запаздывания. Отметим, что при идентификации Vissim добавил два нулевых столбца в матрице связей А слева, а не справа, как это было сделано выше. Очевидно, эти отличия никак не влияют на свойства моделей
Остается, как было показано выше, провести локализацию переменных состояния, выполнив анализ в Vissim’ е по каждой паре входов и выходов, и модифицировать матрицы А, В.С и D.
Наконец, по соображениям математической эстетики можно привести матрицу А к виду (1.2.2.5), при котором верхняя левая часть матрицы отведена «инерционно–динамическим» переменным состояния, а нижняя левая – переменным состояния звеньев запаздывания и соответствующим образом модифицировать матрицы В и С.
Таким образом, Vissim позволяет «механизировать» процесс получения уравнений состояния объекта или системы управления по их функциональной схеме, состоящей из звеньев с известными передаточными функциями. Это открывает путь к аналитическому изучению свойств объекта в целом, а также его моделированию блоком StateSpace (Переменные Состояния) в Vissim’е, и в других программах, например, ПК «МВТУ», Jigrein или MVS. Это вовсе не исключает необходимости владения исследователем аналитическими методами получения дифференциальных уравнений объекта и приведения их к обобщенной форме Коши, например, для проверки правильности получения этих уравнений в программах моделирования, но существенно экономит время на выполнение преобразований.
Модификация операторной матрицы и матриц уравнений состояния, рассмотренная выше, позволяет моделировать объекты со звеньями запаздывания в пространстве переменных состояния.
Эта модификация открывает путь к анализу полной модели объекта, в том числе к оценке устойчивости, частотному анализу и др. Вопросы углубленного анализа объектов запаздывания по их уравнениям состояния требуют отдельного рассмотрения. В данной работе ставится только скромная задача показать, что использование встроенных инструментов моделирующей программы, в частности, Vissim’а, позволяют при некоторых дополнительных усилиях получать уравнения в переменных состояния для линейных объектов общего вида, содержащих не только динамические звенья, но и звенья запаздывания. А это может существенно упростить жизнь студенту, да и исследователю, при получении уравнений состояния, исключая необходимость получения их из исходных дифференциальных уравнений объекта (уравнений элементов и связей между ними).
Отметим, что неспособность Vissim’а осуществлять построение частотных характеристик систем с запаздыванием можно в определенной мере компенсировать методическим приемом [10].
Описание систем управления, как линейных, так и нелинейных, в пространстве состояний значительно чаще используется математиками, специализирующимися в области управления, чем инженерами. Понятное дело, представление уравнений в стандартном, типовом виде, позволяет разрабатывать и применять для анализа и синтеза систем управления общие строгие и единообразные математические алгоритмы. Но такое описание, с точки зрения инженерной, не всегда является оптимальным.
Действительно, стандартная форма переменных состояния, при всей своей математической строгости, не всегда позволяет чувствовать физику, технику процессов, происходящих в объекте, его свойства. В общем случае некоторые переменные состояния могут вообще не иметь физического смысла а, значит, не позволяют чувствовать и адекватность модели реальной системе или объекту, качественно судить о состоятельности модели. Да и оптимизация систем управления с использованием метода переменных состояния и критериев качества САР, например, минимума СКО, и др., не всегда приводит к отличным результатам.
Отметим также:
"В адрес методов пространства состояний прозвучала критика [3, 18]. В работе [18] приведен пример задачи, решаемой в соотношениях вход–выход и не решаемой с использованием стандартных процедур в пространстве состояний." [14]
Тем не менее, метод переменных состояния при соблюдении высокой математической аккуратности, также может быть использован при анализе и синтезе систем управления. При этом целесообразно применять модифицированную, как предложено выше, форму представления операторной матрицы и матриц системы, с тем, чтобы в явном виде, непосредственно учитывать запаздывания в элементах объекта.
Если имеется реальный промышленный многомерный объект управления, то при построении системы управления им возникает задача его идентификации, т.е. построения некоторой его математической модели. Одним из видов таких моделей, является модель типа «Вход – выход». Она проста в понимании, наглядна, непосредственно отражает влияние каждой входной величины на выходные.
