А

УДК 338.24.01


© Протасов Ю. М., 2012

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ

К

МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СРЕДСТВАМИ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА


И

Аннотация. В статье приводится построение уравнения множественной регрессии, по- зволяющего моделировать изменение во времени макроэкономических показателей. При этом учтена особенность коррелирования временных рядов: при однонаправлен- ности трендов возможны высокие значения коэффициента корреляции между их уров- нями даже тогда, когда они независимы.

М

Полученное уравнение позволяет прогнозировать значения валового внутреннего продукта (ВВП). В качестве примера прогноза получены интервальные оценки ВВП Германии до 2015 г.

О

Ключевые слова: временной ряд, уравнение множественной регрессии, мультикол- линеарность, автокорреляция, корреляционная матрица, значимость коэффициентов регрессии, прогноз ВВП.

© Yu. Protasov, 2012

Н

MACROECONOMIC INDICATORS RELATIONSHIP MODELING BY MEANS OF CORRELATION-REGRESSION ANALYSIS


К

О

Abstract. This article considers the construction of a multiple regression equation which helps modelling the time variation of macroeconomic indicators. At the same time the peculiarity of correlating time series is taken into account: the unilaterality of the trends makes possible to rich the highest possible values of the coefficient of correlation between their levels, even when they are independent.

The resulting equation makes it possible to predict the value of the gross domestic product (GDP). The forecast of the interval estimates of Germany’s GDP till 2015 are taken as an example.

Э

Key words: time series, equation of multiple regression, multicollinearity, autocorrelation, correlation matrix, significance of regression coefficients, forecast of GDP.


В экономических исследованиях, например, в задачах прогнозирования, приходит- ся изучать динамику нескольких показателей одновременно. Временные ряды, уровни которых могут рассматриваться у одних рядов как результативные, а у других – как фак- торные, называются связанными. Для связанных рядов находят уравнение множествен- ной регрессии, которое можно рассматривать как модель изменения уровней результа- тивного ряда в зависимости от изменения уровней факторных рядов. Чтобы уменьшить или устранить автокорреляцию уровней, в уравнение регрессии вводится в линейной форме фактор времени t [3].

В данном исследовании приводится построение уравнения множественной регрес- сии, моделирующего изменение валового внутреннего продукта (ВВП). В качестве ис-

ходных данных использованы годовые макроэкономические показатели Германии, взя- тые из [5] и приведенные в табл.1.


Таблица 1

Годовые макроэкономические показатели Германии



Годы

х1, млрд. дол.

х2,

%

х3, млн. чел.

х4, млрд. дол.

х5, млрд. дол.

х6, млрд. дол.

1990

1463

72,75

79,364

411

341

2,964

1991

1591

75,9

79,984

404

385

4,742

1992

1664

79,8

80,594

431

403

-2,113

1993

1688

83,3

81,179

379

338

0,352

1994

1770

85,6

81,422

427

376

7,171

1995

1840

87,1

81,661

520

456

12,01

1996

1892

88,3

81,896

520

451

6,479

1997

1936

90

82,052

508

438

12,328

1998

1990

90,8

82,029

538

463

24,515

1999

2064

91,3

82,087

539

470

56,094

2000

2130

92,7

82,188

546

491

198,772

2001

2212

94,5

82,34

566

479

26,436

2002

2275

95,8

82,482

612

486

53,779

2003

2358

96,8

82,52

748

603

32,442

2004

2468

98,5

82,501

908

72

-10,206

2005

2583

100

82,464

984

791

47,459

2006

2709

101,6

82,366

1135

937

55,676

2007

2835

103,9

82,263

1348

1079

76,647

2008

2927

106,6

82,131

1495

1221

24,534

2009

2970

107

81,875

1145

958

35,749


Показатели имеют следующее содержание: х1 – ВВП, млрд. долларов США; х2 – индекс потребительских цен, %; х3 – численность населения, млн. человек; х4 – экспорт, млрд. долларов США; х5 – импорт, млрд. долларов США; х6 – инвестиции в основной капитал, млрд. долларов США.

