Назад в библиотеку

Моделирование технических и математических задач прикладных областей знаний на ЭВМ

Лаврищева Е. М., Петров И. Б.

Институт системного программирования им. В.П. Иванникова РАН,
Московский физико-технический институт

Источник: Лаврищева Е. М., Петров И. Б. Моделирование технических и математических задач прикладных областей знаний на ЭВМ // Труды ИСП РАН. 2020. Т. 32, вып. 6. С. 167–182. DOI: 10.15514/ISPRAS–2020–32(6)–13.

Рассмотрено моделирование технических задач и задач прикладной математики, их алгоритмизация и программирование. Дается характеристика численного моделирования технических задач и прикладной математики: физико-технических экспериментов, энергетических, баллистических и сейсмических методов И.В. Курчатова, начиная с математических методов XVII–XX вв., первых ЭВМ и компьютеров. Дан анализ первых технических задач и задач прикладной математики, их моделирование, алгоритмизация и программирование с помощью граф-схемного языка А.А. Ляпунова, адресного языка и языков программирования. Представлены численные методы, реализованные под руководством А.А. Дородницына, А.А. Самарского, О.М. Белоцерковского и других ученых на современных суперкомпьютерах. Приведены примеры математического моделирования биологической задачи лечения глаз и предмета «Вычислительной геометрии» в Интернет.

Ключевые слова: математика; модель; моделирование; алгоритм; граф; области знаний; биология; геометрия.

1. Введение. Становление моделирования техники и математики

1.1. Моделирование технических средств

Моделирование в технике используется уже сотни лет в строительстве зданий, мостов, кораблей и др. Техническая модель отражала структурную сущность внешности технического предмета или явления и связей отдельных его элементов.

Значительный подъем исследований по прикладной математике в СССР произошел после окончания ВОВ 1945 года по следующим направлениям развития:

Создание передовых систем вооружений началось в рамках ВПК, начиная с 1945 г. Министерство радиопромышленности СССР создало программу развития радиотехнических и радиофизических приборов с обеспечением высокого качества и безопасности. В рамках ВПК создавались специализированные приборы и устройства радиотехнического, радиолокационного, авиационного, космического назначения. Так, в 1960 году в космос полетел Ю.А. Гагарин, и весь мир был поражен уровню достижений нашей науки и техники.

В этот период (МНИИПА, Липаев В.В.) было создано более 100 средств вычислительной техники (ВТ), специализированные ЭВМ (ПРА-6.0, МАПА, АРГОН, АОУ6 и др.), а также радиолокационная техника для наведения и слежения за движением военных самолетов, подводных лодок, кораблей и др. Кроме того, под руководством Липаева В.В. были созданы программные комплексы ПРОТВА, ЯУЗА, РУЗА, ПРОМЕТЕЙ для реализации военных задач [1].

1.2. Моделирование задач прикладной математики

Первые сведения по прикладной математике относятся к XVII в. Развитие небесной механики и геодезии в связи с потребностями навигации и мореплавания, составление таблиц тригонометрических функций, появление артиллерии диктовали необходимость разработок расчетных методов. В это время появляется важнейший математический аппарат для решения многих прикладных задач – интегральное и дифференциальное исчисление, разработанное И. Ньютоном и Г. Лейбницем.

Для решения дифференциальных и интегральных уравнений были разработаны приближенные, численные методы Эйлера решения задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений и численного интегрирования. В связи с развитием небесной механики (Лапласом) и механики сплошных сред появилась методы решения уравнений в частных производных и численного решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений (Ньютон, Якоби, Гаусс–Зейдель, Лежандр, Эрмит и др.).

Важную роль в развитии теории приближенных вычислений – одной из основных теорий и в функциональном анализе, и в вычислительной математике, сыграли работы П.Л. Чебышева (чебышёвская система функций, чебышёвские многочлены, теория равномерных приближений и др.). В начале прошлого столетия получили развитие численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (работы Галёркина, Ритца, Рунге, Крылова, Кутты, Розенберга, Ван дер Поля, Адамса, Бутчера и др.), что позволило получить численные решения многих прикладных задач.