Для получения линейной модели объекта управления типа «Вход – выход» достаточно провести определение переходных характеристик объекта по каждому входу, определяя переходные характеристики по каждому выходу:
Рис. 1.2.3.1. Переходные функции на первом выходе идентифицируемого объекта управления по первому и второму входам
По переходным функциям в рассматриваемом примере нетрудно определить, что по каналу «первый вход – первый выход» связь имеет в своем составе последовательно включенные апериодическое звено, с усилением 3 и постоянной времени 0.2 сек, и звено запаздывания на 1.5 сек. Связь со второго входа на первый выход имеет усиление 0.3, это колебательное звено с параметрами, которые можно определить по характеру переходной функции, и ее выходной сигнал суммируется с выходным сигналом прямой связи 1 – 1 с отрицательным знаком.
Отметим, что зачастую объект управления является нелинейным. Поэтому его линейную модель можно получить, установив номинальные значения входных величин, т.е. управляющих и возмущающих воздействий, а их ступенчатые приращения следует сделать малыми по сравнению с номинальными значениями. В результате будет осуществлена линеаризация объекта в его номинальном режиме и по осциллограммам получен состав моделей его ветвей.
Анализ полной нелинейной модели сложнее. Но можно свести его к предыдущему случаю, последовательно добавляя во входные ступенчатые воздействия постоянные составляющие, а затем изменяя их [19, 20]. Принцип иллюстрации идентификации нелинейного объекта, которую предложил в личном общении с автором в мае 2009 года доцент Евразийского национального университета им. Гумилева, к.т.н. Кульмамиров С.А. можно представить анимацией, сделанной в Маткаде:
Рис. 1.2.3.2. (анимация, 36 кадров). Иллюстрация способа автоматического определения статической характеристики и дифференциальных динамических свойств одномерного нелинейного инерционного объекта
Существует и множество других методов идентификации реальных объектов [11; 18, П.1; 19, п.3.3].
Мало хорошего, если при добавлении газа автомобиль начнет вместе с ускорением поворачивать направо, а при убавлении газа уменьшать скорость, но поворачивать налево. Такое взаимное влияние управляющих величин на несколько управляемых на практике стараются развязать, т.е. сохранить влияние каждой управляющей на одну, «свою» управляемую. Или, хотя бы управляющие воздействия так разбить на группы, чтобы каждой группе подчинялась только одна управляемая величина.
Развязка может быть осуществлена системами автоматического регулирования, как разомкнутыми, так и замкнутыми.
Разомкнутые САР с управлением по возмущению устойчивы, не очень точны и имеют относительно высокое быстродействие. Бывает трудно учесть, измерить и компенсировать все факторы, приводящие к ошибкам слежения. С этим, в частности, связана относительно невысокая точность разомкнутой САР с управлением по возмущению.
При управлении многомерными объектами с помощью замкнутых САР применяется параллельное управление, или, если возможно, управление на основе подчиненного регулирования с разделением вложенных контуров по быстродействию, когда САР напоминает матрешку: «быстрый» внутренний контур управления охватывается внешними, более инерционными. Поскольку «чужие» воздействия являются для САР некоторой управляемой величины возмущениями, то при параллельной работе САР их совокупность структурируют так, чтобы их быстродействие существенно различалось. Тогда «быстрые» вспомогательные САР будут успевать обеспечивать условия правильного функционирования САР главной управляемой величины.
Поскольку влияние на некоторую управляемую величину объекта «не своего» воздействия можно рассматривать как возмущение, то для его более или менее полной компенсации может быть применен принцип Чиколева – Понселе, принцип управления по возмущению, т.е. стабилизации некоторой выходной управляемой величины объекта путем воздействия по главному каналу управления противоположным возмущению сигналом. Степень компенсации определяется точностью определения величины возмущения и нестабильностью коэффициентов усиления перекрестных связей объекта.
Рис. 2.1.1. (анимация, 2 кадра). Добавляя к каждому входному воздействию часть второго с противоположным знаком можно устранить значительную часть перекрестных влияний в статике. Компенсация динамики (инерционности и колебательности) и запаздывания управлением по возмущению не осуществима, поскольку передаточная функция компенсирующего устройства должна быть обратной по отношению к передаточной функции соответствующей перекрестной связи, что приводит к нереализуемому звену
Известным недостатком управления по возмущению в разомкнутой САР является отсутствие информации для регулятора о реальном отклонении управляемой величины от требуемого значения. Это недостаток разомкнутых систем, который не позволяет осуществлять компенсацию влияния не учитываемых в модели факторов. Достоинство разомкнутой САР – устойчивость и сравнительно высокое, по отношению к системам с управлением по отклонению, быстродействие.
