ДонНТУ   Портал магистров

Скрипай Виктория Владимировна

Факультет компьютерных наук и технологий

Кафедра прикладной математики и информатики

Специальность Экономическая кибернетика

Сравнительный анализ эффективности методов вейвлет-энтропии и дискретного Фурье-продолжения при оценке динамики финансовых рынков

Научный руководитель: к.т.н, с.н.с., доц. Андрюхин Александр Иванович

Резюме Биография Реферат Библиотека Ссылки Отчет о поиске Индивидуальный раздел

Реферат по теме выпускной работы

Содержание

• Введение
• 1. Актуальность темы
• 2. Цель и задачи исследования
• 3. Обзор исследований и разработок
• 4. Методы прогнозирования динамики финансовых рынков
• 5. Сопоставление вейвлет и Фурье преобразования
• Выводы
• Список источников

Введение

Основной проблемой в прогнозировании и анализе является построение моделей, которые должным образом отражают динамику финансовых временных рядов. Рыночный механизм, характеризующийся огромным количеством отношений, которые постоянно меняются, зависит от многих внешних факторов, что может существенно повлиять на структуру его зависимостей, а последствия могут быть самыми разнообразными. Возникновение тех или иных внешних факторов, как правило, не отражается в предыстории финансовых временных рядов, но вызывает нарушение их динамики. Именно в этом заключается особенность практически всех финансовых временных рядов. Принятие нового закона, изменение ставки рефинансирования, смена руководства одной из крупнейших компаний – вот список немногих факторов, способных существенно повлиять на финансовый рынок.

Прогнозирование изменений финансовых рынков осложняется нелинейностью процессов, которые не позволяют эффективно применять такие классические методы, как ARIMA, MACD в силу их значительной инерционности. Однако современный подход характеризуется изменением парадигмы. На смену гипотезы эффективного рынка, арбитражной теории, модели оценки капитальных активов, математической модели теории портфеля Марковица, основанных на распределении приростов Гаусса, теории случайных блужданий приходит фрактальная теория. Финансовые системы являются нелинейными системами и имеют эффект бабочки, когда очень маленькие изменения параметров влекут за собой большие последствия. Одной из задач современной науки является разработка моделей и методов для точного прогнозирования таких процессов.

1. Актуальность темы

Исследования динамики временных рядов позволяют дать объяснения кризисным явлениям в современных финансово–экономических системах. Поэтому актуальной задачей является разработка методов выявления периодических колебаний в финансово–экономических временных рядах, а также построение на их основе моделей для эффективного прогнозирования и предупреждения критических явлений.

В последнее время для решения задачи прогнозирования сложных экономических процессов и систем появилось и развивается такое направление, как эконофизика, основой которой является исследование экономических явлений, объектов и систем методами физики [1]. Последняя породила методы анализа частотных характеристик временного ряда. Именно этим методам посвящена данная магистерская работа.

2. Цель и задачи исследования, планируемые результаты

Целью исследования является оценка эффективности методов дискретного Фурье–продолжения и вейвлет–преобразования при прогнозировании динамики финансовых рынков.

Основные задачи исследования:

1. Анализ существующих методов прогнозирования динамики финансовых рынков.
2. Разработка алгоритмов построения прогнозов методами дискретного Фурье и вейвлет преобразований.
3. Оценка качества полученных при прогнозировании результатов.
4. Сравнительный анализ результатов прогнозирования с помощью Фурье и вейвлет преобразований и классическими методами прогнозирования.

Объект исследования: методы Фурье и вейвлет преобразования.

Предмет исследования: применение методов Фурье и вейвлет преобразования при прогнозировании динамики финансовых временных рядов.

3. Обзор исследований и разработок

В современных исследованиях, посвященных прогнозированию, распространены подходы к экстраполяции тренда временного ряда аналитической функцией [2], построение многофакторных регрессионных или авторегрессионных моделей [3, 4], и их расширенный вариант – метод группового учета аргументов [5]. Кроме того, популярными и востребованными являются методы, основанные на вейвлет–преобразовании [6] и методы прогнозирования временных рядов, основанные на технологии нейронных сетей [7].

