Анализ свойств объектов и систем управления

Колганов

Здесь мы рассмотрим вопросы анализа специфических свойств объектов и систем управления, представленных векторно-матричными моделями в непрерывном времени

(4.1)

моделями типа "вход - выход"

(4.2)

где

а также векторно-матричными моделями в дискретном времени

(4.3)

Полную картину динамического поведения объектов и систем управления, как в непрерывном, так и в дискретном времени можно оценить по результатам решения уравнений состояния (4.1) или (4.3).

Общее решение уравнений состояния в непрерывном времени было выполнено при рассмотрении алгоритмов вычисления матриц состояния (Ф) и управления (Г) векторно-матричной модели непрерывного объекта в дискретном времени.

Решение уравнения состояния в дискретном времени.

Дискретная стационарная система может быть описана разностными уравнениями (4.3), если значение периода квантования для простоты записи предварительно принято равным Т=1.

Предположим, что известны начальный вектор x(k₀) и входные сигналы: u(k0), u(k0+1), u(k0+2),... .

Систему уравнений (4.3) можно решить просто, выполнив следующие итерации:

или для любого значения k имеем

(4.4)

Полученное решение (4.4) состоит из двух частей: одна зависит от начальных условий, другая является взвешенной суммой входных сигналов.

Достижимость и управляемость

При решении задач управления методами теории пространства состояний предварительно рассматриваются некоторые фундаментальные свойства динамических систем, которые не встречаются в классической теории управления, оперирующей только входными и выходными сигналами элементов рассматриваемой системы. Такими свойствами являются достижимость, управляемость и наблюдаемость. Наличие этих свойств у объектов управления позволяет рассчитывать оптимальное управление с помощью простых математических операций.

Сформулируем определения понятий достижимости и управляемости.

Определение 4.1. Состояние x(t₁) линейной системы достижимо, если существует момент времени t₀ < t₁ и такой вход, который переводит начальное состояние системы x(t₀)=0 в желаемое состояние x(t₁), при условии, что интервал ( t₀ - t₀) конечен.

Определение 4.2. Состояние x(t₁) линейной системы управляемо, если существует момент времени t₂ > t₁ и такой вход, который переводит состояние системы x(t₁) в состояние x(t₂)=0 (начало координат), при условии, что интервал (t₂ - t₁) конечен.

Для непрерывных систем вида (4.1) каждое достижимое состояние управляемо. Поэтому при анализе непрерывных систем говорят только об управляемости.

Для исследования достижимости используем векторно-матричную модель объекта управления (ОУ) в дискретном времени при Т=1

(4.5)

Теорема 4.1. Состояние системы x(n) достижимо, если и только если ранг матрицы достижимости равен размерности пространства состояний n.

Предположим, что задано начальное состояние x(0). Тогда состояние в момент времени n ( n - порядок системы) определяется соотношением

(4.6)

где

Если матрица W_D имеет ранг n , то можно найти n уравнений, решением которых является такой управляющий сигнал, что из начального состояния x(0) система перейдет в желаемое конечное состояние x(n).

Условия управляемости могут быть получены также из выражения (4.6). Из определения 4.2 следует, что . Тогда

(4.7)

Для того чтобы система была управляемой, т. е. могла быть переведена из состояния x(0) 0 с помощью входной последовательности u(0), ... , u(n-1) в состояние x(n)= 0, необходимо, чтобы состояние x(0) принадлежало пространству, натянутому на векторы Векторы должны быть линейно независимы, так как в противном случае состояние x(n)= 0 не может быть достигнуто. Из этого следует:

Теорема 4.2. Состояние x(0) 0 системы (4.5) управляемо, если и только если ранг матрицы равен размерности пространства состояний n.

Очевидно, что теорема справедлива только при невырожденной матрице Ф. Известно, что ранг матрицы останется неизменным, если ее умножить на невырожденную матрицу. Поэтому, если матрицу управляемости умножить слева на Фn , получим матрицу достижимости, то есть при det (Ф ) 0

(4.8)

Если матрица Ф не вырождена, условия достижимости и управляемости эквивалентны.

В непрерывных системах требование достижимости совпадает с требованием управляемости. Поэтому здесь используют только понятие управляемости, заменяя его в большинстве случаев понятием достижимости.

Теорема 4.3. Состояние непрерывной системы управляемо, если и только если ранг матрицы равен размерности пространства состояний.

Дополнительно можно ввести понятие индекса управляемости системы (4.1). Индексом управляемости системы называется такое минимальное целое число y, при котором матрица Q_y ,определяемая выражением , имеет ранг, равный размерности пространства состояний n. В общем случае .

Если индекс управляемости системы равен рангу матрицы Q_y (y=n), в этом случае речь может идти о полной управляемости динамической системы. В противном случае (y < n) система характеризуется неполной управляемостью.

