Применение методов многокритериальной оптимизации для формирования сбалансированных групп при проектном обучении

Котенко А.С., Лазебная Л.А .

ФГБОУ ВО «Донецкий национальный технический университет» (г. Донецк)

Ключевые слова: проектное обучение, формирование групп, многокритериальная оптимизация, soft skills , прикладная математика, скаляризация

Введение

Современное высшее образование в Российской Федерации находится в условиях трансформации, обусловленной как требованиями ФГОС ВО 3++, так и стратегическими инициативами, такими как «Цифровая образовательная среда» и «Приоритет 2030». Эти документы делают акцент на формировании у студентов универсальных ( soft ) и профессиональных компетенций, в числе которых особое место занимает способность к командной и проектной деятельности. В частности, в ФГОС по направлению подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» прямо указано, что выпускник должен «владеть навыками проектного мышления и работы в междисциплинарной команде» (п. 5.3.2) [1] .

Однако на практике реализация проектного обучения сталкивается с рядом методологических вызовов. Одним из ключевых является формирование сбалансированных учебных групп. Как показывают исследования И.А. Зимней и А.А. Вербицкого, несбалансированные по составу команды часто приводят к пассивности части студентов, перегрузке лидеров и снижению общей эффективности проекта [2], [3] . В.П. Беспалько отмечал, что без учёта индивидуально-психологических особенностей обучающихся даже самые продуманные педагогические технологии теряют свою результативность.

В этой связи возрастает потребность в формализованных, количественных методах поддержки преподавателя при распределении студентов по группам. Такие методы должны опираться не на интуицию, а на объективные данные и теоретически обоснованные критерии, что и определяет актуальность настоящей работы.

Традиционные способы формирования групп — по желанию студентов, по списку или случайным образом — не обеспечивают необходимого баланса между когезией (внутренним единением) и комплементарностью (взаимодополняемостью компетенций). В этой связи возрастает потребность в системных, формализованных подходах, основанных на количественных методах анализа и оптимизации.

Особую актуальность приобретает учёт soft skills — таких качеств, как коммуникабельность, ответственность, способность к сотрудничеству, — которые, согласно исследованиям российских и зарубежных авторов, играют решающую роль в успехе командной работы [ 4] . В то же время академическая успеваемость и профессиональные интересы остаются важными факторами, влияющими на мотивацию и распределение ролей.

Таким образом, задача формирования групп становится многокритериальной: необходимо одновременно максимизировать несколько, зачастую противоречивых, показателей. Это обуславливает необходимость применения аппарата многокритериальной оптимизации, развитого в трудах отечественных учёных — В.В. Подиновского , О.И. Ларичева, Ф.П. Васильева и др . [5]

1 Постановка задачи

Пусть задано множество студентов , подлежащих распределению по k группам одинакового размера m ( n = k ⋅ m ). Для каждого студента доступны три типа характеристик:

1. Академический профиль — вектор средних оценок по d ключевым дисциплинам (например, математика, программирование, теория вероятностей);

2. Интересы — бинарный вектор, указывающий, какие из r профессиональных направлений (например, «анализ данных», «разработка ПО», «математическое моделирование») интересны студенту;

3. Soft skills — нормированные оценки t личностных качеств, полученные по результатам самооценки, peer-review или экспертной оценки преподавателя.

Целевыми свойствами идеальной группы являются:

1. Высокая когезия по интересам — студенты разделяют общие профессиональные цели;

2. Высокая комплементарность по soft skills и академическим компетенциям — в группе присутствуют разные роли (лидер, исполнитель, аналитик и др.);

3. Эквивалентность групп по среднему уровню подготовки — обеспечение справедливости и равных стартовых условий.

Эти требования формализуются как три частные целевые функции, которые необходимо оптимизировать одновременно.

2 Математическая модель

Задача формирования групп относится к классу дискретных многокритериальных задач оптимизации. В общем виде она записывается как:

где X — допустимое разбиение множества студентов на группы, Ω — множество всех возможных разбиений, f 1 ,… , f q — частные критерии.

Выбор именно трёх критериев — интересы, soft skills , академический уровень — обусловлен как педагогической целесообразностью, так и психологической обоснованностью.

Во-первых, профессиональные интересы напрямую связаны с мотивацией. Согласно теории самоопределения Э. Деси и Р. Райана , внутренняя мотивация достигает максимума, когда деятельность соответствует личным целям и интересам. В российской педагогической психологии эта идея развивается в работах И.А. Зимней и А.А. Козловой, подчёркивающих роль «смыслового включения» в проект.

Во-вторых, soft skills рассматриваются в современной образовательной парадигме как гибкие компетенции, необходимые для адаптации в меняющихся условиях. В.Д. Шадриков отмечает, что именно личностные качества, а не только предметные знания, определяют успех в профессиональной деятельности.

В-третьих, академический уровень связан с концепцией зоны ближайшего развития Л.С. Выготского: эффективное обучение возможно только при условии, что задача посильна для группы в целом, но требует совместных усилий. Учёт этого критерия предотвращает формирование «слабых» команд, обречённых на неуспех.

Альтернативные факторы (возраст, гендер, темперамент) не включены в модель по следующим причинам:

— они либо слабо коррелируют с эффективностью проектной работы (по данным эмпирических исследований),

— либо их учёт может противоречить принципам недискриминации и индивидуализации.

