НЕЧЕТКИЕ МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ
В.Ю.АРЬКОВ∗
∗Институт механики УНЦ РАН
Тел : (3472) 51 17 79 Факс : (3472) 51
16 79 E-mail : v
arkov@yahoo.com
450000, Уфа, ул. К. Маркса, 12, корп. 6
ВВЕДЕНИЕ
В данной статье рассмотрены возможности использования
стохастических моделей при проектировании и доводке систем автоматического
управления (САУ). Показаны возможности развития методов представления и
обработки нечетких марковских моделей в форме
когнитивной компьютерной графики.
Рассматривается процесс развития математических моделей САУ авиационных ГТД на различных этапах жизненного цикла от проектирования до производства и эксплуатации. Прослеживается эволюция моделей от обобщенного среднестатистического двигателя к индивидуальным характеристикам конкретного изделия. Обсуждается роль методов идентификации динамических моделей в системе неразрушающего контроля.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ И ЖИЗНЕННЫЙ ЦИКЛ САУ
Сравнительный
анализ позволяет выделить основные виды математических моделей газотурбинных
двигателей (ГТД), используемых на различных этапах жизненного цикла электронных
САУ. Специфика этого класса моделей заключается в том, что двигатель
рассматривается как объект управления (ОУ) [1]. Система управления является
неотъемлемой частью ГТД (так же, как и силовой установки летательного аппарата
в целом). Оба эти технические устройства параллельно разрабатываются, совместно
испытываются и эксплуатируются. Более того, нормальное функционирование двигателя
невозможно без использования САУ. В дальнейшем изложении математические модели
неизменяемой части рассматриваются как составная часть модели ОУ.
Анализируя
жизненный цикл двигателя и его САУ, можно выделить этапы
научно-исследовательских работ, опытно-конструкторских работ, создания
экспериментальных образцов, серийного производства и эксплуатации.
Проектирование САУ включает формирование аппаратной части системы, а также
разработку алгоритмического и программного обеспечения с применением моделей
ОУ, куда входит синтез и экспериментальная доводка системы управления.
После
отработки САУ на полунатурном стенде проводят испытания на двигателе и в
полете. Испытания ГТД совместно с САУ позволяют получить экспериментальные
данные, по которым производится идентификация моделей для доводки системы. При
этом модели приближаются к индивидуальным характеристикам конкретного двигателя,
а по ним уточняют алгоритмы управления, синтезированные по среднестатистической
модели.
На разных
стадиях жизненного цикла САУ требуются различные точность и степень детализации
математических моделей ; различна и степень
приближения к индивидуальным характеристикам двигателя и его САУ.
На этапе
проектирования требуется знание обобщенных сред нестатистических характеристик
и параметров ОУ, а математическая модель ОУ существенно упрощается по сравнению
с нелинейными поэлементными моделями, используемыми при проектировании ГТД. Система управления разрабатывается для
некоторого обобщенного ОУ, а после установки регулятора на конкретное изделие
выполняется индивидуальная подстройка параметров САУ.
При
экспериментальной доводке САУ и в серийном производстве математические модели
используют для контроля соответствия характеристик регулятора техническим
требованиям. Прежде всего, это относится к полунатурным стендам (ПНС) для
испытаний электронных регуляторов. Термин “полунатурное” является сравнительно
новым и относится к таким испытаниям САУ, где математические модели имитируют
реальный ОУ. Такая замена позволяет значительно сократить объем
экспериментальных работ на реальных объектах и существенно понизить стоимость
опытных работ.
В качестве
моделей реального времени в ПНС используют линейные динамические модели в
комбинации с нелинейной статической моделью. На стадии эксплуатации требуются
индивидуальные модели конкретного двигателя для текущих условий полета, которые
могут быть определены методами идентификации. Такие модели необходимы для
контроля и диагностики, а также для оптимизации режима работы, в частности, при
поиске наиболее экономичных режимов.
Применение
методов идентификации в качестве средства неразрушающего контроля позволит
перейти от эксплуатации по назначенному ресурсу к эксплуатации по состоянию.
Контроль состояния системы по идентифицированным моделям может дополнить
традиционную схему предполетных подготовок и регламентных работ.
2. КОМПЛЕКС
ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
При создании
САУ разрабатывается комплекс динамических моделей, на основе нелинейной
поэлементной модели, состоящей из статической и динамической модели.
Нелинейная
статическая модель предназначена для исследования характеристик двигателя при
его проектировании в ОКБ и включает, например, высотно-скоростные и дроссельные
характеристики. Такие модели строятся на основе законов газовой динамики и
включают сотни уравнений. Часть характеристик задается в виде эмпирических
зависимостей, графиков и таблиц. По ним можно рассчитать линию установившихся
режимов с помощью численных итерационных методов.
