В библиотеку

ISSN: 2181-1385

МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Сарвиноз Фазлиддиновна Фахриддинова

Источник: Academic Research in Educational Sciences Volume 4 | Issue 4 | 2023 [ссылка]

С. Фахриддинова МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В статье выражаются методы экстраполяции которые основываются на предположении о неизменности факторов, определяющих развитие изучаемого объекта, и заключаются в распространении закономерностей развития объекта в прошлом на его будущее.

Ключевые слова: моделирование, экстраполяция, методы моделирования, прогнозирование, статистические формулы, метод наименьших квадратов, краткосрочное прогнозирование, периодическая компонента, циклическая компонента, временные ряды, тенденция среднего уровня.

ВВЕДЕНИЕ

В зависимости от особенностей изменения уровней в ряду динамики приёмы экстраполяции могут быть простыми и сложными.

Первую группу составляют методы прогнозирования, основанные на предположении относительного постоянства в будущем абсолютных значений уровней, среднего уровня ряда, среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста.

Вторая группа методов основана на применении статистических формул, описывающих тренд и их можно разделить на два основных типа: на адаптивные и аналитические.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Адаптивные методы прогнозирования основаны на том, что процесс реализации их заключается в вычислении последовательных во времени значений прогнозируемого показателя. К ним относятся методы скользящий и экспоненциальной средних, метод гармонических весов, метод авторегрессионных преобразований. В основу аналитических методов прогнозирования положен принцип получения с помощью метода наименьших квадратов оценки детерминированной компоненты $f_t$.

Одним из наиболее распространенных методов краткосрочного прогнозирования является экстраполяция. Типичным и наиболее применимым приемом экстраполяции является прогноз по одномерному временному ряду. Динамика одномерных временных рядов в общем случае складывается из четырех компонентов:

  1. тенденции, характеризующей долговременную основную закономерность развития исследуемого явления;
  2. периодического компонента;
  3. циклического компонента;
  4. случайного компонента, как результата влияния множества случайныхфакторов.

Под тенденций понимают некоторое общее направление развития, долговременную эволюцию. Тенденцию ряда динамики представляют в виде гладкой, которая аналитически выражается некоторой функцией времени, называемой трендом. Тренд характеризует основную закономерность движения во времени, свободную в основном от случайных воздействий. Под трендом обычно понимают регрессию на время. Отклонение от тренда есть влияние случайных факторов. Исходя из этого уровни временного ряда описываются следующим уравнением:

$y_t = f(t)+\epsilon_t$

где $f(t)$ - статистическая составляющая, характеризующая основную тенденцию явления во времени; $\epsilon_t$ - случайная составляющая.

Во временных рядах можно наблюдать тенденции трех видов: тенденция среднего уровня; тенденция дисперсии; тенденция автокорреляции.

Тенденция среднего уровня аналитически можно выражать в виде функции f(t). Тенденция дисперсии - это изменения отклонений эмпирических значений временного ряда от значений, вычисленных по уравнению тренда. Тенденция автокорреляции - это тенденция изменения связи между отдельными уровнями временного ряда.

Наиболее распространенным и простым способом моделирования тенденции социально-экономического явления является сглаживание временного ряда. Существуют различные приемы сглаживания, но суть их одна - замена фактических уровней ряда расчетными.

Наибольшее распространение имеют линейные тренды, общая формула которых имеет вид:

$\bar{y}_t=\sum_{\tau=-q}^{s}a_\tau y_{t+\tau }$

где $\bar{y}_t$ - сглаженное значение уровня на момент t;

$a_\tau$ - все, приписываемого уровня ряда, находящемуся на расстоянии $\tau$ от момента t;

s - число уровней после момента t;

q - число уровней до момента t.

В зависимости от того, какие значения принимают веса $a_\tau$ сглаживание по формуле (1) будет выполнено либо с помощью скользящих средних, либо экспоненциальных средних.

Процесс выравнивания состоит из двух основных этапов: выбора типа кривой, оценивания параметров кривой. Существуют различные приемы, позволяющие выбрать форму кривой. Наиболее простой путь - это визуальный, на основе графического изображения временного ряда.