Полезно рассмотреть и решение частной задачи о развязке управляющих воздействий и возмущений в системе с управлением по возмущению в статическом режиме.
Рассмотрим задачу для случая равного числа воздействий и управляемых величин.
Требуется иметь преобразование системы управляющих воздействий такое, чтобы новые управляющие воздействия воздействовали только каждое на свою управляемую величину:
Рис. 2.1.2. Преобразование входных воздействий для независимого управления выходными величинами
Чтобы объект был управляемым, а матрица M-1 существовала, чтобы матрица M была бы невырожденной, нужно чтобы на каждую управляемую величину воздействовала бы, по крайней мере, одна управляющая.
Очевидно, что матрица N объекта с отсутствием взаимовлияния воздействий на управляемые величины должна быть диагональной:
(2.1.1)
Смысл коэффициентов матрицы N: это коэффициенты статического усиления по соответствующим каналам.
Поскольку в обозначениях рис. 2.1.2 вектор выходных величин равен
(2.1.2)
то матрица R должна иметь вид:
(2.1.3)
В результате каждая независимая управляющая величина vi преобразуется в вектор U, такой что под действием величины vi изменяется только i–ая управляемая величина yi, а все остальные не изменяются. Естественно, (2.1.3) имеет смысл только тогда, когда существует обратная матрица M–1, т.е. тогда, когда выходных, управляемых величин не больше, чем входных, управляющих и возмущающих, и каждая выходная величина изменяется под действием хотя бы одной входной.
В частном случае матрица N может быть единичной:
(2.1.4)
Это упрощает выработку управляющих воздействий. Они должны быть численно равны требуемым значениям управляемых величин.
Рассмотрим пример векторного управления.
Если поставить задачу определения такой совокупности взвешенных входных воздействий, чтобы она влияла только на изменение одной компоненты вектора управляемых величин, то это существенно упростит управление объектом.
Рис. 2.1.3. Векторное управление линейным объектом в статике
Таким образом, многомерным объектом с перекрестными связями между входами и выходами можно управлять, предварительно осуществив их развязку, т.е. вводя тем или иным образом компенсацию перекрестного влияния воздействий на управляемые величины. Другим вариантом решения задачи является векторное управление, когда для управления отдельной выходной величиной формируется вектор управляющих.
Чаще всего в ответственных системах управления применяется высокоточное управление по отклонению, которое предполагает наличие контура обратной связи. Контур, с одной стороны, позволяет регулятору быть в курсе того, какова в данный момент управляемая величина и соответственно корректировать управляющую величину. Но, с другой стороны, наличие контура создает и потенциальную опасность потери им устойчивости.
Особенность многомерных объектов с перекрестным влиянием воздействий на управляемые величины при управлении ими по отклонению состоит в возникновении дополнительных контуров, включающих перекрестные связи, которые также могут терять устойчивость при неудачном сочетании параметров и структуры САР.
Рассмотрим несколько примеров.
Пусть каждая управляемая величина двумерного объекта управляется своим контуром. Перекрестные связи, дополняя связи прямые, образуют и дополнительный, третий контур, в виде «восьмерки»:
Рис.2.2.1 (анимация, 2 кадра). Многосвязный объект имеет несколько контуров, каждый из которых потенциально может быть неустойчивым. В данном случае неустойчив только первый контур, более того, третий контур, имеющий вид «восьмерки», играет хоть и незначительную, но стабилизирующую роль, поскольку при разрыве связи 1–2 третьего контура (кадр 2 анимации) скорость возрастания амплитуд выходных сигналов увеличивается
Управление по отклонению обеспечивает не только слежение, но и, косвенно, стабилизацию, т.е. компенсацию перекрестного влияния возмущений, однако системы с управлением по отклонению потенциально неустойчивы. Оптимизируя коэффициенты усиления П – регуляторов, получим:
Рис.2.2.2. САР с управлением по отклонению с П – регуляторами по каждому каналу имеет две обратных связи. САР устойчива, но имеет весьма низкое качество регулирования. Перекрестные связи в объекте управления приводят к тому, что каждое воздействие влияет на каждую управляемую величину. Как видно, в данном примере влияние второго воздействия на первое значительно сильнее, чем первого на второе. САР с П – регуляторами не справляется со слежением как в переходном режиме: имеется повышенная колебательность, так и в установившемся: очень велики ошибки, по первому каналу это 60%, по второму 20%. Увеличение усиления П–регуляторов приведет к потере устойчивости системой, уменьшение – к ухудшению и без того неудовлетворительной точности регулирования. Все это обусловлено наличием звена запаздывания с относительно большой задержкой в первом прямом канале
ПИ–регуляторы вполне справляется с управлением в САР с рассматриваемым двумерным многосвязным объектом:
Рис. 2.2.3. Оптимальные ПИ – регуляторы, помещенные в контуры управления по каждой управляемой величине, обеспечивают хорошее качество слежения и стабилизации (компенсации перекрестного влияния воздействий). Время переходного процесса, определяется величиной задержки в звеньях запаздывания объекта
Отметим, что настройка регуляторов может быть проведена в Vissim’е и в автоматическом режиме. Принципы и примеры автоматической оптимизации по ряду критериев качества обстоятельно рассмотрены в [17].