Нелинейная поэлементная динамическая модель аналогична статической, но
определяющие уравнения записываются в динамической форме. Они согласуют характеристики элементов
двигателя в виде уравнений неразрывности потока и уравнений сохранения энергии.
Поэлементная нелинейная динамическая модель предназначена для анализа
переходных режимов работы двигателя, например, запуска, приемистости или сброса
режима. Она может быть использована для анализа работы САУ, однако из-за
высокой трудоемкости расчетов и малой наглядности применение таких моделей для
проектирования САУ оказывается неэффективным.
На основе
термодинамических моделей строится комплекс динамических моделей (КДМ),
ориентированный на создание САУ. КДМ включает динамическую характеристику (ДХ),
линейные динамические модели (ЛДМ), быстросчетные
кусочно-линейные динамические модели (БКЛДМ) и стохастические модели. КДМ
создается путем существенного упрощения термодинамической модели.
Линейная
динамическая модель (ЛДМ) может быть получена из нелинейной поэлементной путем
идентификации либо линеаризации, причем структура линейной модели задается
априори из анализа термодинамической модели. ЛДМ описывают свойства двигателя
как ОУ в виде линейных дифференциальных уравнений или передаточных функций. Эти
модели достаточно наглядны и удобны для анализа устойчивости и качества
регулирования. В то же время, их приближенный характер снижает точность результатов
исследования.
Динамическая
характеристика (ДХ) представляет собой графический образ нелинейной
динамической модели ГТД. Кроме статической линии, ДХ одновального ГТД
дополнительно содержит линии постоянных ускорений частот
вращения роторов турбокомпрессора.
Для
построения ДХ по статической модели рассчитывают ряд режимов, задавая
определенные программы управления. Расчет ДХ по поэлементной динамической
модели выполняется путем задания соответствующих законов регулирования и
расчета рабочих линий в плоскости параметров двигателя. Кроме того, ДХ могут
сниматься экспериментально при наличии системы управления, обеспечивающей
указанные законы регулирования.
ДХ нашли
самое широкое применение, поскольку они наглядно отражают динамические свойства
двигателя как ОУ и сохраняют основной вид нелинейностей этих характеристик. С
другой стороны, ДХ для двигателей сложных схем представляют собой модель в
многомерном пространстве. Для ее упрощения и представления на плоскости или в
трехмерном пространстве приходится вносить серьезные допущения и упрощения, и
модель теряет свою наглядность.
Быстро-счетные
кусочно-линейные модели (БКЛДМ) сочетают нелинейные свойства ДХ и линейные
свойства ЛДМ. Исходными данными для БКЛДМ являются нелинейные статические линии
и коэффициенты ЛДМ. Статические характеристики аппроксимируются
кусочно-линейными зависимостями, построенными по нескольким базовым точкам.
Аналогично вводится линейная интерполяция для коэффициентов ЛДМ.
БКЛДМ
обладает приемлемой точностью и может использоваться в реальном масштабе
времени. Это позволяет оперативно отрабатывать алгоритмы управления на моделях
и проводить испытания САУ на ПНС. В перспективе планируется использование БКЛДМ
в бортовой системе контроля двигателя в качестве эталона исправного состояния.
3. КОГНИТИВНАЯ КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА
В настоящее
время процесс проектирования системы управления еще не вышел на уровень
образного представления. Синтез проводится по частотным характеристикам и
временным реализациям.
Пока
существуют только отдельные элементы образного подхода, например, динамическую характеристику
можно интерпретировать как своего рода когнитивный графический интерфейс к
нелинейной поэлементной модели. Для контроля и диагностики ГТД и его систем экспериментальные
данные необходимо представить в виде нескольких параметров, таблиц или поверхностей
[4, 5]. Эта задача уже относится к области распознавания образов с применением
экспертных знаний. Использование когнитивной графики позволит привлечь семантику
к решению задач, связанных с созданием САУ, идентификацией и контролем
состояния.
Образный
анализ дает возможность провести линию или поверхность исходя из опыта
эксперта-специалиста, и такой подход уже используется в некоторых областях
знания [6]. В частности, задача аппроксимации численных данных аналитической
функцией во многих случаях решается с использованием образного представления
данных. Исследователь выбирает аппроксимирующую функцию на основе экспертных
знаний, даже если есть варианты, более приемлемые по критерию минимума нормы
ошибки. В современных машиностроительных САПР уже используется трехмерная
графика. В таких системах конструктор работает не с уравнением кривой или набором
сплайн-функций, а с графическим образным представлением,
отражающим функциональную зависимость вместе с семантикой, с физическим
смыслом.
