Сандер Беккерс1
Университетский колледж Лондона
srekcebrednas@gmail.com
1 Препринт: в настоящее время находится на рассмотрении.
Я разрабатываю новую семантику для вероятностей контрфактических утверждений, которая обобщает стандартную перловскую семантику: она применяется к вероятностным каузальным моделям, которые нельзя расширить до реалистичных структурных каузальных моделей и которые поэтому находятся за пределами охвата семантики Перла. Это обобщение необходимо, потому что, как я показываю, такие вероятностные каузальные модели возникают даже в простых ситуациях. Моя семантика предлагает естественный компромисс в долгосрочных дебатах между Перлом и Давидом по поводу контрфактических утверждений: я согласен с Давидом в том, что универсальный каузальный детерминизм и нереалистичные переменные должны быть отвергнуты, но я согласен с Перлом в том, что общая семантика контрфактических утверждений, тем не менее, возможна. Я ограничиваю внимание каузальными моделями, которые удовлетворяют марковскому условию, содержат только реалистичные переменные и являются каузально полными. Хотя я формулирую своё предложение, используя структурные каузальные модели, как и Перл, я воздерживаюсь от использования так называемых переменных отклика. Более того, я доказываю, что моя семантика эквивалентна двум другим недавним предложениям, которые не используют структурные каузальные модели, и что она согласуется с различными комментариями по поводу стохастических контрфактических утверждений, которые появлялись в литературе в более широком смысле. На протяжении всей статьи я также размышляю об универсальности марковского условия и исследую новое обобщение каузальных абстракций.
Семантика контрфактических утверждений в стиле Перла доминировала в области причинности последние четверть века (Galles and Pearl, 1998; Halpern, 2000; Pearl, 2009). Эта семантика обязана частью своего успеха тому факту, что каузальный модельный подход Перла достаточно богат, чтобы даже выразить формальную семантику контрфактических утверждений: он объединяет логический и статистический подходы и расширяет оба этих подхода с помощью понятия вмешательства, которое естественным образом соответствует условным предписаниям такого рода, какими являются контрфактические утверждения. Существуют и другие — несколько конкурирующие, в основном совместимые — подходы к каузальному моделированию, но ни один из них не является столь же выразительным, и ни один из них не предложил альтернативную семантику контрфактических утверждений, которая была бы столь же разработанной.
Конкретно, графический подход Спиртеса и др. (2001) вообще не касается каузальных контрфактических утверждений. Подход Потенциальных Исходов (Rubin, 1974; Holland, 1986; Hernan and Robins, 2020), напротив, построен на каузальных контрфактических утверждениях, но он не предлагает полностью общей семантики, не говоря уже о формальной. Более того, то, что он говорит о контрфактических утверждениях, почти полностью согласуется с подходом Перла. И последнее, но самое главное, теоретико-решательный подход Давида (2000) не предлагает альтернативной семантики контрфактических утверждений, поскольку утверждает, что такая семантика не требуется для каузального вывода и что семантика Перла основана на метафизических предположениях о мире, которые не являются эмпирически обоснованными. Критика Давида пережила последнюю четверть века наряду с популярностью семантики Перла, и дебаты между двумя сторонами недавно возобновились из состояния относительного застоя (Mueller and Pearl, 2023; Dawid and Senn, 2023).
Я считаю, что компромисс в разумной середине между их соответствующими точками зрения давно назрел, и цель этой статьи — предложить такой компромисс. Я делаю это, принимая и расширяя критику Давида, но вместо того, чтобы позволить этому привести к полному отказу от семантики контрфактических утверждений, я использую её как вдохновение для построения альтернативной семантики. В основе разногласий между Давидом и Перлом лежит точка зрения Перла о том, что любую вероятностную каузальную модель над множеством переменных можно осмысленно преобразовать в детерминированную каузальную модель путём добавления дальнейших ненаблюдаемых переменных. Это преобразование затем можно использовать, сводя семантику контрфактических утверждений в вероятностных моделях к семантике в их детерминированных аналогах. Таким образом, весь спор зависит от статуса этих дополнительных так называемых переменных отклика, на которые полагается Перл для получения детерминированной модели. В некоторых случаях эти переменные могут получить прямую реалистическую интерпретацию, и если это происходит, семантика Перла не вызывает споров. Перл предполагает, что они могут получить реалистическую интерпретацию во всех случаях, и, таким образом, его семантика оправдана как общая семантика для всех каузальных моделей. Давид, с другой стороны, отрицает это. Он утверждает, что во многих случаях такой реалистической интерпретации не существует, и делает дальнейшее заявление, что во всех таких случаях контрфактические утверждения бессмысленны.