Примеры трендов:

  1. Полиномы:

    $\bar{y}_t=a_0$ - нулевой степени

    $\bar{y}_t=a_0+a_1t$ - первой степени

    $\bar{y}_t=a_0+a_1t+a_2t^2$ - второй степени

    $\bar{y}_t=a_0+a_1t+a_2t^2+...t^3+a_kt^k$ - k-й степени

  2. Различные экспоненты:

    $\bar{y}_t=a_0a_1^t$

    $\bar{y}_t=a_0a_1^{b_1t+b_2t^2}$

    $\bar{y}_t=b+a_0a_1^t$

  3. Различные экспоненты:

    $\bar{y}_t=\frac{K}{1+a_0e^{-a_1t}}$

    где е - основание натурального логарифма.

  4. Кривая Гомперца:

    $\bar{y}_t=ka_0^{a_1^t}$

    Другой путь выявления формы кривой заключается в применении метода последовательных разностей.

    $\Delta_{t^1}=y_t-y_{t-1};\,\,\Delta_{t^2}=\Delta_{t_1^1}-\Delta_{{(t-1)}}^1}\,\,\Delta_{t^3}=\Delta_{t^2}-\Delta_{t-1}^2...$

    Расчет этих разностей ведется до тех пор, пока разности не будут приблизительно равными.

Прогноз определяет ожидаемые варианты экономического развития исходя из гипотезы, что основные факторы и тенденции прошлого периода сохраняется на период прогноза. Подобная гипотеза выдвигается исходя из инерционности экономических явлений и процессов. Прогнозы на основе экстраполяции рядов динамики как и любые статистические прогнозы, могут быть либо точечными, либо интервальными.

Экстраполяцию в общем виде можно представить в виде определенного значения функции

$y'_{t+l}=f(y_i, l, a_j)$

где $y'_{t+l}^$ - прогнозируемое значение ряда динамики;

$l$ - период упреждения;

$y_i$ - уровень ряда, принятый за базу экстраполяции;

$a_j$ - параметр уравнения тренда.

Наиболее простым методом экстраполяции одномерных рядов динамики является применение средних характеристик данного ряда: среднего уровня, среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста. При экстраполяции социально-экономических явлений на основе среднего уровня ряда используется принцип, при котором прогнозируемый уровень принимается равным среднему значению уровней ряда в прошлом, $y_{t+l}'=\bar{y}$.

В данном случае экстраполяция дает прогностическую точечную оценку. Точное совпадение этих оценок с фактическими данными - явление маловероятное. Следовательно, прогноз должен быть дан в виде «вилки», интервала значений.

$y_{t+l}'\pmt_\alphaS_{\bar{y}}$

где $t_\alpha$ - табличное значение t критерия Стьюдента с n-1 степенями свободы и уровнем доверия $\alpha$; S - средняя квадратичная ошибка средней. Значение ее определяется по формуле: $S_\bar{y}=\frac{S}{\sqrt{n}}$

Экстраполяция по среднему абсолютному приросту.

Она может быть выполнена в том случае, если считать общую тенденцию развития явления линейной.

$\sigma_{\mbox{ост}}^2=\rho^2$, где $\rho^2=\frac{1}{2}\bullet\frac{\sum\Delta_i}{n}$

$\sigma_{\mbox{ост}}$ - остаточная дисперсия;

$\Delta_i$ - общий прирост показателя от начального уровня до конечного $y_i$;

Для нахождения интересующего нас прогнозного значения уровня $y_{t+l}'$ необходимо определить средний абсолютный прирост $\bar\Delta$. Затем, зная уровень ряда динамики, принятый за базу экстраполяции $y_i$, записать интересующую нас экстраполяционную формулу следующим образом:

$y_{t+l}'=y_i+\bar{\Delta t}$

Экстраполяция по среднему темпу роста может осуществиться в случае, когда есть основания считать, что общая тенденция ряда динамики характеризуется показательной кривой. Прогнозируемый уровень ряда в этом случае определяется следующей формулой:

$y_{t+l}'=y_i+T_p^{-t}$

Список использованных источников