Таким образом, при управлении многомерными объектами следует учитывать и возможность возникновения неустойчивости в контурах, образуемых перекрестными связями и устранять ее.
Управление многомерным объектом имеет свои особенности. Действительно, изменения одной управляющей может приводить к изменению нескольких или сразу всех управляемых, в то время как было бы весьма желательно, чтобы каждая входная, управляющая величина влияла только на одну, "свою" управляемую.
Используя векторно–матричный аппарат можно осуществить такую развязку представлением модели объекта в виде диагональной матрицы, полученной из исходной путем определения ее собственных значений и собственных векторов, и переходом к новой системе управляющих воздействий [16]:
Рис.2.3.1. Получение «искусственного» объекта с взаимно–однозначным соответствием выходных величин входным воздействиям
Как видно, переход к новым управляющим воздействиям V, представляющим собой взвешенные суммы исходных воздействий, где в качестве весов выступают коэффициенты матрицы развязки координат R, позволяют рассматривать модель так: каждая входная величина вектора V вспомогательных воздействий определяет значение только своей выходной величины s поскольку осуществлен переход к диагональной матрице. Матрица R определяется собственными векторами матрицы Моу. Естественно такая развязка влияния воздействий на выходные величины может упростить как алгоритм управления, так и формулировку критерия его оптимальности. Восстановление значений реальных управляемых величин по промежуточным осуществляется с помощью матрицы R–1 восстановления исходных координат, обратной матрице развязки координат R.
Итак, развязка перекрестного влияния входных, управляющих величин на выходные, управляемые объекта управления позволяет существенно упростить управление им.
Сушильный агрегат как учебный пример выбран потому, что принцип его действия нагляден и прозрачен, что позволяет сосредоточиться на главной задаче настоящей статьи – построении и изучении многомерной модели объекта управления.
Назначение, состав и принцип действия сушильного агрегата, а также порядок построения статической и динамической модели, с одним управляющим воздействием, одним возмущением и одной управляемой величиной, обстоятельно рассмотрены в [11].
Назначение сушильного агрегата, как следует из его названия, это выдача просушенного сыпучего материала заданной влажности. Поэтому главными технологическими управляемыми величинами сушильного агрегата являются производительность и влажность продукта на выходе агрегата. Кроме того, для поддержания процесса сушки в оптимальном режиме требуется поддерживать правильные значения и других, вспомогательных технологических параметров.
В процессе работы сушильного агрегата на него действуют не только главные управляющая величина (подача газа) и возмущение (т.н. «производительность по входу», т.е. скорость подачи влажного сыпучего материала в печь), но и другие воздействия. Это подача воздуха для поддержания правильной температуры сушильного агента (горячего воздуха с примесью продуктов сгорания), а также влажность подаваемого материала, которая может меняться в некоторых пределах. Кроме того, подача воздуха, необходимого для оптимального горения газовой горелки, разрежение внутри барабана и др.
Отметим, что автору на защите дипломных проектов неоднократно приходилось слышать от защищающихся, что в главные технологические параметры сушильного агрегата или, например, компрессора, это температура и давление масла в подшипниках. Сразу возникает вопрос: а что этот агрегат предназначен для того, чтобы управлять давлением масла? Несуразица. И это несмотря на прямое указание на установочных занятиях, что при проектировании системы управления агрегатом контроль смазки подшипников является важной, но вспомогательной задачей.