Первый главный результат этой статьи — показать, что первое утверждение Давида верно, даже если судить по стандартам, которые Перл устанавливает для себя. Второй результат — разработка семантики для каузальных контрфактических утверждений в тех случаях, когда не существует реалистического расширения вероятностной каузальной модели. Конкретно, я явно ограничиваю внимание каузальными моделями, которые содержат только реалистичные переменные и являются каузально полными, но при этом не обязательно должны быть детерминированными. Такие каузальные модели не подпадают под критику Давида, но выходят за рамки семантики Перла, и поэтому задача состоит в том, чтобы разработать и защитить семантику, которая применяется к ним.
Это не первая альтернативная семантика такого рода. И Галхотра с Халперном (2024), и я сам (Beckers, 2025b) недавно — и одновременно — разработали семантику для вероятностей контрфактических утверждений, которая также применяется непосредственно к вероятностным каузальным моделям. Я доказываю, что все три семантики эквивалентны. Преимущество семантики в её текущей формулировке и обосновании заключается в том, что она показывает, как именно она возникает из семантики Перла, как только мы лишаем её необоснованных предположений, и как она обобщает идеи, которые появлялись в литературе по потенциальным исходам на протяжении многих лет. Как станет ясно, суть этой идеи заключается в том, что если мы принимаем всерьёз полноту каузальной модели, то так называемые переменные потенциального исхода должны быть взаимно независимыми. Критически важно, что эту идею фактически предлагал сам Давид в различных случаях, что ещё раз иллюстрирует, что моя семантика предлагает естественный компромисс между обеими сторонами дебатов.
Статья структурирована следующим образом. Я начинаю в Разделе 2 с изложения того, что значит, чтобы каузальные модели состояли полностью из реалистичных переменных и что значит, чтобы такой набор переменных был полным. В Разделе 2.1 я определяю вероятностные каузальные модели, принимая каузальное марковское условие по предположению. Я делаю это, потому что это требуется для моей семантики, но — как я объясню позже — я сочувствую тем, кто критиковал её универсальную применимость. Я представляю семантику Перла для детерминированных каузальных моделей в Разделе 3 и показываю в Разделе 4, что даже в простых случаях возникают недетерминированные каузальные модели, которые нельзя расширить до реалистической детерминированной модели. Учитывая, что этот результат подрывает универсальную применимость семантики Перла, я считаю его первым главным вкладом этой статьи. Я кратко исследую в Разделе 4.1, как этот результат можно использовать для обобщения зарождающейся области каузальных абстракций, но оставляю это исследование для будущей работы. Раздел 5 добавляет последний пазл к семантике Перла, а именно редукцию вероятностных моделей к очень специфическому типу детерминированных моделей, так называемым каноническим моделям. Моя собственная семантика разрабатывается в Разделе 6, путём принятия подхода Перла, но полностью избавляясь от всех нереалистичных компонентов таким образом, который черпает вдохновение из подхода потенциальных исходов. Эквивалентность моей семантики моему предыдущему предложению и другому недавнему подходу затем устанавливается в Разделе 7, а также её связь с различными случаями, когда подобные идеи появлялись в литературе.
Определение 1: Сигнатура SS — это кортеж (U,V,R)(U,V,R), где UU — множество экзогенных переменных, VV — множество эндогенных переменных, а RR — функция, которая связывает с каждой переменной Y∈U∪VY∈U∪V непустое множество R(Y)R(Y) возможных значений для YY (т.е. множество значений, по которым YY изменяется). Если X=(X1,...,Xn)X=(X1,...,Xn), то R(X)R(X) обозначает декартово произведение R(X1)×⋯×R(Xn)R(X1)×⋯×R(Xn).