Известно большое число работ, в которых предлагается исследование частотного спектра сигнала и построение прогноза, основанного на использовании его наиболее характерных гармоник [8–10]. Ученые выявили с помощью спектра преобразования Фурье наличие низкочастотных и среднечастотных циклов в различных временных рядах. Однако классический Фурье–анализ имеет ряд недостатков, среди которых: значительные погрешности для частот, не кратных промежутку дискретизации. Особенно этот недостаток является критическим для низкочастотных колебаний. При использовании достаточно большого числа гармоник преобразование Фурье хотя и удовлетворительно описывает такие колебания, однако определение частоты (длины периода) преобладающих колебаний осуществляется с заметными методическими погрешностями. Об этом свидетельствуют отклонения в спектрах преобразования Фурье реальных финансово–экономических рядов, наблюдаемые в работах разных авторов.

Вейвлет–анализ позволяет преодолеть выше упомянутую проблему, поскольку дает информацию как об амплитуде сигнала, так и о его фазе (смещение дочернего вейвлета). Поэтому разработка методов выявления периодических колебаний на основе вейвлет–анализа является одним из достаточно перспективных направлений исследовательской работы [1].

В работе [11] для прогнозирования рядов урожайности предложено использовать так называемый адаптивно–гармонический анализ, в основе которого лежит попытка эмпирически расширить понятие Фурье–разложения на гармоники с некратными длине ряда периодами. Подобный подход развивается и в работах Филера [12].

В серии работ [13–15] предложен и разрабатывается целый набор специфических методов прогнозирования временных рядов, имеющих повторяющиеся компоненты. Эти методы реализуют новые парадигмы моделирования сложных систем, наиболее полно изложенные в монографиях [1, 15], и, по сути, представляют собой иерархическую систему экономичных взаимодополняющих алгоритмов, основанных на так называемом дискретном Фурье–продолжении (ДФП).

4. Методы прогнозирования динамики финансовых рынков

Прежде чем прогнозировать котировки с помощью методов, основанных на частотном разложении временного ряда, был проведен анализ временного ряда с помощью классических методов прогнозирования. В качестве учебной выборки были взяты данные котировок Forex за октябрь 2011 года с периодичностью в сутки, 4 часа, 1 час, 30 минут.

Чтобы описать зависимость ряда была предложена классическая регрессионная модель, учитывающая две основные компоненты временного ряда – тренд и циклическую компоненту. Она имеет вид:

Также было выдвинуто предположение о том, что качество прогноза будет зависеть от размера окна – количества данных, на основе которых будет построена зависимость, и смещения (сдвига) этого окна относительно первого элемента. Прогноз рассчитывался на один последующий день. Качество прогноза оценивалось аддитивной ошибкой с помощью метода наименьших квадратов. Расчеты были проведены в программном пакете Maple 15.

Предложено два варианта расчета модели:

1–й метод – программа учитывала полную зависимость и вычисляла сразу все параметры модели;

2–й метод – на первом этапе программа выявляла тренд (т.е. вычисляла первые два параметра), затем из исходных данных вычитала значение смоделированного тренда, и по остатку находила циклическую зависимость (т.е. вычисляла остальные параметры).

Для вывода полученных расчетов в графическом виде были использованы следующие показатели:

р1 – отношение фактического значения временного ряда к спрогнозированному;

m – размер временного окна;

sdv – сдвиг временного окна относительно первого элемента.

Результаты вычислений по первому методу приведены на рисунке 1.

Из данных, представленных на рисунке 1, можно увидеть, что с увеличением размера временного окна точность прогноза увеличивается. Для часовой и получасовой периодичности минимальное значение оптимального размера окна равно 20 периодам, т.е. отклонения прогнозных значений от фактических составляют не более 3 %, а также сглаживается влияние сдвига на качество прогноза.

Также были рассчитаны средние значения параметра р1 для размера окна по первому методу расчета. Поскольку для всех четырех периодичностей графики имеют примерно одинаковую характерно изогнутую кривую, в работе представлен график для периодичности в 4 часа.

Анализ рисунка 2 подтверждает, что точность прогноза по данному методу вычисления повышается с увеличением размера временного окна. Результаты вычислений по второму методу приведены на рисунке 3.

Из данных, представленных на рисунке 3, можно увидеть, что при расчете зависимостей данным методом не существует общей характерной зависимости качества прогноза от размера временного окна или его смещения по временному ряду, .как в предыдущем случае.

Сравнивая эти два метода можно увидеть, что при первом методе прогнозирования разброс от наилучшей до наихудшей точности прогноза составил в среднем 60 %, а при втором – не превысил 10 %. Однако, с увеличением размера временного окна в первом методе была достигнута точность прогноза в 95–97 %, а при прогнозировании вторым методом она колебалась в диапазоне 87–93 %. Следовательно, можно сделать вывод, что второй классический метод декомпозиции является более надежным для прогнозирования с точностью прогноза 90 %.