В XIX в. в прикладной математике появились нелинейные разностные отображения, заложившие основы теории нелинейных процессов. В начале XX в. возникала теория уравнений Максвелла, описывающая электрические и электромагнитные поля во времени и пространстве, а также появились методы решения систем уравнений механики сплошных сред. Существовавшие в то время простейшие численные приборы и арифмометры позволяли решать математические задачи, задавая цепочки последовательных расчетных алгоритмических действий в соответствии с алгоритмом Аль-Хорезми. Численные расчеты проводились на аналитических машинах.

2. Методы моделирования и программирования технических и математических задач на ЭВМ

2.1. Моделирование математических задач энергетики, баллистики и геофизики

Ядерные бомбардировки Хиросимы и Нагасаки в августе 1945 года послужили стимулом для ускоренного создания в нашей стране под руководством И.В. Курчатова атомной энергетики и проведения многочисленных численных расчетов, связанных с распадом ядерного урана и плутония, для ядерной бомбы. Была создана теория цепной реакции распада урана, и сформировались математические методы ядерной энергетики. Это привело к созданию в стране новых энергетических и технических устройств и атомной бомбы в 1949 году. Кроме того, были создана первые в мире АЭС (1954 г.) и атомный ледокол «Ленин» (1957 г.).

Моделирование теоретических методов в энергетике и баллистике активно начали проводить в связи с появления первого отечественного компьютера МЭСМ, созданного коллективом лаборатории Института электротехники АН УССР под руководством С.А. Лебедева (1948–1951). На МЭСМ под руководством академика М.В. Келдыша реализовывались математические задачи внешней баллистики, электрические и технические задачи:

Алгоритмы таких задач разрабатывались путем декомпозиции математической задачи на отдельные элементарные функции и их описание средствами математической логики, граф-схемного языка А.А. Ляпунова или адресного языка B.C. Королюка и Е.Л. Ющенко (1955).

Алгоритмы некоторых математических задач представлялись в виде стандартных математических подпрограмм в Библиотеках программ первых ЭВМ. Например, метод Адамса–Штермера/Дирихле был реализован В.М. Глушковым путем декомпозиции на отдельные элементарные математические операции, отработан на МЭСМ и оформлен в виде стандартной подпрограммы [2]. Первая система загрузки для библиотек стандартных математических подпрограмм ИС-2 для М20 была создана в ИПМ [3].

Моделирование задач прикладной математики для решения на первых ЭВМ проводилось с использованием теории граф-схемного языка А.А. Ляпунова (1955). В этом языке делалось описание математических элементов задачи с помощью математических операций, формальных логических символов и операторов по ориентированному графу переходов с одной входной и одной выходной вершиной [4, стр. 226–253]. Граф задавал структуру алгоритма, в которой одна вершина – преобразователь и две вершины – распознаватели. Две граф-схемные программы функционально эквивалентны, если для любой интерпретации соответствующие программы вычисляют одинаковые функции.

2.2. Моделирование математических задач сохранения энергии, зарядов и частиц

Основы вычислительных методов решения уравнений в частных производных были определены математиками А.Н. Тихоновым, А.А. Самарским, В.С. Рябеньким, американскими учеными Р. Курантом, П. Лаксом и др. Были введены фундаментальные понятия теории разностных схем: сходимость, аппроксимация, устойчивость, доказана базовая теорема эквивалентности.

Под руководством академика А.А. Самарского проводилось моделирование задач прикладной математики согласно сформировавшейся концептуальной модели предметной области знаний: КМ = <X, R, F>, где X – конечное множество понятий предметной области; R – конечное множество сущностных отношений (связей) между понятиями предметной области; F – конечное множество функциональных алгоритмов задач предметной области.

КМ-модель задает информацию о понятиях предметной области в виде сущностных понятий, которые сохраняются в тезаурусе с возможными связями между ними. Функциональная (техническая) задача формулируются в рамках теории предметной области, в которой математическая модель сочетается с общематематическим знанием, задающим эту модель.

Алгоритмизация модели состоит в отображении точного знания о задаче и операциях над ее элементами в описании алгоритма программы для компьютера.

Модели программ разрабатывались для решения математических, физических и технических задач вначале на аналитических машинах и потом на ЭВМ [6]. Были разработаны математические модели на основе закона сохранения энергии, импульсов, зарядов и частиц, уравнений механики сплошных сред, электродинамики Максвелла, уравнений Больцмана для разреженного газа, кванто-механического уравнения Шредингера и др.

