Аннотация

Методические указания содержат методику расчёта линейных электрических цепей несинусоидального периодического тока. Предназначены для самостоятельного изучения и выполнения расчётно-графического задания по разделу курса электротехники — периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях. Рассмотрены гармонический анализ, свойства периодических кривых, действующие и средние значения несинусоидальных величин, особенности расчета цепей с несинусоидальными источниками и вопросы мощности.

Ключевые темы методических указаний

📈

Гармонический анализ

Разложение функций в ряд Фурье

⚡

Несинусоидальные токи

Расчет цепей с несинусоидальными ЭДС

🔍

Симметрия кривых

Свойства периодических кривых с симметрией

📊

Мощность

Мощность при несинусоидальных напряжениях и токах

Основные понятия и определения

Несинусоидальные периодические ЭДС и токи:

На практике часто встречаются несинусоидальные периодические ЭДС и токи, которые изменяются во времени по негармоническому закону, но значения которых регулярно повторяются через равные промежутки времени (период T).

Причины возникновения несинусоидальных токов:

Включение в цепь переменного тока элемента с насыщенным ферромагнитным сердечником
Наличие нелинейных сопротивлений в цепи
Источники ЭДС или тока, выдающие несинусоидальное напряжение или ток

Гармонический анализ и разложение функций:

Любая периодическая функция f(t) с периодом 2π, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье:

Ряд Фурье (первый вид):

\[ e(t) = E_0 + \sum_{k=1}^{\infty} E_{km} \sin(k\omega t + \varphi_k) \]

E₀ — постоянная составляющая

E₁ₘ — амплитуда первой (основной) гармоники

Eₖₘ — амплитуда k-й гармоники

φₖ — начальная фаза k-й гармоники

ω — угловая частота

Ряд Фурье (второй вид):

\[ e(t) = E_0 + \sum_{k=1}^{\infty} B_{km} \sin(k\omega t) + \sum_{k=1}^{\infty} C_{km} \cos(k\omega t) \]

Bₖₘ = Eₖₘ·cos(φₖ) — синусная составляющая

Cₖₘ = Eₖₘ·sin(φₖ) — косинусная составляющая

Коэффициенты разложения ряда Фурье:

Коэффициент	Формула для расчета	Описание
Постоянная составляющая E₀	\[E_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt\]	Среднее значение функции за период
Синусный коэффициент Bₖₘ	\[B_{km} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(\omega t) \cdot \sin(k\omega t) d(\omega t)\]	Коэффициент при синусной составляющей
Косинусный коэффициент Cₖₘ	\[C_{km} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(\omega t) \cdot \cos(k\omega t) d(\omega t)\]	Коэффициент при косинусной составляющей

Свойства периодических кривых с симметрией:

Для кривых, обладающих симметрией, задача гармонического анализа существенно упрощается, так как из их разложения выпадают целые спектры гармоник.

Симметрия относительно оси абсцисс

f(t) = -f(t + T/2) или f(ωt) = -f(ωt + π)

Отсутствуют: постоянная составляющая и четные гармоники

e(t) = B₁sin ωt + B₃sin 3ωt + C₁cos ωt + C₃cos 3ωt + ...

Симметрия относительно оси ординат

f(t) = f(-t) или f(ωt) = f(-ωt)

Отсутствуют: синусные составляющие

e(t) = E₀ + C₁cos ωt + C₂cos 2ωt + ...

Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных кривых:

Коэффициент амплитуды

\[K_a = \frac{A_m}{A\]

Отношение максимального значения к действующему

Коэффициент формы

\[K_f = \frac{A}{A_{av}\]

Отношение действующего значения к среднему

Коэффициент гармоник

\[K_h = \frac{\sqrt{\sum_{k=2}^{\infty} A_k^2}}{A_1}\]

Отношение действующего значения высших гармоник к основной

Действующее и среднее значения несинусоидальных величин:

Действующее значение:

\[ A = \sqrt{A_0^2 + \sum_{k=1}^{\infty} A_k^2} = \sqrt{A_0^2 + A_1^2 + A_2^2 + ...} \]

Квадрат действующего значения равен сумме квадратов действующих значений всех гармоник, включая постоянную составляющую.

Среднее значение:

\[ A_{av} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} |f(t)| dt \]

Среднее значение по модулю за период.

Особенности расчета линейных электрических цепей с несинусоидальными источниками:

Расчет линейных электрических цепей с несинусоидальными источниками основан на принципе наложения (суперпозиции). Несинусоидальный источник представляется в виде суммы гармонических составляющих, и для каждой гармоники расчет проводится отдельно по обычным методам расчета цепей синусоидального тока.

1. Разложение несинусоидальной ЭДС (тока) в ряд Фурье

2. Расчет цепи для каждой гармоники отдельно

3. Суммирование результатов по гармоникам

4. Определение результирующих значений токов и напряжений

Мощность при несинусоидальных напряжениях и токах:

Активная мощность:

\[ P = U_0 I_0 + \sum_{k=1}^{\infty} U_k I_k \cos \varphi_k \]

Равна сумме активных мощностей отдельных гармоник.

Полная мощность:

\[ S = U \cdot I \]

Произведение действующих значений напряжения и тока.

Практическая значимость методических указаний

Предоставляет систематический подход к расчету цепей с несинусоидальными токами, что особенно важно в современных условиях с широким распространением нелинейных нагрузок

Содержит практические задания и примеры выполнения расчетно-графических работ для закрепления теоретических знаний

Объясняет методы гармонического анализа и их применение в электротехнических расчетах

Формирует навыки анализа качества электроэнергии и влияния гармоник на работу электрооборудования

несинусоидальные токи гармонический анализ ряд Фурье электрические цепи расчет цепей периодические сигналы мощность симметрия кривых методические указания электротехника

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ПЕРИОДИЧЕСКОГО ТОКА