Необходимо подчеркнуть, что эти результаты носят локальный характер для рассматриваемого временного интервала в условиях определенной стабильности.

5. Сопоставление вейвлет и Фурье преобразования

Классическое преобразование Фурье (ПФ) является традиционным математическим аппаратом для анализа стационарных процессов. При этом сигналы разлагаются в базисе косинусов и синусов или комплексных экспонент. Эти базисные функции тянутся вдоль всей оси времени.

С практической точки зрения и с позиций точного представления произвольных сигналов ПФ имеет ряд ограничений и недостатков. Имея хорошую локализацию по частоте, оно не имеет временного разрешения. ПФ даже для одной заданной частоты требует знания сигнала не только в прошлом, но и в будущем, а это – теоретическая абстракция. Обусловлено это тем, что базисной функцией при разложении в ряд Фурье является гармоническое колебание, которое математически определено на временном интервале от – ∞ до + ∞. ПФ не учитывает, что частота колебания может изменяться во времени. Локальные особенности сигнала (разрывы, ступеньки, копья и т.п.) дают едва заметные составляющие спектра, по которым выявить эти особенности, и тем более их место и характер, практически невозможно. В этом случае невозможно и точное восстановление сигнала из–за появления эффекта Гиббса. Для получения высокочастотной информации о сигнале с хорошей точностью следует извлекать ее из относительно малых временных интервалов, а не по всему сигнала, а для низкочастотной спектральной информации – наоборот. Кроме того, на практике не все сигналы стационарные, а для нестационарных сигналов трудности ПФ возрастают многократно.

Часть указанных трудностей преодолевается при использовании оконного ПФ:

в котором применяется предварительная операция умножения сигнала S(t) на окно w(t–b), при этом окном является локальная во времени функция (например, прямоугольная, то w(t)=1 при 0 < t < τ и w(t)=0 при t < 0 и t > τ, перемещаемая вдоль оси времени t (рис. 4) для вычисления ПФ в разных позициях. В результате получается текущий спектр, т.е. частотно–временное описание сигнала.

Если окно, показанное на рисунке 4 , перемещать скачками (через τ) вдоль всего времени существования сигнала S(t), то через некоторое число таких перемещений возможен просмотр всего сигнала. Так что вместо обычной спектрограммы получится набор спектрограмм, схематично представлен в виде прямоугольников на рисунке 5.а. Такой спектральный анализ равносилен анализу с помощью набора фильтров с постоянной шириной полосы пропускания, равной Δω ≈ 2π/τ.

Очевидно, что поскольку каждое окно выделяет свой небольшой участок во времени, точность представления и разрешающая способность (по времени) могут быть повышены. Однако учитывая известный принцип неопределенности (Δωτ = const) невозможно получить одновременно высокое разрешение и по частоте, и по времени. Окну с узкой шириной (τ) во времени отвечает плохое разрешение по частоте (большая величина Δω).

Недостаток оконного ПФ состоит в том, что используется фиксированное окно и, следовательно, фиксированное разрешение по времени и частоте для всех точек плоскости преобразования (рис. 5.а), которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала.

ВП имеет существенное преимущество перед ПФ прежде всего за счет свойства локальности вейвлетов. В вейвлет –преобразовании операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая сужает и расширяет окно (рис. 5.б): с ростом параметра а увеличивается разрешение по частоте и уменьшается разрешение по времени, а с уменьшением этого параметра уменьшается разрешение по частоте и увеличивается по времени. Отсюда появляется возможность адаптации к сигналу выбора параметров окна. Подвижное частотно –временное окно одинаково хорошо выделяет и низкочастотные, и высокочастотные характеристики сигналов. Это свойство ВП дает ему большое преимущество при анализе локальных свойств сигналов.

Возможно локально реконструировать сигнал: реконструировать только часть сигнала или выделить вклад определенного масштаба. Если вейвлет–коэффициенты подвержены случайным ошибкам, они будут действовать на сигнал, реконструируемый локально вблизи положения возмущения, а ПФ распространяет ошибки по всему восстанавливаемому сигналу [16].

Именно благодаря выявлению локальных особенностей сигнала, принципиально отсутствующему в ПФ, ВП нашло широкое применение для анализа тонкой структуры сигналов изображений, для их сжатия и очистки от шума, что важно и полезно в радиотехнике, электронике, гидроакустике, геофизике, медицине и других областях науки и техники. При этом следует отметить, что ВП ни в коем случае не является заменой традиционного преобразования Фурье и не уменьшает его достоинств и значимости при работе со стационарными процессами, и когда нет необходимости исследовать локальную структуру сигналов. ВП просто другое и позволяет посмотреть на исследуемый процесс с другой точки зрения.