Появились и другие математические задачи в классах климатических, космических, геофизических, сейсмических, термодинамических, радиолокационных, акустических медицинских, биологических, химических и физических задач. Каждый из указанных разделов науки имеет «численную» часть, поэтому появились науки – вычислительная математика, численные методы, высокопроизводительные вычисления, информационные и интеллектуальные средства [7, 8].

2.3. Моделирование физических задач и механики сплошных сред

Проведение вычислительного эксперимента О.М. Белоцерковским и С.К. Годуновым проводились с помощью математической модели физического эксперимента, включающей характерные свойства физического явления, алгоритма свойств и характеристик этого явления в виде простых формул и операций программы численного решения задач (математической физики, нелинейной механики и др.) на ЭВМ. Одной из первых вычислительных задач была задача о ядерном взрыве и об обтекании затупленных тел потоком сверхзвукового газа.

Исследование физических объектов проводилось путем анализа и выбора схемы эксперимента, определение элементов конструкции устройства. Затем составлялась разностная схема и проверка ее устойчивости. В результате получалось экспериментальное средство, которое отрабатывалось на серии экспериментов и проверки их правильности.

Глубокое проникновение в механику сплошных сред привело к использованию интегральных и дифференциальных уравнений для описания происходящих явлений. При математическом моделировании задач по этим уравнениям создавалась приближенная модель, которая отражала характерные свойства данного физического явления. С помощью компьютеров проводилось моделирование сложных технических и природных систем [9].

2.4. Теория графов для моделирования задач техники и математики

Первая работа по теории графов была опубликована Эйлером в 1736 г. в статье про строительство Кенигсбергских мостов. В течение почти ста лет эта теория почти не использовалась. Интерес к теории графов возродился около середины XIX в связи с развитием естественных наук (электрических сетей, моделей кристаллов, структур молекул и др.) и формальной математической логики.

Последние 50 лет ознаменовались новыми интенсивными разработками теории графов в атомной энергетике, нейронных, нанобиологических, генетических, геофизических, космических задачах, а также в предметных областях знаний: физический эксперимент Коллайдер, Ядерный реактор, компьютерные, информационные, телекоммуникационные, экономические и бизнес-задачи.

Теория графов в программировании начала развиваться в школе А.П. Ершова (Касьянов В.И, Иткин В.Э., Евстигнеев А.А. и др.) [4, 11, 12]. Эта теория активно развивается в компьютерных науках и системах при их моделировании в виде графовой теории моделирования прикладных областей знаний [13–17]. Математический аппарат инцидентности и смежности используется для доказательства графовых, нейрографовых структур и др. [13–21]. Графовые структуры используются при реализации задач в биологии, медицине, физических экспериментах коллайдера, ядерного реактора и др. В ИСП РАН графовая теория применялась для моделирования вариантов OS Linux [15], средств защиты сложных компьютерных систем от разрушений и обеспечении надежности и безопасности функционирования программных систем [13–18] и др.

3. Численные методы моделирования прикладных задач на современных ЭВМ

3.1. Численные методы решения сложных задач

В 60–80-х гг. XX в. получили развитие итерационные методы, методы решения уравнений в частных производных эллиптического типа, методы решения задач в механике сплошных сред (Р.П. Федоренко, В.П. Колгана, Ван Лира, А. Хартена (TVD-схемы), Б.Н. Четверушкина, А. С. Холодова, С. Ошера, Ч.-В. Шу, И.Б. Петрова [22–24]. Численные методы высокого порядка точности были предложены в работах В. В. Русанова, С. Бурштейна, У. Рида, Т. Хилла (разрывный метод Галёркина), Э.Ф. Торо, А.И. Толстых.

При численном решении многих практически важных задач используются методы конечных элементов, основанных на вариационных методах Галёркина и Ритца, в консервативных схемах, в задачах газодинамики, физики плазмы, магнитной гидродинамики, теории упругости и др. [25].