Тем не менее, откуда происходит такое поведение дипломников? С одной стороны, вероятно, это связано с учебниками, а с другой, из разговоров с обслуживающим персоналом, для которого, в первую очередь, естественно, требуется контролировать это самое масло. Но проектировщик системы управления все–таки должен выбирать, назначать главные управляемые величины в соответствии с назначением агрегата.
Процесс сушки характеризуется, кроме главных управляемых величин (производительности и влажности материала на выходе), еще и рядом других, например температурой сушильных газов, разряжением в топке, соотношением газ/воздух, поддерживаемом в горелке, и др.
Главные технологические параметры определяют существо работы объекта управления по его прямому назначению, а вспомогательные технологические параметры обеспечивают оптимальное его функционирование. Даже такой, относительно простой и понятный объект управления, как сушильный агрегат, имеет довольно много входных и выходных технологических параметров, которые в той или иной мере используются для управления объектом и для контроля его функционирования:
Рис. 3.2.1. Укрупненная функционально–технологическая схема сушильного агрегата. Показаны основные главные и вспомогательные технологические величины. Объект многомерный и многосвязный. Многие входные величины влияют в той или иной мере на значения выходных величин. Отметим, что некоторые величины в одних обстоятельствах могут быть входными, а в других, при рассмотрении конкретной САР могут быть и выходными. В частности в данной модели скорость вращения барабана определяет производительность агрегата и температуру масла в подшипниках, но в модели сушильного агрегата, куда введен и привод барабана, эта скорость, влияющая на производительность агрегата, может быть и управляемой, следовательно, выходной величиной
Для успешного управления процессом сушки нужно выбрать главные управляемые величины, а с ними согласовать, назначить им главные управляющие воздействия, а также учесть главные возмущения. Это и сделано выше.
Другие, второстепенные величины, не влияющие непосредственно собственно на процесс сушки, можно рассмотреть отдельно. Именно такими управляемыми величинами являются температура масла в подшипниках, разряжение в топке, температура сушильного агента. Это хотя и важные технологические параметры, поддержание которых на должном уровне оптимизирует процесс сушки, но или ими можно управлять локально, практически независимо от управления главными параметрами, например разряжением в топке и температурой подшипников, или значения этих параметров обеспечиваются близкими к оптимальным путем регулирования других параметров, например, оптимальная температура сушильного агента может быть обеспечена оптимальным соотношением подачи газа и воздуха в сушильный барабан с учетом влажности подаваемого в барабан материала. Конечно, допустимая температура масла подшипников является непременным условием функционирования агрегата, но и только, подшипники материал непосредственно не сушат.
Исходя из назначения сушильного агрегата и сказанного выше, его функционально–технологическую схему применительно к задачам управления можно упростить следующим образом:
Рис.3.2.2. Упрощенная функционально–технологическая схема сушильного агрегата. Показаны наиболее важные воздействия и управляемые величины. Главные технологические параметры показаны жирными стрелками, вспомогательные – тонкими. Розовым показаны существенные воздействия, главным образом оказывающие влияние на выходные величины, серым – косвенное, менее заметное влияние входных величин на выходные. Учитывая это влияние можно выбрать основные каналы управления по каждой выходной величине, т.е. задать, определить для каждой управляемой величины управляющую
Очевидно, что производительность сушильного агрегата равна скорости подачи материала на сушку за вычетом высушенной влаги:
(3.2.1)
где:
Pr – производительность агрегата, кг/сек (или т/час);
Q – темп подачи материала в сушилку, кг/сек (или т/час);
Vlвх – влажность материала на входе в сушилку, отн. единицы;
Vlвых – влажость материала на выходе из сушилки, отн. единицы.
Рассмотрим технологию сушки с точки зрения управления этим процессом. Главное, что требуется от сушилки, это получение нужного объема достаточно высушенного материала, или темпа его непрерывной выдачи.
Обычно сушилка находится в технологической цепочке и поэтому производительность ее определяется величиной подачи материала на сушку, задаваемой предыдущими технологическими процессами. При работе в автономном режиме производительность сушилки задается оператором. Поэтому с точки зрения управления непосредственно процессом сушки подача материала, а, следовательно, и весьма жестко связанная с ней производительность сушилки, не поддается внутреннему регулированию, все остальные процессы должны подстраиваться под заданную извне производительность сушилки.