Рассмотрим два характерных случая:

а) В - матрица-столбец размером n x 1. Матрица управляемости Q_y в этом случае - квадратная. Вычисляется определитель. Если определитель det(Qy) 0, матрица имеет ранг, равный порядку системы. В этом случае система полностью управляема;

б) В - матрица размером n x m , то есть система имеет m каналов управления. Матрица управляемости Q_y имеет размер n x(n x m): n- строк и n x m столбцов. В общем случае вычисляются n (m-1)+1 определителей матрицы управляемости порядка n каждый. Если хотя бы один из определителей отличен от нуля, система будет полностью управляемой и ранг матрицы управляемости равен порядку системы n.

Пример 4.1. Определим управляемость системы

(4.9)

a)

матрица управляемости

система управляема.

б)

Вычисляются n (m-1)+1=4 определителя для матриц Q1, ..., Q4 порядка n=3. Матрица для расчета каждого последующего определителя формируется путем отброса первого (в матрицах Q1, ..., Q3) и захвата следующего столбца матрицы управляемости Qу. Если хотя бы один из определителей отличен от нуля, то система управляема. Det(Q1)= -16, значит, система, рассматриваемая в примере, управляема, и другие определители можно не вычислять.

В случае представления объекта управления моделью типа “вход - выход” (4.2) условием его управляемости является отсутствие общих корней полиномов А(s) и B(s), то есть система (4.2) управляема, если и только если алгебраические уравнения

4.10

4.11

не имеют общих корней.

Данное условие может быть проверено как непосредственным вычислением корней полиномов, так и косвенным путем.

Многочлены A(s) и B(s) передаточной функции H(s)=B(s)/A(s) имеют, по крайней мере, один общий корень, если их результант, то есть определитель порядка (m+n), det(R)=0, где матрица

4.12

Таким образом, система, описываемая передаточной функцией H(s) считается управляемой, если ее результант отличен от нуля. Результант имеет порядок m+n, где m- порядок числителя, n- порядок знаменателя.

Результант формируется следующим образом:

а) первые m строк результанта - коэффициенты полинома знаменателя ak (k=0,1,...,n). При этом коэффициенты rii=a0 (i=1,2...,m); вправо от а0 по строке записываются коэффициенты в строке - нулевые. Общее число коэффициентов в строке - (n+m).

б) следующие n строк результанта формируются аналогично с использованием коэффициентов полинома числителя bk (k=0,1,...,m).

Пример. 4.2. Определим управляемость системы, представленной передаточной функцией

4.13

, det(R)=0, система не управляема!

Прямой расчет корней числителя и знаменателя дает аналогичные результаты, приведенные в табл. 4.1

Таблица 4.1. Результаты расчета корней полиномов числителя и знаменателя передаточной функции

Таким образом, числитель и знаменатель передаточной функции H(s) имеют два общих корня (-1.000, -1.414 и -1.000, 1.414). Значит, система не управляема. Изменение значений корней для этих пар в числителе или знаменателе переведет систему в ранг управляемых, а взаимное расположение корней на комплексной плоскости позволит судить о степени управляемости. Естественно, что изменение корней приведет к некоторому изменению самой передаточной функции H(s). Так, для корней числителя, приведенных ниже в таблице, передаточная функция запишется в виде (4.14)

Наблюдаемость

Для осуществления управления необходимо иметь информацию о текущем состоянии системы, то есть о значениях вектора состояния x(t) в каждый момент времени. Однако некоторые из переменных состояния являются абстрактными, не имеют физических аналогов в реальной системе или же не могут быть измерены. Измеряемыми и наблюдаемыми являются физические выходные переменные y(t).

Таким образом, возникает вопрос: можно ли определить вектор состояния по измеряемому вектору выхода и вектору входа?

Определение 4.3. Состояние x(t) называется наблюдаемым, если в момент времени наблюдения t=t0 можно однозначно определить x(t0) по данным измерения входных u(t) и выходных y(t). переменных на конечном интервале времени.

Для выявления формальных условий наблюдаемости также используем модель (4.5). Действие входного сигнала считается известным, поэтому общность решения не пострадает, если предположить, что u(k) = 0, где k = 0,1, ... , n-1.

Допустим, что даны y(0), y(1), ... , y(n-1), тогда можно записать следующую систему уравнений:

Используя векторную запись, получим

4.15

Состояние x(0) можно получить из (4.15), если матрица наблюдаемости

4.16

имеет ранг n.

Теорема 4.4. Система (4.5) наблюдаема, если и только если ранг матрицы наблюдаемости Wn равен размерности пространства состояний.

Аналогично формулируется и условие наблюдаемости для линейных непрерывных стационарных систем.

Теорема 4.5. Система (4.1) наблюдаема, если и только если ранг матрицы

4.17

равен размерности пространства состояний.

Индексом наблюдаемости системы будет называться такое минимальное целое число v, при котором матрица Qv, определяемая выражением

имеет ранг, равный n.

Если индекс показателя качества системы равен рангу матрицы Qv (v=n), можно говорить о полной наблюдаемости динамической системы. В противном случае (v < n) речь может идти о неполной наблюдаемости системы, а индекс может использоваться для определения порядка необходимого корректирующего фильтра.

Свойства управляемости и наблюдаемости систем необходимо рассматривать совместно для того, чтобы задача об управлении была корректно поставлена и принципиально разрешима.