3.3. Применение графических плат GPU для решения математических задач

Инструментарий CUDA использует графические платы GPU для решения задач, описываемых уравнениями математической физики. Такие платы получили название GPGPU (general purpose computing on graphics processing units). Применение GPGPU связано с тем, что графических платы создавались для визуализации, которая не зависит от работы вычислительных ядер. Одним из путей выхода из этой ситуации является использование гибридных (гетерогенных) узлов, в которых соединены процессоры общего назначения GPU и GPGPU.

В комбинации с процессорами общего назначения использование графических плат сталкивается с серьезными трудностями. Задача состоит в создания алгоритмов, требующих переработки больших массивов информации типа Big Data. В настоящее время особую важность приобретают такие направления, как аэромеханика летательных аппаратов, прочность и надежность аэрокосмической техники, проектирование композиционных покрытий [26], безопасность железных дорог, сейсмостойкость объектов атомной энергетики, глобальная сейсмика [27], задачи, связанные с освоением запасов нефти и газа в условиях Севера и Арктики (безопасность и устойчивость ледостойких платформ, нефтегазопроводов, ледоколов и судов ледового класса, миграция крупных ледовых образований) [28].

3.4. Программные методы решения физико-технических задач

Для численного решения сложных физических задач, например, климатических задач, задач физики плазмы, электромагнитных полей, основанных на интегро-интерполяционных, сеточно-характеристических и вариационных методах в многопроцессорных системах используются различные подходы и большой набор инструментов, например: Nastran; ProCAS; Логос; Wolfarm Mathematics; Anasys 3D; Ansis Maxwell; Fluid Dynamics; Flow vision; Tesseral PRO; Abaqus; Madagaskar; Open Foam; Fierdrake; Matlab; Mathematics; Maple; MathCAD.

4. Численное моделирование динамических процессов в биологии

В работе [32] описана теория моделирования метода механики сплошной среды применительно в задаче лечения катаракты глаза. Катаракта – это заболевание глаз человека, связанное с помутнением хрусталика. Единственным способом его лечения является удаление хрусталика. Различают интракапсулярное и экстракапсулярное удаление катаракты. В первом случае хрусталик удаляют вместе с капсулой, в которой он находится, а при втором удаляют только хрусталик, а капсула остается в глазу. Среди экстракапсулярных методик наиболее прогрессивной является лазерная экстракция катаракты.

Для ее проведения в глаз вводится иголка с расположенным в ней оптоволокном. При диаметре прокола менее 3 мм можно обойтись без наложения швов. В этом случае могут возникнуть побочные явления и послеоперационных осложнений. Во время лазерного излучения выделяется тепло, воздействующее на роговицу. Кроме того, происходит быстрое расширение хрусталика, имеющее характер микроразрыва. Это приводит к появлению возмущений в биосреде глаза, распространяющихся к его границам, в частности, к сетчатке, что делает ее зоной риска.

Глаз имеет не совсем правильную шаровидную форму. Длина его сагиттальной оси в среднем равны 24 мм, горизонтальной – 23,6, вертикальной – 23,3 мм. Глазное яблоко состоит из трех оболочек: наружной, или фиброзной; средней, или сосудистой; внутренней, или сетчатки.

Наружная оболочка достаточно тонкая (0,3–1 мм), но плотная. Она определяет форму глаза, выполняет защитную функцию места крепления глазодвигательных мышц. Фиброзная оболочка подразделяется на два неравных отдела – роговицу и склеру.

Внутреннее ядро глаза состоит из прозрачных светопреломляющих сред: стекловидного тела, хрусталика и водянистой влаги, наполняющей глазные камеры (передняя – от роговицы до радужки, задняя – от радужки до цилиарного тела). Водянистая влага представляет собой прозрачную жидкость плотностью 1,005–1,007 с показателем преломления 1,33. Количество влаги у человека не превышает 0,2–0,5 мл. Вырабатываемая цилиарным телом водянистая влага содержит соли, аскорбиновую кислоту, микроэлементы. Хрусталик состоит из хрусталиковых волокон, составляющих вещество хрусталика, и сумки-капсулы. Диаметр хрусталика 9–10 мм. Переднезадний размер – 3,5 мм. Стекловидное тело заполняет полость глазного яблока, за исключением передней и задней камер глаза, и таким образом способствует сохранению его формы [28–29].

