Современный этап научно-технического прогресса характеризуется широким внедрением систем автоматизированного проектирования (САПР), автоматизированных система управления производством (АСУП) и технологическими процессами (АСУТП), функционирование которых обеспечивает эффективное решение проблем.

По оценкам специалистов, внедрение современных систем позволит значительно улучшить технико-экономические характеристики объектов, увеличить производительность труда.

При этом на всех этапах проектирования используется графическая информация, разнообразная по содержанию и функциональному назначению и являющаяся результатом моделирования объектов. Эта информация служит основой для принятия технологических решений.

В связи с выше сказанным, важной задачей явлеется представление дискретной словесной и цифровой информации в графическом виде. Незаменимым помошником в этом на данном этапе научно-технического развития является компьютер.

В геодезии и ряде других наук часто решается задача построения изолиний показателей (сдвижение земной поверхности, горизонтали и др.)[4]. При этом важное значение для восприятия имеет способ отображения-изолиниии могут быть сглаженными (более удобны для восприятия и наглядны) и нет. Решение задачи сглаживания изолинии имеет много решений. Поэтому возникает задача определения наиболее рационального и удовлетворяющего поставленным целям метода, что делает актуальной представленную работу.

Цель данной работы - изучение и исследование методов сглаживания изолиний, автоматизация процесса сглаживания изолиний.

Практическая ценность - в результате проведения исследований создана программа для отрисовки сглаженных изолиний показателей по прямоугольной сетке, разработана методика оценки методов сглаживания и получены результаты исследования различных методов отрисовки изолиний.

Научная новизна работы - сглаживание изолиний производится различными методами, каждый из которых имеет свою точность. При этом один и тот же метод может удовлетворять одной поставленной задаче, но совершенно не подходить для решения другой. Оценка точности методов позволит разграничить области их применения.

1. Постановка задачи

Проблема автоматизации графических работ включает три аспекта, связанных с математическим моделированием свойств объектов, математическим моделирование графических документов и моделированием процесса преобразования информации, полученной с помощью первой модели, в графическую информацию.

В первом случае объектом моделирования является природный объект, во втором-графический документ. Имитационное моделирование процесса трансформации модели объекта в графическую модель обеспечивает согласованный характер используемых математических моделей.

Информационная сущность математико - графического моделирования при автоматизированном выполнении графических работ заключается в последовательном преобразовании информации о системных параметрах объекта на основе базовых математических моделей пространственного размещения показателей графических объектов (документов) и процессов визуализации [9].

Математическое моделирование графических объектов базируется на анализе информационных связей.

На примере геолого-маркшейдерской графической документации можно рассмотреть иерархические уровни графических объектов:

1. Система геолого-маркшейдерской графической документации, включающая в себя геолого-промышленную и геолого-маркшейдерскую графику. 2. Система типовых геолого-маркшейдерских графиков, включающая в себя подсистемы разрезов, погоризонтных планов, проекции рудных тел и т.д. 3. Графический документ (топографический план поверхности, геологический разрез, погоризонтный план с изолиниями показателя). 4. Графический фрагмент (план опробования, геологическая колонка скважины, координатные сетки, геологические границы, геолого-промышленные границы, геолого-технологические границы, изолинии, условные обозначения). 5. Графический элемент (сегмент криволинейного контура, элементарная геометрическая фигура и т.д.). 6. Графический примитив (отрезок прямой, дуга окружности, литера).

Детализация математической модели каждого уровня осуществляется по информационному признаку, при этом компоненты моделей агрегируются из моделей более низких уровней. Последний уровень детализации математических моделей графических объектов содержит элементарные модели, описывающих положение графических примитивов в плоскости чертежа, входными параметрами которых являются атрибуты графокоманд графического устройства вывода. Помимо них множество элементарных графических моделей с помощью которых агрегируются модели более высокого уровня, должны содержать в себе модели сегментов криволинейных контуров (эллипсов, парабол, гипербол, кубических кривых и т.п.), модели элементарных геометрических объектов (треугольников, прямоугольников, ломаных, многоугольников), модели условных линий, знаков и обозначений.

