Ляшенко Ю. А.

группа ИС-20а, ФКНТ, ДонНТУ

Руководитель: Дегтярев В. С., доцент

кафедра высшей математики им. В.В.Пака,

ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», г.Донецк

e-mail:degtyariov_vs@mail.ru

Дифференциальные уравнения имеют широкое применение в моделях экономической динамики, которые отражают не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь.

Рассмотрим некоторые задачи макроэкономической динамики.

Задача. Пусть y(t) – объем продукции некоторой отрасли, произведенной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой постоянной цене p, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда прибыль к моменту времени t составит Y(t) = py(t).

Обозначим через I(t) величину инвестиций, направленных на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т.е.

y′(t) = Il(t).    (1)

(Пренебрежем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, т.е. инвестиционный лаг равен нулю.)

Предполагая, что количество инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода, получим

I(t) = mY(t) = mpy(t),    (2)

где коэффициент пропорциональности m (норма инвестиций) – постоянная величина, 0 < m < 1.

Подставляя последнее выражение (2) для I(t) в (1), приходим к уравнению

y′ = ky    (3)

где k = mpl.

Полученное дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными. Решая его, получим

y(t) = y₀e^k(t-t₀), где y₀ = y(t₀).

Заметим, что уравнение (3) описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и др.

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для узкого временного интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены p реализованной продукции от ее объема у является убывающей функцией p = p(y) (с увеличением объема продукции ее цена уменьшается в результате насыщения рынка). Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

y′ = mlp(y)y,    (4)

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все множители в правой части уравнения (4) положительны, то y′ > 0, и это уравнение описывает возрастающую функцию y(t). При исследовании функции y(t) на выпуклость, используется понятие эластичности функции. Из (4) следует, что

y′′ = mly(^dp⁄_dy y + p).

Эластичность спроса определяется формулой E_p(y) = ^p⁄_y ^dy⁄_dp. Тогда выражение для y′′ можно записать в виде y′′ = mlyp(1 + ¹⁄_Ep(y)) и условие y′′ = 0 равносильно равенству E_p(y) = –1.

Таким образом, если спрос эластичен, т.е. |E_p(y)| > 1 или E_p(y) < –1, то y′′ > 0 и функция y(t) выпукла вниз; если спрос не эластичен, т.е. |E_p(y)| < 1 или –1 < E_p(y) < 0, то y′′ < 0 и функция y(t) выпукла вверх.

Пример. Найти выражение для объема реализованной продукции y = y(t), если известно, что кривая спроса p(y) задается уравнением p(y) = 2 – y, норма акселерации 1/l = 2, норма инвестиций m = 0,5, y(0) = 0,5 [1].

Решение.

Уравнение (4) примет вид y′ = (2 – y)y или ^dy⁄_(2-y)y = dt.

Решив это уравнение с разделенными переменными, получаем

ln | ^{y - 2}⁄_y | = –2t + C₁

Отсюда

^{y - 2}⁄_y = Ce^–2t,    (5)

где C = ± e^C₁.

Учитывая, что y(0) = 0.5, C = –3. Выражая y из (5), имеем

y = ²⁄_{1 + 3e^–2t}.

График функции схематично изображен на рис. 1.

В этом случае эластичность спроса задается функцией

E_p(y) = ^{y - 2}⁄_y

Рисунок 1 – Логистическая кривая

Условие E_p(y) = ^p⁄_y ^dy⁄_dp = ^{y - 2}⁄_y, определяющее положение точки перегиба на кривой, дает y = 1.

Кривая, которая изображена на рис. 1, называется логистической.

Подобные кривые описывают процесс распространения информации, динамику эпидемий, процесс размножения бактерий в ограниченной среде и др.