Выводы

В ходе проведения исследования проблемы были проанализированы существующие методы прогнозирования динамики финансовых рынков, а также на основе сравнения, выявлены их сильные и слабые стороны.

Вейвлет–анализ позволяет проводить анализ временных рядов в различных временных шкалах. Сам по себе вейвлет–анализ по смыслу аналогичен Фурье–анализу. В обоих случаях речь идет о представлении исследуемого процесса в виде линейной комбинации различных функций, именуемых базисом соответствующего преобразования. Вейвлет–анализ представляет по сравнению со спектральным Фурье–анализом следующий логический шаг: техника выделения окон для анализа с изменяющимся размером. Вейвлет–анализ позволяет использовать длинные интервалы, где необходимо получить точную низкочастотную информацию, и короткие временные интервалы, где необходимо получить высокочастотную информацию.

В дальнейшем будет сравнено качество прогнозов классическими методами и методами, основанными на частотном разложении временного ряда, такими как Фурье–продолжение и вейвлет–преобразование, а также будут разработаны и применены дополнительные параметры оценки качества прогноза для других финансовых рынков отличных от Forex.

При написании данного реферата магистерская работа еще не завершена. Окончательное завершение: декабрь 2012 года. Полный текст работы и материалы по теме могут быть получены у автора или его руководителя после указанной даты.

Список источников

1. Синергетичні та еконофізичні методи дослідження динамічних та структурних характеристик економічних систем.// Дербенцев В.Д., Сердюк О.А., Соловйов В.М., Шарапов О.Д. – Монографія. – Черкаси: Брама –Україна, 2010. – 287 с.
2. Присенко Г.В., Равікович Є.І. Прогнозування соціально–економічних процесів: Навч. посіб. – К.: КНЕУ, 2005. – 378 с.
3. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов Лукашин Ю.П.: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 416 с.
4. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. – М.: МИР, 1974. – 406 с.
5. Зайченко Ю.П. Нечеткие модели и методы в интеллектуальных системах: Учеб. пособие. – К.: Слово, 2008. – 344 с.
6. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук, 2001. – Том 171, №5. – С. 465–501
7. Ежов А.А., Шумский С.А. Нейрокомпьютинг и его применения в экономике и бизнесе. – М.: МИФИ, 1998. – 224 с.
8. Korotayev A. Kondratieff waves in global invention activity (1900 –2008) / A. Korotayev, J. Zinkina, J. Bogevolnov // Technological Forecasting and Social Change. – 2011. – Vol. In Press, Corrected Proof.
9. Brooks C. Detecting intraday periodicities with application to high frequency exchange rates / Brooks C., Hinich M.J. // Journal of the Royal Statistical Society: Series C (Applied Statistics). – 2006. – Vol. 55, 2. – P. 241–259.
10. Hinich M.J. Randomly modulated periodicity in the US stock market / Hinich M.J., Serletis A.// Chaos, Solitons Fractals. – 2008. – Vol. 36, 3. – P. 654–659.
11. Грицюк П.М. Аналiз, моделювання та прогнозування динаміки врожайностi озимої пшеницi в розрiзi областей України: монографiя / П. М. Грицюк. – Рiвне: НУВГП, 2010. – 350 с.
12. Філєр З. Біржові паніки, кризи та Сонце //Энергосбережение, энергетика, энергоаудит, №2 (60), 2009. – С. 49–54.
13. Чабаненко Д.М. Дискретне Фур'є –продовження часових рядiв // Системнi технологiї. Регiональний мiжвузiвський збiрник наукових праць. – Днiпропетровськ, 2010. – № 1 (66). – С. 114–121.
14. Chabanenko D. Discrete Fourier forecasting of economic dynamic's time series / D. Chabanenko, O. Nechinennaya // Information Technologies, Management and Society. Theses of the International Conference. Information Technologies and Management. – Riga: 2010. – P. 43–44.
15. Релятивистская квантовая эконофизика. Новые парадигмы моделирования сложных систем. // Сапцин В.М., Соловьев В.Н.. – Черкассы: Брама –Украина, 2009. – 64 с.
16. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет –преобразования: Учеб. Пособие. – Новосибирск: Изд –во НГТУ, 2003. – 104 с.

Резюме Биография Библиотека Ссылки Отчет о поиске Индивидуальный раздел