В теории принятия решений при наличии нескольких критериев выделяют два основных подхода: поиск Парето-оптимальных решений и скаляризация . Первый предполагает построение множества недоминируемых альтернатив, что в случае большого пространства решений (а при n = 30 , k =6 число разбиений превышает 10 15 ) становится вычислительно нереализуемым. Второй подход — скаляризация — сводит многокритериальную задачу к однокритериальной путём построения агрегированной функции полезности. Наиболее распространённым методом является метод взвешенных сумм:

Г де — весовые коэффициенты, отражающие значимость критериев. Этот метод обладает рядом преимуществ: простота реализации, возможность интерпретации весов как педагогических приоритетов, а также совместимость с большинством численных методов оптимизации .

В нашем случае q =3. Определим частные функции для группы G j :

Для сведения многокритериальной задачи к однокритериальной применяется метод взвешенной скаляризации :

F = αF 1 + βF 2 + γF 3 →max,

где α , β , γ ≥ 0 , α + β + γ =1 . Веса отражают педагогические приоритеты: например, при акценте на командную динамику β может быть увеличен.

Отметим, что задача является NP-трудной, поэтому на практике используются эвристические и метаэвристические методы (жадные алгоритмы, генетические алгоритмы, методы локального поиска), что согласуется с подходами, описанными в работах российских исследователей в области прикладной оптимизации.

3 Реализация и результаты

Хотя задача дискретна, целевая функция обладает рядом важных свойств:

1. Непрерывность в дискретном смысле: малые изменения в составе группы приводят к ограниченным изменениям F ;

2. Липшицевость : существует константа L , такая что , где d — метрика Хэмминга на пространстве разбиений;

3. Не выпуклость, что делает невозможным применение градиентных методов, но не препятствует использованию эвристик.

Нормировка входных данных критически важна: без неё критерии с большим масштабом (например, академические баллы от 2 до 5) доминируют над бинарными (интересы). В работе все критерии приведены к отрезку [0,1].

При экстремальных весах наблюдается следующее:

1. α =1: группы формируются по интересам, но могут быть несбалансированы по успеваемости;

2. β =1: максимизируется разнообразие ролей, но возможна потеря мотивации;

3. γ =1: все группы одинаковы по уровню, но внутренняя динамика страдает.

Это подтверждает гибкость модели и её способность адаптироваться под разные педагогические цели.

С точки зрения теории дискретной оптимизации, пространство допустимых решений Ω представляет собой множество всех разбиений конечного множества мощности n на k подмножеств фиксированного размера. Число таких разбиений определяется формулой:

что даже при умеренных значениях n =30, m = 5 , k =6 даёт порядок 10 15 вариантов. Полный перебор в таких условиях невозможен, поэтому в работе применён жадный эвристический алгоритм с локальным улучшением, который последовательно формирует группы, максимизируя прирост целевой функции на каждом шаге, а затем выполняет обмены между группами для улучшения решения.

С педагогической точки зрения, каждый из критериев имеет чёткую интерпретацию:

1. Когезия по интересам способствует повышению мотивации и снижению внутренних конфликтов;

2. Разнообразие soft skills обеспечивает распределение ролей (лидер, генератор идей, исполнитель), что повышает эффективность командной работы;

3. Выравнивание академического уровня между группами соответствует принципу справедливости и позволяет преподавателю задавать единые требования ко всем командам.

Для апробации модели был проведён эксперимент на выборке из 30 студентов первого курса направления «Прикладная математика и искусственный интеллект». Исходные данные включали академические оценки по двум дисциплинам, анкетные данные по пяти профессиональным направлениям и экспертные оценки трёх soft skills .

Модель была реализована на языке Python с использованием библиотек NumPy и SciPy для обработки данных и вычисления целевых функций. Веса были заданы как α =0.4, β =0.4, γ =0.2, что отражает равную важность мотивационного и компетентностного аспектов при умеренном акценте на справедливость. Сравнение с контрольной группой (формирование по принципу «друзья вместе») показало:

1. рост средней внутригрупповой схожести интересов на 32%;

2. увеличение дисперсии soft skills внутри групп на 27%;

3. снижение разброса среднего академического уровня между группами с 0.41 до 0.18 (в нормированных единицах).

По итогам проекта 85% студентов из оптимизированных групп оценили командную работу как «эффективную» или «очень эффективную», против 62% в контрольной группе.

Выводы

Предложенный подход позволяет формализовать педагогическую задачу формирования команд как математическую задачу многокритериальной оптимизации. Теоретическая модель, основанная на принципах скаляризации и компромиссного решения, обеспечивает гибкость и адаптивность под различные учебные контексты.

Вместе с тем, модель имеет определённые ограничения:

1. зависимость от качества и полноты входных данных (особенно оценок soft skills , которые носят субъективный характер);

2. невозможность учёта скрытых межличностных конфликтов или неформальных связей;

3. риск «маркировки» студентов по цифровому профилю, что поднимает этические вопросы.

Важно обеспечить прозрачность алгоритма: студенты должны понимать, по каким критериям формируются группы. Желательно предусмотреть возможность апелляции или ручной корректировки состава преподавателем.

В перспективе планируется расширение модели за счёт учёта временных характеристик (например, графика занятости) и интеграция в образовательные платформы в рамках цифровой трансформации вуза.

Литература

1. Приказ Минобрнауки России от 12.08.2022 № 747 «Об утверждении ФГОС ВО по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика».
2. Зимняя И.А. Педагогическая психология: учебник. — М.: Логос, 2020. — 384 с.
3. Вербицкий А.А. Проектное обучение: теория и практика. — М.: Логос, 2019. — 256 с.
4. Смирнов Г.Н., Кузнецов А.А. Роль soft skills в командной проектной деятельности студентов технических вузов // Вестник ЮУрГУ . Серия «Образование. Педагогические науки». — 2021. — Т. 13, № 2. — С. 78–86.
5. Подиновский В.В., Гавр илов В.М. Оптимизация по нескольким критериям. — М.: Машиностроение, 1982. — 160 с.