Задача
идентификации обычно решается на уровне математических формул, далеких от
образного представления. Но для марковской модели
задача аппроксимации сводится к геометрическому пространственному анализу
плоскости или поверхности. В частности, детерминированная составляющая
динамической модели представлена в матрице переходных вероятностей прямой
линией, проведенной по максимальным вероятностям. Таким образом, идентификация
динамических моделей тоже сводится к задаче распознавания. Вместо прямого
оценивания коэффициентов, вначале необходимо распознать поверхность-образ, по
которой определяются коэффициенты уравнения простым математическим приемом. При
этом структура и порядок модели должны быть заданы априори. Кроме того, можно предварительно
проводить когнитивный образный анализ корректности решения. Условия идентифицируемости будут определяться степенью разреженности
стохастических матриц, что свидетельствует о полноте исходной информации для идентификации.
Построив Марковскую
модель, можно переходить к анализу образов и сравнивать поверхности, а не коэффициенты.
Это позволит преодолеть некорректность задачи идентификации, когда небольшое отличие
поверхностей соответствует существенной разнице в коэффициентах. Кроме того, графически
задавать допустимые пределы для поверхности в пространстве гораздо проще, чем устанавливать
пределы изменения для целого комплекса взаимосвязанных коэффициентов модели.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Обзор математических
моделей ГТД как объекта управления, применяемых на разных этапах жизненного цикла
САУ показал, что существует своеобразное противоречие между индивидуальными и среднестатистическими
характеристиками двигателя. Чем точнее математические модели, тем ближе они становятся
к конкретным экземплярам исходных объектов, упуская их общие свойства.
При проектировании
САУ строится среднестатистическая модель для целого класса двигателей. В то же время,
индивидуальные характеристики каждого двигателя отличаются от средней прогнозируемой
модели. По характеристикам нескольких двигателей можно уточнить среднюю проектную
модель двигателя. На этапе доводки среднестатистические модели помогают улучшить
характеристики системы.
Созданная для усредненного ГТД система управления конкретным двигателем подстраивается
индивидуально. Каждый двигатель
имеет свои индивидуальные настройки и регулировочные характеристики. Поэтому на
этапе эксплуатации требования к моделям качественно изменяются, и полезную информацию
несет индивидуальная модель, особенно если она используется для контроля и диагностики
на аэродроме и в полете.
Методы неразрушающего
контроля всегда используют сравнение эталона и индивидуальной модели. В качестве
модели используются отражение лопатки турбины или компрессора в зеркале, рентгеновский
снимок или оценки коэффициентов дифференциального уравнения. Индивидуальную модель
реального объекта сравнивают либо с моделью и справного состояния, либо с моделью
неисправности. По-этому модель объекта управления на этапе
эксплуатации трансформируется в инструмент неразрушающего контроля.
Технология проектирования
САУ на сегодняшний день достаточно хорошо отработана. Поэтому, анализируя тенденции
эволюции моделей, можно утверждать, что область актуальных научных исследований
смещается в сторону построения индивидуальных моделей двигателя и его САУ для решения
задач контроля и диагностики, а также для оптимального управления силовой установкой
и летательным аппаратом в целом. Индивидуальные модели должны учитывать как детерминированную,
так и стохастическую составляющие поведения объекта. Эту роль могут сыграть обсуждаемые
в статье нечеткие марковские модели.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шевяков А.А.,
Мартьянова Т.С. и др. Оптимизация многомерных систем управления газотурбинных двигателей.
— М. : Машиностроение, 1989. — 256 с.
2. Куликов Г.
Г., Флеминг П.Дж., Брейкин Т.В., Арьков
В.Ю. Марковские модели сложных динамических систем : идентификация,
моделирование и контроль состояния (на примере цифровой САУ ГТД)— Уфа: УГАТУ,
1998. — 103 с.
3. Arkov V.Y., Breikin T.V., Kulikov G.G. Fuzzy
Markov simulation technique for product testing equipment — Prepr. 4th IFAC
Workshop on Intelligent Manufacturing Systems IMS’97,
4. Patton R. J., Frank P.M., Clark R.N. Fault
diagnosis in dynamic systems, theory and application. — Prentice Hall,
5. Frank P.M. Fault diagnosis in dynamic
systems using analytical and knowledge-based redundancy — A survey and some new
results. — Automatica, 1990, v.26,
pp.459-474.
6. Зенкин А.А.
Когнитивная компьютерная графика / Подр ед. Д. А. Поспелова.
— М. : Наука, 1991. — 192 с.