С позиции геометрического моделирования графические фрагменты представляют собой составные модели, элементами которых являются вышеперечисленные элементарные модели, при проектировании которых приходится решать также различные позиционные задачи. По этой причине элементарные математические модели, описывающие решение позиционных типовых задач (определение пересечения графических элементов, определение идентичности точки графическому элементу, анализ взаимного расположения графических элементов) очень важны.

Многие элементарные модели, из которых агрегируются компоненты общих моделей, описывают различные традиционные приемы и методы создания оригиналов графических документов, используемые в начертательной геометрии, горно-инженерной графике, геометрии недр, картографии.

Автоматизация графических работ ориентирована в настоящее время на решение задач, связанных с отрисовкой отдельных элементов графической документации (плана опробования, изолиний различных показателей, контура горной выработки), характеризующих пространственное положение объектов и их форму. При этом можно выделить следующие стадии автоматизированного создания графики:

информационное моделирование объектов; математическое моделирование объектов (вычислительная обработка исходной информации и преобразованных данных); моделирование системы графических условных знаков, отображающих заданное содержание графического изображения; имитационное моделирование процесса графического отображения объекта с заданной степенью геометрического и топологического подобия.

Содержательная (тематическая) направленность машинной графики определяется составом функциональных графических задач, формируемых по объектно-целевому принципу.

2. Построение изолиний

2.1. Общие положения

Как видно из вышесказанного, графическое моделирование является основой составления графической документации.

При этом любая, даже самая сложная, документация составляется из отдельных примитивов. Их совокупность и определяет содержание и структуру полученного в результате документа. Поэтому важной задачей является проектирование составных частей. Одной из них является отображение показателей в изолиниях.

Для многих показателей формально допустимо аналитическое описание в виде явной функции двух геометрических переменных-координат на плоскости:

z=f(x,y)      (1)

Геометрическим образом функции двух переменных в пространстве служит некоторая поверхность. Будем предполагать, что в области существования D функция z=f(x,y)однозначна и непрерывна для всех точек плоскости (x,y). В геометрии недр такие функции соответствуют классу поверхностей топографического порядка, обладающих свойствами рельефа местности.

К таким поверхностям (реальным и условным) относятся поверхности почвы и кровли залежи полезного ископаемого, поверхности, характеризующие размещение в недрах качественных показателей и запасов полезных ископаемых и т.д.

Следует заметить, что для некоторых поверхностей условие напрерывности может не выполняться в пределах области существования D. В таких случаях область существования фунуции D может быть разбита проекциями на плоскость хОу линий разрывного нарушения.

Одним из основных способов изображения однозначных и непрерывных поверхностей, описываемых уравнением вида (1), является метод изолиний. Суть метода изолиний заключается в следующем. Построим в пространстве плоскость, перпендикулярную оси аппликат z=z*=const. Пересечениями этой плоскости с изображаемой поверхностью будут являться плоские линии, ортогональные проекции которых на плоскость хОу называются линиями уровня или изолиниями. Если взять систему таких параллельных между собой плоскостей, то множество всех изолиний будет наглядно характеризовать геометрические свойства поверхности.

Обычно при построении изолиний на планах задают величину сечения h поверхности, величина которого равна расстоянию между двумя соседними секущими горизонтальными плоскостями. В плоскости хОу величина h характеризует разность отметок двух соседних изолиний. Пусть z=z0-секущей плоскости с минимальной отметкой z0. Тогда при заданном значении сечения h уравнение к-й секущей плоскости запишем в виде:

z=z0+(k-1)h;k=1,2,......      (2)

Уравнение изолиний k-го порядка приобретают следующий вид [5]:

f(х,у)=z0+(k-1)h;      (3)

Расчитать уравнение секущей плоскости можно автоматически в форме:

Начальная отметка Z0	k	h	Результат: Z

Таким образом, задача графического отображения поверхности z=f(х,у) заключается в построении внутри области существования кривых, описываемых уравнениями (2).

