Грудачев А.Я., к.т.н., Ткачук А.Н., инж., Донецкий национальный технический университет, Масецкий А.И., к.т.н., Донецкий техникум промышленной автоматики

Исследована кинематика движения ферромагнитной частицы под воздействием движущегося магнитного поля.

The kinematics of a ferromagnetic fragment under effect of a driving magnetic field is investigated.

На частицу отходов штамповочного производства в зоне транспортирования движущимся магнитным полем действуют: магнитная сила F, сила тяжести mg и сила трения Fтр (рис. 1). Магнитную силу целесообразно разложить на две составляющие: нормальную Fn к поверхности транспортирования и тангенциальную Fτ. Нормальная составляющая прижимает частицу к поверхности транспортирования, обусловливая зависимость силы трения от положения частицы относительно магнитной системы. Тангенциальная составляющая в зависимости от конфигурации поля в данной точке направлена по ходу движения магнитных блоков, либо противоположно. В первом случае она вызывает ускорение движения частиц относительно неферромагнитного кожуха, на чем и основан процесс перемещения.

Линеаризованные распределения составляющих магнитной силы по длине магнитной системы приведены на рис. 1. Fn и Fτ достигают наибольших значений на краях магнитной системы, где высокие значения напряженности магнитного поля сочетаются с его неоднородностью. Понижение значений магнитной силы в центральной части системы обусловлено большей неоднородностью поля. Силу трения представим в виде

Fтр=ω(N+C)=ω(Fn+mg+C),

где ω - коэффициент сопротивления; N - нормальная реакция; m - масса частицы; С - сила сцепления частицы с неферромагнитным кожухом.

Сила трения скольжения зависит от скорости относительного перемещения трущихся поверхностей. В рассматриваемом случае различие между силой трения покоя и силой трения движения учитывается путем введения различающихся коэффициентов сопротивления движению ω_г и сопротивления покоя ω_п.

1 - магнитный блок;
2 - неферромагнитный блок;
3 - ферромагнитная частица;
Рис. 1 Расчетная схема движения частицы в ММТУ

Для решения дифференциального движения частицы в зоне действия магнитного блока характерные распределения составляющих магнитной силы линеаризованы на четырех участках возрастания и убывания (рис.1). Зону действия соответственно направлению тангенциальной составляющей магнитной силы ( по ходу движения магнитных блоков, либо против) можно разделить на две части: зону втягивания (участки I и II), где частице сообщается ускорение, направленное против магнитных блоков, и зону транспортирования (участки III и IV), где Fτ обуславливает перемещение частиц по ходу магнитных блоков.

Рассмотрим относительное движение частице в системе координат, жестко связанной с магнитной системой.

Срыв частицы произойдет на участке I. Дифференциальное уравнение движения после срыва:

,     (1)

Уравнение (1) после преобразований можно представить в следующей форме:

,     (2)

где

,

,

Решение дифференциального уравнения (2)

,     (3)

В момент времени t=t₁ частицы перейдут на участок II, при этом x(t₁)=l₁, где l₁ длина первого участка.

Время t₁ определим, подставив х=1 в выражение (3):

,     (4)

Уравнение (4) является квадратным относительно и имеет решение:

,

Движение частицы на участке II описывается следующим дифференциальным уравнением:

,     (5)

Решение дифференциального уравнения (5) имеет вид:

,

Введем новую переменную Q(x):

Q(x)= F_τ(x) - F_тр.д=К(х) - ω_гmg - ω_гC,

причем Q(x) > 0 при F_τ(x) > F_тр.д и Q(x) < 0 при F_τ(x) < F_тр.д

В первом случае скорость частицы растет, а во втором - замедляется. При Q(x) = 0 в момент времени t = t₂ разгон частицы прекратится, т.е. и . Тогда

В момент времени t = t₃ в точке с координатой х(t = t₃) частица остановится относительно неподвижной системы координат, а в системе координат, жестко связанной с магнитной системой, .

Сравним величины пути разгона и пути торможения , воспользовавшись равенством всех сил, действующих на частицу на этих отрезках, т.е. равенством соответствующих площадей, ограниченных графиком Q(x).

Отсутствие скачка силы трения соответствует максимальному пути разгона и торможения, при этом Q(x₀) = 0.

Из условия равенства работ имеем:

,

причем для участка I: Q(x) = Q(0) + k_Q1x;

для участка II: Q(x) = Q(l₁) + k_Q2(x-l₁);

где k_Q1 и k_Q2 - угловые коэффициенты, характеризующие наклон прямых Q(x) соответственно на участке I и II.

После преобразования имеем:

Учитывая что k_Q1 < k_Q2, имеем:

Таким образом, путь разгона частицы больше пути торможения.

Анализ магнитных систем показывает, что

Тогда получаем:

Таким образом, к моменту выхода на участок III частица будет иметь скорость относительно магнитных систем, равную V₀.

На участках III и IV направление Fτ совпадает с направлением V₀. Дифференциальное уравнение движения частицы после срыва имеет вид:

    (6)

В целях упрощения математических выкладок при описании движения частиц начало третьего участка примем за начало координат, а отсчет будем вести с момента срыва частицы.

Введем обозначение:

K(ε) = Fτ(ε) - ω_г Fn(ε)     (7)

Зависимость K(ε) в пределах участка III имеет вид:

K(ε) = K(0) - k_изε     (8)

где k_из - положительный коэффициент, определяющий наклон прямой K(ε) на участке III.

С учетом (7) и (8) уравнение (6) приводится к виду:

где

      

Решение дифференциального уравнения имеет вид:

,     (9)

После преобразований получим:

,     (10)

Положив А₆ = Lsinβ и А₅ = Lcosβ, имеем

В промежутке времени от t = 0 до t = t₁ (с учетом выбора нового начала отсчета), когда ε′ становится равной нулю, ε возрастает, т.е.

откуда ω₃t₁ + β = π/2    и    t₁ = (π - 2β) / 2ω₃
При t = t₁

При обратном ходе максимум достигается при ε″ (t = t₂) = 0:

откуда ω₃t₂ + β = π    и    t₂ = (π - β) / ω₃

В этом случае

Обратный ход частицы заканчивается при t = t₃ когда ε′(t = t₃) = 0, то есть

откуда ω₃t₃ + β = 3π/2    и    t₃ = (1,5π - β) / ω₃

В этом случае

Далее частица движется вправо

В момент времени t = t₄ скорость частицы становится равной V₀, т.е. в неподвижной системе координат частица останавливается.

Тогда

откуда ω₃t₄ + β = 2π - β    и    t₄ = 2(π - β) / ω₃

и
учитывая, что

Рис. 2 Измерение скорости движения частици по длине желоба

Рис. 3 Кинематические характеристики движения частицы на III И IV участках

Одиночная частица, удержанная в зоне действия магнитного блока, совершает автоколебания. Характер изменения во времени координаты ε, скорости ε′ и ускорения ε″ иллюстрируют графики (рис. 2 и рис. 3). Математически условие срыва частицы с неферромагнитного кожуха записывается следующим образом

Решая неравенство относительно С, получим, что наличие наибольшей липкости груза С_сд, при которой его частицы еще будут проскальзывать по кожуху в зоне магнитного блока, существенно зависит от распределения по длине блока нормальной и тангенциальной составляющих магнитной силы и от коэффициента сопротивления ω_n.

Результаты полученных исследований могут быть использованы при расчете параметров магнитно-механического транспортного средства, перемещающего ферромагнитный груз движущимся магнитным полем.