Объем стекловидного тела взрослого человека 4 мл. Оно состоит из плотного остова и жидкости, причем на долю воды приходится около 99% всего состава стекловидного тела. Физически стекловидное тело представляет собой прозрачный гель, состоящий из внеклеточной жидкости с коллагеном и гиалуроновой кислотой в коллоидном растворе.

Частота импульсов лазера – 10 Гц, а сам импульс представляет собой цуг длительностью 250 мкс с модулированной добротностью. Период микроимпульсов в цуге составляет 12,5 мкс, а длительность микроимпульса – 3 мкс. Обсчитывались только первые 250 мкс, поскольку полный расчет одного лазерного импульса потребовал бы сделать 2,7·10⁷ итераций. Кроме того, интенсивность возмущения заметно затухает после прекращения воздействия.

Для математического описания поведения биосреды глаза использовались уравнения динамики деформируемой среды в следующем виде:

ρv̇i − ∇jσij = 0; i, j = 1,2;
σ̇ij = qijklε̇kl − (γδij / ρc) Q − Sij / τ0;
Θ̇ = −(γ / ρc) ε̇kk + (SklSkl / μτ0) + Q / ρc;

где Q – плотность объемных источников энергии, Θ – коэффициент теплопроводности, qijkl = λδijδkl − (γδklδij / ρc) + μ(δikδjl + δjkδil).

Физические константы для каждого элемента глаза полагались следующими (μ, λ – коэффициенты Лямэ, ρ – плотность, c – удельная теплоемкость, α – коэффициент линейного расширения, τ – время релаксации).

Во время операции глаз периодически расширялся и сжимался. При этом в зонах расширения возможны разрывы тканей и появление кавитационных процессов. Кроме того, на рассматриваемую волновую картину оказывают влияние появление отраженных волн от свободной границы глаза и границ материалов глаза.

На основании данной модели можно оптимизировать режимы работы лазера с тем, чтобы снизить травмирующее воздействие на ткани как переднего, так и заднего сегментов глаза.

5. Математическое моделирование предмета «Вычислительная геометрия»

5.1. Определение Вычислительной геометрии

Шедевром прикладной математики является античная геометрия Евклида. Главным его вкладом в геометрию, изложенным в «Началах» является: аксиоматический метод доказательства утверждений. Евклидова схема состоит из алгоритма и его доказательства.

Евклидова геометрия включает набор допустимых инструментов (линейка, циркуль) и множество допустимых операций, которые можно выполнить с их помощью. Позднее Архимед предложил корректную конструкцию для задачи трех секций угла в 60°, добавив новые примитивы. Абель в 1828 году предложил найти корень любого алгебраического уравнения, используя только арифметические операции. Задача определения количественной меры сложности была сформулирована в 1902 году Лемуаном. Гилберт сформулировал необходимое и достаточное условия вычислимости f с использованием n операций при извлечении квадратного корня. В 1972 году Джордж Мор определил, что любое построение, которое осуществляется с помощью циркуля и линейки, можно выполнить только циркулем в случае, когда искомые объекты определяются точками. Таким образом, была выдвинута идея моделирования с использованием линейки и конечного числа операций циркуля.

Название «Вычислительная геометрия» впервые официально появилось на русском языке в связи с выходом монографии [33]. В этой монографии шла речь о задачах геометрического моделирования. Спустя шесть лет на русском языке вышла монография [34] c близким названием, но в ней шла речь об анализе оценок сложности и построении эффективных комбинаторных алгоритмов для решения геометрических задач. Оба направления имеют глубокие геометрические корни и непосредственную связь с ЭВМ. На сегодняшний день за первым направлением закрепилось название «геометрическое моделирование», а за вторым – «вычислительная геометрия».

Определение. Вычислительная геометрия – это наука, предметом исследования которой является анализ и построение эффективных алгоритмов решения геометрических задач, оценки их сложности средствами теории алгоритмов.

5.2. Основные методы и задачи вычислительной геометрии

Основными разделами предмета вычислительной геометрии являются следующие.

• Комбинаторная вычислительная геометрия, или алгоритмическая геометрия, которая рассматривает геометрические объекты как дискретные сущности. Основополагающим материалом является книга [33], в которой впервые в 1975 был использован термин «вычислительная геометрия» в таком определении.