Для построения уравнения множественной регрессии рассчитана и проанализи- рована матрица парных коэффициентов корреляции уровней факторов. Цель анализа – выяснить, что отобранные в уравнение факторы не мультиколлинеарны, то есть не находятся между собой в линейной связи. При этом учитывалось, что коррелировать уровни временных рядов можно только в случае отсутствия автокорреляция в каждом из них [3]. Поэтому сначала каждый ряд был проверен на автокорреляцию. В табл. 2 представлены результаты расчета коэффициентов автокорреляции ra для каждого вре-

менного ряда и соответствующие им критические значения для числа уровней n=20 и

уровня значимости α=0,05.

Из табл. 2 видно, что автокорреляция наблюдается в рядах параметров х2, х3, х4 и х5, так как соответствующие коэффициенты автокорреляции превосходят по модулю их критические значения. Поэтому для исключения влияния автокорреляции рассчитывались парные коэффи- циенты корреляции не между уровнями, а последовательными разностями уровней каждого временного ряда [3]. Матрица парных коэффициентов корреляции представлена в табл.3.

Таблица 2

Расчетные значения коэффициентов автокорреляции и их критические значения для уровня значимости 0,05


ra =-0,380

х

1

ra =0,640

х

2

ra =0,730

х

3

ra =0,810

х

4

ra =0,570

х

5

ra =0,210

х

6

-0,399

0,299

0,299

0,299

0,299

0,299


Таблица 3

Матрица парных коэффициентов корреляции



х1

х2

х3

х4

х5

х6

х1

1

0,8576

0,3884

0,5036

0,2434

0,0021

х2


1

0,7060

0,3777

0,1535

-0,0538

х3



1

0,0878

0,0288

-0,0233

х4




1

0,3178

-0,0879

х5





1

0,2545

х6






1

Анализ первой строки матрицы показывает, что факторы х5 и х6 не следует включать в модель, так как их связь с результативным показателем х1 слабая. Остальные факторы, если нет мультиколлинеарности, могут быть включены в модель. В качестве критерия от- сутствия мультиколлинеарности использовалось выполнение следующих неравенств [2]:


rx1xi rxix j

rx x rx x (1)

1 j i j

Критерию (1) удовлетворяют только факторы х2 и х4, которые и были включены в уравнение множественной регрессии:

xˆ1 b0 b2 x2 b4 x4 bt t (2)

Для определения неизвестных коэффициентов уравнения (2) использовался режим

«Регрессия» надстройки «Анализ данных» табличного редактора MS Excel:

xˆ1 1093,36 2,70x2 0,36x4 54,08t

Проверка значимости коэффициентов регрессии с помощью t – критерия Стьюден- та показала несущественность коэффициента b2, поэтому фактор х2 был исключен из уравнения как неинформативный.

После пересчета коэффициентов получено уравнение:


xˆ1 1297,36 0,36 x4 58,67t (3)

Все коэффициенты этого уравнения статистически значимы, а значение множе- ственного коэффициента детерминации R2=0,995 показывает, что 99,5% общей вариации результативного признака объясняется вариацией факторных признаков, что подтверж- дает правильность их включения в построенную модель.

Достаточно высокую адекватность построенного уравнения подтверждает и пока-

затель средней ошибки аппроксимации 1,04% . Данный показатель рассчитывался по формуле [4]:


 1

n

100% ,

x1i xˆ1i x1i

n i1

где xˆ1 – рассчитанные по уравнению (3) значения результативного признака.

После проверки надежности уравнения (3) с его помощью получены интерваль- ные оценки среднего значения результативного показателя до 2015 года с доверительной вероятностью γ=0,95. Результаты расчетов представлены на рис. 1, где квадратами без доверительных интервалов изображены фактические значения ВВП, с доверительными интервалами – прогнозируемые значения.

Как видно из рис. 1, полученные оценки не противоречат прогнозам, приведенным в работе [1].


ВВП, млрд. дол.


время, годы


Рис. 1. Динамика ВВП Германии

ЛИТЕРАТУРА:

  1. Гусев А.Н. Долгосрочное прогнозирование параметров экономик России и Герма- нии // Вестник Московского областного государственного университета. – Серия «Эконо- мика». – 2011. № 1. – С. 5–10.

  2. Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории стати- стики: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 336 с.

  3. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Л.Г. Громыко. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 476 с.

  4. Эконометрика: Учебник / Под ред. И И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.

  5. UNECE Statistical Database. http://w3.unece.org/pxweb (дата обращения 12.03.12).