К сожалению, явный вид функции z=f(х,у) не известен. Более того, ее точное восстановление невозможно по соображениям принципиального характера. Имеющаяся в наличии информация о свойствах функции содержится в данных и однозначно определяет значение функции в конечном числе точек zi=f(хi,уi). Иногда в распоряжении имеются данные непрерывного опробования в направлениях горных выработок. И в том, и в другом случаях построение изолиний связано с предварительным приближенным восстановлением функции z=f(х,у) по ее значениям в заданных узлах Рi(хi,уi) на плоскости хОу.

Таким образом, задача графического отображения поверхности базируется на построении интерполяционной поверхности, совпадающей в узлах интерполяции (хi,уi) с измеренными значениями показателя zi. Метод интерполяции определяет сущность метода изолиний. Очевидно, имея в виду большое число данных (количество узлов интерполяции), целесообразно использование составных моделей поверхностей.

Метод изолиний в его традиционном исполнении включает в себя несколько разновидностей. Одна из них, называемая методом многогранника, базируется на представлении поверхности z=f(х,у) в виде поверхности многогранника, каждая грань которого представляет собой пространственный треугольник . Областью существования функции для каждой грани служит отдельный треугольник плоской триангуляции в координатной плоскости хОу, вершинами которой являются узлы интерполяции Рi(хi,уi).

При наличии данных непрерывного опробования вдоль нескольких профилей или сечений изучаемой поверхности используется метод профилей. При ручном исполнении этого метода неявно используется интерполяция линейчатыми поверхностями. Методическая разработанность перечисленных двух методов допускает их машинную реализацию.

Алгоритмы построения изолиний методами многогранника и профилей имеют много общего[5]. Если в методе многогранника использовать вместо триангуляции плоские карты с четырехугольными выпуклыми гранями, то оба метода эквивалентны. В этом случае линейные порции интерполяционной составной поверхности заменяются на билинейные, представляющие собой частный случай линейчатых поверхностей. Ситуация становится особенно наглядной, если данные расположены в узлах регулярной сети.

Использование регулярно расположенных узлов интерполяции при построении изолиний не обязательно связано с геометрическими особенностями разведочных сетей. Регулярная сеть узлов может быть полученна искусственно. Например, отображение условных поверхностей, описывающих пространственное положение качественных показателей, при большом числе данных опробования методом многогранника становится нецелесообразным.

Это объясняется тем, что получается так называемый мелкосопочный рельеф, наличие которого связано с воспроизведением случайной компоненты поля признака. По такому изображению поверхности трудно судить о поведении закономерной составляющей изменчивости показателя.

Выход из положения заключается в сглаживании показателя. Одним из методов в геометрии недр является метод статического окна, заключающийся в усреднении данных в пределах отдельной ячейки прямоугольной или квадратной сети с заданными размерами. Основой для построения изолиний служат усредненные данные, отнесенные к центрам элементарных прямоугольников.

Вместо простейшего площадного сглаживания, применяемого в методе статического окна, могут быть использованы различные интерполяционные процедуры, обладающие свойствами сглаживания. Простейшими из них являются методы дистанционного взвешивания.

Независимо от способа сглаживания или интерполяции при построении изолиний каждый из них может быть использован как вспомогательная вычислительная процедура для определения усредненных значений показателя в узлах регулярной сети.

2.2. Методы сглаживания изолиний

Когда говорят о проектировании кривых в машинной графике, то имеют в виду решение задачи о построении кривой, проходящей через заданное множество точек, или проходящих вблизи заданного множества точек. В первом случае речь идет об интерполяции кривой, во втором-об апроксимации. Проблема проектирования плавных кривых является одной из центральных при моделировании месторождений полезных ископаемых. Типичные примеры связаны с построением контуров рудных тел и изолиний показателей месторождения в планах и на разрезах.