• Численная вычислительная геометрия, или машинная геометрия – это геометрическое моделирование, которое имеет дело в основном с представлением объектов реального мира в форме пригодной для дальнейшей компьютерной обработки. Этот раздел можно рассматривать как дальнейшее развитие вычислительной геометрии и часто рассматривается как раздел компьютерной графики.

Комбинаторная вычислительная геометрия содержит разработанные эффективные алгоритмы и структуры данных для решения задач в терминах базовых геометрических объектов: точки, отрезки, многоугольники, многогранники и др.

Вычислительную геометрию используют для работы над очень большими наборами данных с десятком или сотен миллионов точек. В вычислительной геометрии различают статические задачи и задачи геометрического поиска.

5.3. Моделирование графовой онтологической схемы вычислительной геометрии

Существует целый ряд инструментов поддержки онтологий. Наибольшую популярность приобрел инструмент Protege. Этот инструмент основан на фреймовой модели представления знаний и редактирования моделей, описанных в разных форматах UML, XML, SHOE, DAML, OML, RDF и RDFS, и др. В Protege имеются готовые плагины: Protege OWL Plugin, подобный тестам JUnit; средства генерации описаний в языке Java и возможность преобразовать в формат XML-схемы на платформе Eclipse в XML Schema Infoset Model (XSD) [13–14, 19].

В Protege 4.1 онтология представляется классами, слотами, фасетами и аксиомами. Классы описывают базовые понятия предметной области, а слоты — их свойства. Фасеты описывают свойства слотов (конкретные типы и возможные диапазоны значений). Аксиомы определяют дополнительные ограничения (правила).

На Protege 4.1 было построено описание основных задач «Вычислительная геометрия» в виде онтологической модели. Модель отображает графовую XML-структуру, в вершинах которой находятся названные методы вычисления разных геометрических задач.

Все геометрические задачи, представленные в вершинах графовой схемы онтологии, представлены в языке XML, тексты которых занимают более 15 стр. В МФТИ на кафедре «Информатика и вычислительная физика» создается сайт «Вычислительная геометрия» [35] для обучения студентов этому предмету, а также теории и технологии программирования [36].

6. Заключение

Описаны подходы к моделированию технических средств задач прикладной математики, проведения их к постановке на ЭВМ путем декомпозиции задач на отдельные функциональные подзадачи, их алгоритмизации и описания средствами математической логики, граф-схемного языка А.А. Ляпунова, адресного языка и языков программирования.

Дана характеристика численного моделирования и программирования задач прикладной математики: баллистики, физического эксперимента, механики сплошных сред, возглавляемыми учеными академиками нашей страны (А.А. Самарским, М.B. Келдышем, О.М. Белоцерковским, А.А. Дородницыным и др.). Рассмотрены программные средства моделирования математических задач прикладных областей (физического эксперимента, ядерного и термоядерного проекта и др.) и дисциплин: алгебра, геометрия, интеллект, медицина, биология, нейро- и нано-технологий и др. Описаны новые многопроцессорные компьютерные системы для решения сложных задач. Дано описание технологии экстракции катаракты глаза и учебных дисциплин «Вычислительная геометрия» и теории технологии программирования в МФТИ, представленных на сайте http://7dragons.ru/ru.

