Марковские процессы
Тихонов В. И., Миронов М. А.
фрагмент из книги "Марковские процессы", 1977 г.
По общей классификации марковские процессы являются частным видом случайных процессов. Однако они занимают особо важное положение среди других видов случайных процессов. Это объясняется в основном двумя обстоятельствами: во-первых, для марковских процессов хорошо разраотан математический аппарат, позволяющий решать многие содержательные физические задачи, и во-вторых, при помощи марковских процессов можно описывать точно или приближенно поведение ряда реальных физических систем и устройств.
Приведем примеры тех задач общего характера, которые в принципе можно решить на базе теории марковских процессов.
1. Известно, что при преобразовании случайных процессов линейными и нелинейными (дискретными или непрерывными) динамическими системами, как правило, нет точных методов определения полных статистических характеристик выходных процессов (например, плотности вероятности). Здесь исключение составляют только линейные преобразования нормальных процессов, при которых сохраняется свойство нормальности и в полной мере применимы методы корреляционной теории. В других случаях приходится применять весьма трудоемкий, приближенный метод вычисления моментов с последующим восстановлением по ним плотности вероятностей. Однако, если процесс, воздействующий на систему (линейную или нелинейную), является марковским, то имеются общие методы вычисления статистических характеристик выходных процессов.
2. Предположим, что движение точки, отображающей поведение системы в фазовом пространстве, происходит при наличии определенных ограничений, причем при достижении границ нарушается нормальная работа системы. Задачи такого рода обычно возникают в следящих системах автоматического управления с конечной зоной устойчивой работы. В данном случае представляет практический интерес характер движения изображающей точки внутри этих границ. Физически содержательные задачи такого характера аналитически могут быть решены только для марковских процессов.
3. Еще одно направление развития радиотехники и автоматики является синтез оптимальных систем при наличии случайных воздействий. Наиболее полные и продуктивные результаты в этом направлении удается получить для марковских процессов.
При решении конкретных прикладных задач обычно не преследуется цель разработки новых математических методов или приемов. Как правило, дело сводится к тому, чтобы умело воспользоваться известным арсеналом математических средств применительно к рассматриваемой задаче. Ввиду того, что многие аналитические методы решения разработаны только для марковских процессов, естественно стремление "подогнать" многие задачи под аппарат теории марковских процессов.
Здесь можно указать два реальных факта, во многих случаях оправдывающих применение аппарата теории марковских процессов.
1. В практических ситуациях часто приходится рассматривать воздействие широкополосных нормальных помех или флуктуационных шумов на сравнительно инерционные системы конечного порядка. Действие такой помехи на систему в известных рамках аналогично воздействию некоторого эквивалентного белого шума, и в таких случаях оказывается допустимым рассматривать процессы в системе как марковские.
2. Нормальные случайные процессы с энергетическим спектром в виде дробно-рациональной функции частоты всегда с заданной степенью точности можно аппроксимировать марковскими процессамию
Различают следующую классификацию, применяемую к случайным марковским процессам.
1. Марковские цепи.
2. Марковские последоваетльности.
3. Марковские процессы с конечным числом состояний.
4. Марковские процессы с бесконечным числом состояний.
5. Дискретно-непрерывные марковские процессы.
6. Смешанные марковские процессы.
Характер временных реализаций четырех основных видов случайных марковских процессов приедставлен ниже на рис. 1.