Поскольку с математической точки зрения решение задач интерполяции проще, то на практике используют в основном интерполяционные способы моделирования кривых. В тех случаях когда задача по своей сути является апроксимационной, ее сводят к интерполяционной, используя очевидные геометрические соображения. Такой подход особенно привлекателен при проектировании кривых в интерактивном режиме.

Наибольшее распространение в технике проектирования кривых для целей автоматизации получили кусочно-полиномиальные функции. Основная суть кусочно-полиномиальной интерполяции заключается в следующем. Для каждой пары соседних узлов интерполяции Рk(xk,yk) и Рk+1(xk+1,yk+1), где k=1,2,…n-1, подбирается многочлен невысокой степени, интерполирующий кривую на отрезке [xk,xk+1]. Обычно порядок многочлена выбирается равным двум (параболическая интерполяци) или трем (кубическая интерполяция). При использовании многочленов первой степени имеем простейший случай кусочно-линейной интерполяции. Результирующая кривая в этом случае будет представлять собой ломаную с вершинами в узлах интерполяции. Для каждого элементарного промежутка значение ординаты может быть получено из уравнения прямой:

Используя многочлены второго или третьего порядка, при моделировании составных кривых необходимо задать некоторые дополнительные свойства кривой в узлах интерполяции. Как правило эти условия связаны с характером монотонности и выпуклости функции, т.е. со значениями первой и второй производной. При простейшей кусочно-полимиальной интерполяции кривая обладает свойством непрерывности, но не является гладкой. Это связано с тем, что она имеет изломы в узлах интерполяции, где первая производная функции терпит разрыв, поэтому для обеспечения гладкости необходимо потребовать непрерывности первой производной интерполируемой функции в узлах. Можно также задать в каждом из узлов интерполяции наклоны кривой, т.е. численные значения первой производной функции. Далее в работе рассматриваются методы полиномиальной и кусочно-полиномиальной интерполяции, имеющие непосредственное отношение к моделированию кривых: интерполяционные многочлены Лагранжа, Эрмитовы кубические многочлены, параболические эрмитовые многочлены, локальные эрмитовы сплайны, соприкасающиеся параблические сплайны и сплайны Безье[1].

2.3. Отрисовка изолиний

После получения интерполяционной функции возникает задача её воспроизведения, которая решается методом кусочно-линейной интерполяции или интерполяции дугами окружностей [5].

При воспроизводстве кривой с помощью кусочно-линейной интерполяции промежуток кривой между двумя точками изолинии разбивается на n интервалов.

Заменив все участки кривой между каждыми двумя соседними точками хордами, мы заменяем кривую ломаной с вершинами в узлах разбиения. При этом критерии, с помощью которых выбирается длина шага разбиения, могут быть различными и их выбор диктуется целями, с которыми воспроизводится кривая. Такими критериями могут быть:

минимизация отклонения кривой от интерполяционной ломаной; желание обеспечить свойство гладкости воспроизводимой кривой.

Линейная интерполяция обеспечивает непрерывность функции, но при этом в узлах интерполяции появляются изломы, искажающие визуальное восприятие кривой. При замене кивой кусочно-линейным контуром её гладкость будет воспроизводиться тем лучше, чем меньше будут различия между положением касательной к кривой в узле и хордами. Эти различия могут служить критериями оценки точности воспроизводства.