Отсюда следует, как это ни казалось бы удивительным, что производительность сушилки, или что практически то же самое, ввиду сравнительно малого отличия, скорость подачи материала в сушильный барабан, является возмущением для всех внутренних, обеспечивающих непосредственно функционирование сушилки, систем управления. Итак, главная технологическая входная величина сушильного агрегата и главная технологическая выходная величина являются с точки зрения управления непосредственно процессом сушки и его оптимизации, возмущениями.
Аналогичная ситуация и с влажностью материала на входе сушилки. Она определяется предыдущими технологическими процессами, не может регулироваться при управлении непосредственно сушильным агрегатом, и поэтому, влажность материала на входе является возмущением с точки зрения процесса управления сушкой.
В результате, сушильный агрегат, как объект управления влажностью материала на выходе, может быть представлен такой структурно–функциональной моделью:
Рис.3.2.3. Функционально–структурная схема сушильного агрегата как объекта управления системами поддержания влажности материала на выходе и оптимизации процесса сушки. Темп, скорость подачи материала и влажность исходного продукта должна поддерживаться внешними системами управления на уровнях, соответствующих допустимому для данного конкретного агрегата рабочему диапазону. Дополнительные управляющие, возмущающие и управляемые величины не показаны
Таким образом, технологическая функциональная схема объекта управления служит исходным пунктом при построении функционально–структурной схемы объекта для отображения управления некоторой совокупностью технологических параметров. Эти схемы не совпадают. Структурно–функциональная схема объекта, полученная в процессе анализа технологии и выбора каналов управления, показывает совокупность основных управляемых величин и управляющих и возмущающих воздействий, а также указывает на их взаимодействие.
На первом этапе моделирования и оптимизации системы управления агрегатом разработчику достаточно сосредоточиться на основных и вспомогательных управляемых величинах. Дополнительные могут быть учтены на следующем, углубленном этапе моделирования.
Будем считать, что сушильный агрегат находится в середине технологической цепочки, поэтому темп подачи материала на сушку определяется предыдущими переделами. В таком случае можно считать, что управление производительностью сушильного агрегата осуществляется разомкнутой САР с жестким управлением:
Рис. 3.3.1. Многомерная двухуровневая система управления сушильным агрегатом состоит из нескольких САР и систем контроля. В том числе:
– внешняя САР управляет производительностью агрегата. В данном случае это разомкнутая САР с жестким управлением, но в принципе это может быть и замкнутая САР с управлением по отклонению. Разомкнутая САР производительности с жестким управлением в данном случае не учитывает реальные значения влажности на входе и выходе. Поэтому производительность задается по существу темпом загрузки материала, т.н. «производительностью по входу». Реальная производительность будет отличаться от темпа загрузки на величину испаренной в сушилке влаги;
– главная САР поддерживает влажность материала на выходе на заданном оператором уровне;
– вспомогательная САР управляет соотношением газ/воздух, обеспечивая оптимальные условия для сгорания газа;
– дополнтельные САР и системы контроля не показаны, чтобы не перегружать чертеж. Это САР поддержания требуемого разряжения в топке, может быть, САР температуры сушильного агента, а также системы контроля технологических параметров агрегата: температуры масла в подшипниках и т.п.
Как видно, управляющие величины в одних контурах являются еще и возмущающими в других
Если сушильный агрегат находится в начале технологической цепи или просто работает автономно, то можно с помощью системы автоматического регулирования задавать производительность агрегата с учетом испаряемой в агрегате влаги:
Рис. 3.3.2. Варианты регулирования производительности Pr сушильного агрегата. Вверху – с помощью разомкнутой САР с управлением по возмущению, внизу – с помощью замкнутой САР с управлением по отклонению. Особенность управления в том, что влажность материала на выходе Vlвых сушильного агрегата, управляемая величина в САР поддержания влажности, одновременно является и возмущением в САР производительности
Таким образом, приведенная модель сушильного агрегата и системы управления им показывают, что агрегатом можно управлять двумя связанными САР, первая и главная из которых, подает необходимое для сушки материала количество газа, а вторая, вспомогательная, обеспечивает оптимальность процесса сушки, подавая требуемое для горения факела количество воздуха в газовую горелку. Как видно, вторая САР будет являться в некотором смысле подчиненной, вспомогательной, обслуживающей по отношению к первой. Характерное значение соотношения газ/воздух в газовой горелке составляет 1:10, т.е. 0.1.
