Динамика правила большинства в двухкомпонентных взаимодействующих спиновых системах

П. Л. Крапивский, С. Реднер

Центр биодинамики, Центр исследований полимеров и кафедра физики, Бостонский университет, Бостон, Массачусетс 02215, США

Аннотация

Мы вводим модель динамики мнений с двумя состояниями, где агенты эволюционируют по правилу большинства. На каждом шаге выбирается группа агентов, после чего все ее члены принимают локальное мнение большинства. В пределе среднего поля, где группа состоит из случайно выбранных агентов, консенсус достигается за время, масштабирующееся как ln N, где N — число агентов. В конечномерных решетках, где группа представляет собой связный кластер, время достижения консенсуса сильно флуктуирует от реализации к реализации и растет как степенная функция N с размерностью-зависимым показателем. Верхняя критическая размерность, по-видимому, больше 4. Итоговое мнение всегда совпадает с мнением начального большинства, за исключением одномерного случая.

Введение

В данной работе мы вводим чрезвычайно простую модель динамики мнений — модель правила большинства (MR), — которая демонстрирует богатое динамическое поведение. Модель состоит из N агентов, каждый из которых может принимать мнение (или спин) +1 или -1, и эволюционирует следующим образом:

1. Выбирается группа из G спинов из системы (G — нечетное число). Эта группа может быть любой для предела среднего поля или связной для конечномерных систем.
2. Все спины в группе принимают состояние локального большинства.

Эти два шага повторяются до тех пор, пока система не достигнет конечного состояния консенсуса. Хотя модель MR игнорирует психосоциологические аспекты реального формирования мнений, этот простой процесс принятия решений приводит к богатому коллективному поведению.

Мы стремимся понять два основных вопроса: (i) Каково время, необходимое для достижения консенсуса, в зависимости от N и начальных плотностей спинов + и -? (ii) Какова вероятность достижения заданного конечного состояния в зависимости от начальных плотностей спинов?

Для сравнения вспомним поведение в классической двухкомпонентной модели избирателя (VM), где случайно выбранный спин принимает мнение случайно выбранного соседа. Для системы из N спинов в d измерениях время достижения консенсуса масштабируется как N для d > 2, как N ln N для d = 2 (критическая размерность VM) и как N² в d = 1. Поскольку средняя намагниченность сохраняется, вероятность того, что система в конечном итоге окажется в состоянии всех + спинов, равна начальной плотности + спинов во всех пространственных измерениях.

Модель MR обладает той же степенью простоты, что и VM, но демонстрирует очень разное поведение. Частично это обусловлено тем, что MR не сохраняет среднюю намагниченность. Другой отличительной чертой MR является многочастичный характер взаимодействия.

Предел среднего поля

Рассмотрим простейший случай, когда на каждом шаге выбираются и обновляются произвольные группы размером G = 3. Пусть E_n обозначает «вероятность выхода» — вероятность того, что система завершится всеми + спинами, если она начинается с n + спинов.

Выводя уравнение для E_n и решая его с граничными условиями E₁ = 0 и E_N-1 = 1, мы получаем точную формулу. Анализ показывает, что хотя меньшинство может победить в конечной системе, вероятность этого события экспоненциально быстро стремится к нулю при N → ∞. В конечном счете, итоговое мнение почти всегда совпадает с мнением начального большинства.

Теперь изучим среднее время T_n до достижения консенсуса (либо всех +, либо всех -). Решая соответствующее мастер-уравнение, мы находим, что максимальное время для достижения консенсуса при симметричных начальных условиях (n = N/2) асимптотически ведет себя как:

T_max → 2 ln N при N → ∞.

Для несимметричных начальных условий (когда начальная плотность p = n/N отлична от 1/2) время консенсуса также масштабируется как ln N, но с амплитудой, равной 1. Таким образом, амплитуда резко изменяется от 2 до 1 при переходе от симметричных к несимметричным начальным условиям.

Одномерный случай

В одномерном случае группа определяется как G последовательных спинов. Для простейшего случая G = 3 мы можем записать явный закон для скорости переворота спина. В отличие от модели избирателя, уравнение движения для среднего спина в MR связывает корреляторы первого и третьего порядков, что затрудняет аналитический прогресс.

Однако динамику можно переформулировать в терминах доменных стенок (границ между соседними противоположными спинами). Пока стенки разделены хотя бы двумя узлами, каждая из них совершает симметричное случайное блуждание, как и в модели избирателя. Однако, когда две стенки оказываются на соседних связях, они обречены на аннигиляцию.

Анализ уравнений движения для плотности доменов показывает, что доли + и - спинов со временем насыщаются до конечных значений. Следовательно, в термодинамическом пределе вероятность выхода (вероятность победы + мнения) имеет нетривиальную зависимость от начальной намагниченности. Это принципиально отличается от модели избирателя, где вероятность выхода линейно зависит от начальной плотности.

В одномерной системе существует только одна характерная временная шкала — среднее время T, которое растет как N².

Высшие размерности

В размерностях d > 1 существует множество способов реализовать MR. Мы исследовали динамику на триангулярной решетке (d=2) и на гиперкубических решетках вплоть до d=4, используя окрестность фон Неймана (центральный спин плюс его 2d ближайших соседей).

В отличие от модели избирателя (VM) и модели Изинга с нуль-температурной динамикой Глаубера (IG), MR демонстрирует уникальное поведение. Например, на триангулярной решетке небольшой кластер из трех + спинов в море - спинов может расти в MR, но не может расти в IG. Прямые интерфейсы нестабильны в MR, но стабильны в IG.

Наши численные симуляции показывают, что в d ≥ 2 время достижения консенсуса имеет очень широкое распределение с сильными флуктуациями от реализации к реализации. Это указывает на наличие множества метастабильных состояний и различных путей к консенсусу.

В таких условиях более подходящей характерной шкалой является наиболее вероятное время достижения консенсуса T_mp. Мы обнаружили, что оно следует степенному закону T_mp ~ N^z с размерностью-зависимыми показателями:

• d = 2: z ≈ 1.23
• d = 3: z ≈ 0.72
• d = 4: z ≈ 0.56 (с большими флуктуациями)

То, что поведение в d = 4 все еще сильно отличается от предела среднего поля (где время растет логарифмически), указывает на то, что верхняя критическая размерность для этой модели больше 4.

Заключение

В заключение, правило большинства ведет к богатой динамике, которая сильно зависит от размерности пространства и типа взаимодействия:

• Предел среднего поля: Консенсус достигается за время ~ ln N. Итоговое мнение — это мнение начального большинства.
• Одномерный случай: Это единственный случай, где меньшинство может победить. Время консенсуса T ~ N².
• Размерности d > 1: Начальное большинство всегда определяет итоговое мнение. Время консенсуса растет степенным образом с N, и наблюдаются сильные флуктуации от реализации к реализации. Поведение в d = 4 все еще не достигает предела среднего поля, что подразумевает верхнюю критическую размерность больше 4.