Список литературы

  1. Липаев В. В. Фрагменты истории развития отечественного программирования для специализированных ЭВМ в 50–80-е годы. М., Синтег, 2003. 126 с.
  2. Глушков В. М. Об одном методе автоматизации программирования // Проблемы кибернетики. 1959. № 2. С. 181–184.
  3. Жоголев Е. А., Росляков Г. С., Трифонов Н. П., Шура-Бура М. Р. Система стандартных подпрограмм. ГИФМЛ, 1958. 231 с.
  4. Ершов А. П. Введение в теоретическое программирование. М., Физтехлит, 1977. 286 с.
  5. Лавров С. С. Лекции по теории программирования. СПб, Нестор, 1999. 107 с.
  6. Самарский А. А., Михайлов А. П. Компьютеры и жизнь (математическое моделирование). М., Педагогика, 1987. 128 с.
  7. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М., Наука, Физматлит, 1992. 423 с.
  8. Самарский А. А. Теория разностных схем. М., Наука, 1977. 656 с.
  9. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М., Наука, Физматлит, 1994. 441 с.
  10. Белоцерковский О. М., Холодов А. С. Медицина в зеркале информатики. М., Наука, 2008. 242 с.
  11. Евстигнеев В. А. Применение теории графов в программировании. М., Наука, 1985. 351 с.
  12. Касьянов В. Н., Евстигнеев В. А. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. СПб., БХВ-Петербург, 2003. 1104 с.
  13. Лаврищева Е. М., Грищенко В. Н. Связь разноязыковых модулей в ОС ЕС. М., Финансы и статистика, 1982. 137 с.
  14. Lavrischeva E. M. The Theory Graph Modeling and Programming Paradigm of Systems FROM Modules TO the Application Areas // Transactions on Machine Learning and Artificial Intelligence. 2019. Vol. 7, No. 4. P. 21–43.
  15. Лаврищева Е. М. Теория объектно-компонентного моделирования программных систем. Препринт ИСП РАН, № 29, 2016. 52 с.
  16. Бурдонов И. Б., Косачев А. С., Кулямин В. В. Теория соответствия для систем с блокировками и разрушениями. Москва, Наука, 2008. 412 с.
  17. Апанович З. В. Визуализация больших графов и матрицы смежности // Труды XX Всероссийской научной конференции «Научный сервис в сети Интернет». 2018. С. 28–41.
  18. Лаврищева Е. М., Петренко А. К. Моделирование семейств программных систем // Труды ИСП РАН. 2016. Т. 28, вып. 6. С. 49–64. DOI: 10.15514/ISPRAS-2016-28(6)-4.
  19. Лаврищева Е. М. Программная инженерия и технология программирования сложных систем. М., Юрайт, 2019. 432 с.
  20. Титаренко Е. Ю. Теория графов. Институт кибернетики Томского политехнического университета, 2016. 64 с.
  21. Lavrishcheva E. M., Petrov I. B. Ways of Development of Computer Technologies to Perspective Nano // Future Technologies Conference (FTC), 2017. P. 539–548.
  22. Марчук Г. И. Методы расщепления. М., Наука, 1988. 263 с.
  23. Якобовский М. В. Введение в параллельные методы решения задач. М., МГУ, 2012. 328 с.
  24. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М., Физматлит, 2012. 656 с.
  25. Олдер Б., Фернбах С., Ротенберг М. (ред.). Вычислительные методы в физике плазмы. М., Мир, 1974. 514 с.
  26. Яковлев Н. Г. Математическое моделирование земной системы. М., МАКС-Пресс, 2016. 328 с.
  27. Квасов И. Е., Левянт В. Б., Петров И. Б. Решение прямых задач сейсморазведки в трещиноватых средах методом сеточно-характеристического моделирования. М., Геомодель, 2016. 295 с.
  28. Петров И. Б. Воздействие льда и воды на оффшорные структуры и прибрежные зоны в Арктике // Сборник трудов Научной сессии общего собрания членов РАН. М., Наука, 2015. С. 230–237.
  29. Мюррей Дж. Математическая биология. Т. 1. Введение. М., Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2009. 776 с.
  30. Марчук Г. И. Математические модели в иммунологии. М., Наука, 1985. 239 с.
  31. Лаврищева Е. М., Рыжов А. Г. Применение теории общих типов данных стандарта ISO/IEC 11404 GDT к Big Data // Евразийский Союз Ученых. 2016. № 31. С. 99–108.
  32. Петров И. Б. Математическое моделирование в медицине и биологии на основе моделей механики сплошных сред // Труды МФТИ. 2009. Т. 1, № 1. С. 5–16.
  33. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и производстве. М., Мир, 1982. 304 с.
  34. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. М., Мир, 1989. 478 с.
  35. Лаврищева Е. М., Карпов Л. Е., Томилин А. Н. Семантические ресурсы для разработки онтологии научной и инженерной предметных областей // Труды XVII Всероссийской научной конференции «Научный сервис в сети Интернет». 2016. С. 223–239.
  36. Лаврищева Е. М. Программная инженерия. Тема 1. Теория программирования. Учебно-методическое пособие. М., МФТИ, 2016. 48 с.
  37. Лаврищева Е. М. Программная инженерия. Тема 2. Технология программирования. Учебно-методическое пособие. М., МФТИ, 2016. 52 с.