Поскольку каузальная модель будет моделью причинных отношений между переменными, встречающимися в сигнатуре, я накладываю два важных неформальных условия на сигнатуру, чтобы она выполняла эту роль. Я называю сигнатуры, удовлетворяющие обоим условиям, реалистичными, и аналогично называю каузальную модель реалистичной, если её сигнатура реалистична. Если не указано иное, я предполагаю на протяжении всего изложения, что все сигнатуры являются реалистичными.
Первое условие, общее для всех подходов к каузальному моделированию, заключается в том, что VV должно состоять из переменных, которые — прямо или косвенно — наблюдаемы. Это означает, что каждая Y∈VY∈V должна интерпретироваться как представляющая реальное эмпирическое свойство, в отличие от чисто формального свойства, которое добавляется в каузальную модель для математического удобства. Я расширяю это последнее условие также и на экзогенные переменные: хотя, возможно, они и ненаблюдаемы, они должны, по крайней мере, соответствовать некоторому свойству мира, значение которого мы понимаем и знаем, что оно существует. Это мотивировано принципом концептуальной гигиены, который неявно присутствует на протяжении большей части научного моделирования, согласно которому в модель включаются только те элементы, которые соответствуют реалистичным особенностям мира. Этот принцип также поддерживается Давидом (2000), а Галхотра и Халперн (2024) делают комментарии в том же духе.1 Как я обсужу позже, отношение Перла к этому принципу, с другой стороны, неоднозначно: он принимает его на протяжении большей части своей работы, но не везде.
1 Например, Давид заявляет, что создание модели требует понимания «какие реальные величины представляются переменными, появляющимися в модели» (Dawid, 2000, с. 407). Галхотра и Халперн мотивируют свой подход, рассматривая ситуации, в которых экзогенные переменные также наблюдаемы.
Во-вторых, для любых X⊆VX⊆V, x∈R(X)x∈R(X) должно быть возможно, по крайней мере в принципе, представить внешнее вмешательство — записываемое как do(X=x)do(X=x) — на систему, которое устанавливает переменные XX в значения xx. Таким образом, идея вмешательств появляется в различных формах и в других подходах к каузальному моделированию. Подход Перла выделяется, предполагая, что все вмешательства (на эндогенные переменные) хорошо определены, и я также принимаю это условие. Это имеет серьёзные последствия для интерпретации любых двух переменных X,Y∈VX,Y∈V: это означает, что реалистичные свойства, выражаемые каждой из них, полностью разделимы, что означает, что мы можем придать эмпирический смысл любой комбинации X=x,Y=yX=x,Y=y их значений. Среди прочего, это исключает существование каких-либо логических отношений между смыслом XX и YY. Тот же вывод следует и для экзогенных переменных из того факта, что любая установка U=uU=u считается хорошо определённой. Кроме того, поскольку любое вмешательство do(X=x)do(X=x) может происходить в любом контексте U=uU=u, также следует, что любые X∈VX∈V, U∈UU∈U разделимы таким образом.
Чтобы было ясно, можно принять эмпирическую разделимость переменных как условие, не принимая более сильное условие, что все вмешательства хорошо определены. Тем не менее, моя цель не в том, чтобы утверждать, что все каузальные модели должны быть реалистичными, а лишь в том, чтобы разработать семантику для вероятностей контрфактических утверждений, которая уместна, когда каузальные модели являются реалистичными. Пока я оставляю открытым вопрос о том, может ли семантика быть осмысленно применена также и к более широкому классу каузальных моделей.
Реалистичная сигнатура сама по себе не гарантирует, что причинные отношения над ней могут быть выражены компактным и плодотворным образом. В частности, могут существовать факторы смешения между двумя или более эндогенными переменными, которые не улавливаются экзогенными переменными, присутствующими в сигнатуре, и такое смешение препятствует элегантной факторизации совместного распределения вероятностей (т.е. препятствует известной марковской факторизации). Поэтому полезно также рассмотреть расширение сигнатуры дополнительными экзогенными переменными.