Для САР влажности заданием является требуемая влажность выдаваемого материала, а управляющей величиной является подача газа, а для САР соотношения газ/воздух подача газа является уже возмущением.
Обычно, чтобы осуществить согласованное действие систем автоматического регулирования, вспомогательную САР соотношения газ/воздух выполняют более быстродействующей, по сравнению с основной САР влажности.
Таким образом, для управления процессом сушки следует использовать одну основную САР влажности материала на выходе, одну вспомогательную САР соотношения газ/воздух, а также ряд дополнительных САР и систем контроля, осуществляющих обеспечение работоспособности и оптимального функционирования сушилки: САР разряжения в топке и систем контроля производительности сушилки и температуры масла в подшипниках сушильного барабана.
Главная САР влажности сушильного агрегата выше построена на основе управления по отклонению, но она может быть доработана введением управления и по возмущению. В этом случае от технологов потребуется информация о величинах газа, потребного для качественной сушки материала разной влажности, подаваемого в назначенном темпе.
Итак, система управления сушильным агрегатом, представляющим собой многомерный многосвязный объект, может быть построена в виде иерархической структуры, состоящей из параллельно, одновременно работающих и связанных САР. Внешней, по отношению к процессу сушки, является САР производительности, задание для которой определяется оператором или технологией. Остальные САР обеспечивают качество процесса сушки. Главная из них обеспечивает требуемую влажность материала на выходе. Вспомогательная – оптимизирует процесс горения и сушки. Дополнительные обеспечивают условия оптимального функционирования сушилки, например, САР разряжения в барабане, а также контроль важных эксплуатационных технологических параметров, например, температуры масла в подшипниках.
Имея структурно–функциональную схему многомерного объекта управления и систем управления им, можно создать математическую модель объекта по каждому каналу и провести оптимизацию параметров элементов контуров так же, как это делается для объекта с одной управляющей и одной управляемой величинами [10 – 12, 17]. Затем нужно оценить перекрестное влияние управляющих величин при параллельной работе всех САР и, при необходимости, уточнить настройки регуляторов, исключая потенциальную возможность перехода САР в неустойчивое состояние.
Многомерные объекты в динамике описываются матрицей передаточных функций, связывающих изображение сигнала на каждом выходе объекта с изображением на каждом входе. В статике матрица объекта содержит просто числовые коэффициенты, показывающие, какое усиление по какому каналу имеет объект. Это описание по методу «Вход – Выход».
Другим методом описания является описание уравнениями состояния, использующими переменные состояния. Достоинство этого метода в том, что им можно описать и проанализировать как линейные, так и нелинейные объекты и системы управления.
Программа Vissim позволяет упростить, автоматизировать процесс получения как матриц уравнений «Вход - Выход», так и матриц уравнений состояния.
При управлении многомерными объектами их перекрестные связи потенциально могут приводить к потере устойчивости САР.
Оператор интегрирования – запаздывания Моп это матричный оператор, представляющий собой диагональную матрицу, элементами диагонали которой являются операторы интегрирования и (или) операторы задержки. Этот оператор используется в линейных моделях объектов и систем управления, описанных уравнениями состояния.
Переменная состояния модели объекта это математическая изменяющаяся во времени величина, являющаяся численным показателем некоторой его характеристики как в автономном режиме функционирования, так и при внешних воздействиях. Мгновенное значение совокупности переменных состояния полностью характеризует состояния модели объекта, а изменение совокупности переменных состояния во времени полностью характеризует поведение объекта. Выходные величины объекта управления являются линейной комбинацией переменных состояния. Если каждая переменная состояния является производной по времени от переменной состояния с предыдущим номером, то такие переменные называют фазовыми.
Уравнения состояния это два матричных уравнения, т.е. совокупность двух линейных систем уравнений. Первая система состоит из стандартного вида линейных дифференциальных уравнений и описывает как внутренние динамические свойства объекта, так и влияние внешних воздействий на его переменные состояния. Вторая система уравнений связывает выходные величины объекта с его переменными состояния, а также, может быть и с другими воздействиями (входными управляющими или шумами, причинами ошибок измерения выходных величин и др.).
Примечание. Значительное число определений понятий, связанных с управлением объектами дано в [22].
Автор выражает благодарность доценту ЮУрГу (Челябинск) Клиначеву Н.В. за полезное обсуждение вопросов описания и анализа многомерных объектов.