Свойство гладкости воспроизводимой кривой можно обеспечить воспользовавшись интерполяцией дугами окружностей: предполагают что любые два соседних узла интерполяции принадлежат участку кривой для которого направление выпуклости одно и то же в каждой точке. Для сегментов парабол это свойство выполняется всегда. При интерполяции кубическими кривых следует определить точку перегиба, если она имеется, и использовать её в качестве одного из узлов интерполяции. При таком способе остроения интерполяционной дуги окружности обеспеивается непреравность составной кривой, но нарушается непрерывность первой производной в узлах интерполяции. Визуально это может обнаружиться в виде изломов в точках разбиения кривой.

2.4. Программная реализация

В процессе выполнения исследования методов сглаживания изолиний разработана программа, в которой реализованы следующие методы: соприкасающийся параболический сплайн, сплайн Безье, кубический сплайн.

Данная программа позволяет производить интерпольцию и воспроизводить изолинии уазанными методами по регулярной прямоугольной координатной сетке. При этом для визуального сравнения методов возможно одновременное их использование. Для исследования точности методов сглаживания изолиний предусмотрен перевод результатов построений в DXF-файл для возможности дальнейших измерений в среде AutoCAD.

На рисунках представлены примеры программной реализации методов сглаживания.

На рисунке 2.1 представлен пример построения изолиний по алгоритму соприкасающегося параболическо сплайна. Особенностью данного метода является то, что результирующая кривая проходит не через узлы изолинии, полученные в результате интерполяции, а через дополнительные узлы-середины отрезков интерполяционной кривой.

Рисунок 2.1 - Пример построения изолиний с применением соприкасающегося параболического сплайна.

На рисунке 2.2 представлен пример построения изолиний по данным, использованным в предыдущем примере, но с использованием сплайна Безье.

Рисунок 2.2 - Пример построения изолиний с применением сплайна Безье.

На рисунке 2.3 представлен пример совместного использование указанных методов.

Рисунок 2.3 - Пример совместного применения сплайна Безье и соприкасающегося параболического сплайна.

Как видно из рисунка, между результатами построений имеются существенные различия, вызванные разницей алгоритмов. Поэтому дальнейшей задачей исследования является определение их величины. По полученным результатам необходимо сделать вывод о точности методов и дать рекомендации по их применению.

Заключение

В результате проведения исследовательской работы разработана программа для построения и сглаживания изолиний показателей по регулярной сети методами соприкасающегося параболического сплайна, сплайна Безье, кубического сплайна.

На данном этапе целью дальнейших исследований является определение точности каждого из реализованных в программе методов, сравнение их точностных характеристик между собой и с методами, реализованными в других системах (таких как Surfer и т.п.), составление характеристик методов и рекомендаций по области применения каждого из них.

Список литературы

Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения. М. Мир. 1972. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.,Наука. 1965. 574 с. Васмут А.С., Бугаевский Л.М., Портнов А.М. Автоматизация и математические методы в картосоставлении: Уч. пособие для вузов.-М.: Недра, 1991.-391 с.:ил. Васмут А.С. Моделирование в картографии с применением ЭВМ.-М., Недра. 1983.-200 с. Ершов В.В. и др. Автоматизация геолого-маркшейдерских графических работ. М., Недра. 1991.-347 с.: ил. Гилой В. Интерактивная машинная графика. М. Мир. 1981. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М., Наука. 1980. 336 с. Корн Т., Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука. — 1974. Мартинес Ф. Синтез изображений. Принципы, аппаратное и программное обеспечение. — М.: Радио и связь, 1990. Неумывакин Ю.К., Перский М.И. Автоматизированные методы геодезических измерений в землеустроительстве.-М.: Недра, 1990.-263 с.: ил. Неумывакин Ю.К. Автоматизация геодезических измерений в мелиоративном строительстве.-М.: Недра, 1990.-270 с.: ил. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики.- М.:Мир, 2001. стр.296-310. Pябенький В.С. Локальные формулы гладкого восполнения и гладкой интерполяции функций по их значениям в узлах неравномерной прямоугольной сетки. Препринт N 21 ИПM AH CCCP, M.,1974. Фокс А.А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М. Мир. 1982.