Моделирование движения в плотном потоке

Аннотация

Юрченко А.С., Лавренюк В.Н., Зензеров В.И., Бельков Д.В. Моделирование движения в плотном потоке. Целью статьи является моделирование движения в плотном потоке с учетом фаз затора и синхронизированного потока. Предложена модель движения в заторе на основе квантовой теории конденсированной среды. Введено понятие квазичастицы - кванта поля взаимодействия машин в потоке: машина – квант автомобильного поля – машина. Предложена модель кооперативного движения квазичастиц и машин в синхронизированном потоке. Переход от затора к плотному потоку моделируется как фазовый переход II рода. При исследовании фазовых состояний транспортного потока используется модель Нагеля–Шрекенберга, реализованная в среде Octave.

Введение

Плотный транспортный поток характерен для автодорог в любой промышленно развитой стране. По этой причине, одна из целей исследований в области транспортных потоков заключается в том, чтобы обеспечить понимание природы появления дорожных заторов, что может быть использовано для эффективного регулирования и управления транспортными потоками, организации движения, оптимального распределения трафика транспортных систем. Это должно повысить безопасность движения.

Разработка реальных интеллектуальных транспортных технологий сопряжена с большими материальными затратами, поэтому предварительный анализ их эффективного использования в численных экспериментах является необходимым. Требуется разработка моделей реальных транспортных потоков [1].

В основе существующей парадигмы транспортного потока лежат следующие представления:

1. Исходное состояние транспортного потока – свободное движение машин по дороге. При таком режиме машины могут свободно двигаться с удобной скоростью и менять полосу движения.
2. Свободный транспортный поток абсолютно устойчив, в нем нет пробок.
3. Отсутствие машин на дороге также считается потоком в свободном режиме. Это предельное состояние транспортного потока с абсолютной устойчивостью.
4. Состояние максимальной загруженности дороги, когда машины стоят впритык друг к другу, является предельным состоянием транспортного потока. Оно обладает абсолютной устойчивостью. Между предельными состояниями поток становится неустойчивым, разрушается, в нем образуются пробки.
5. Важным для исследования считается переход от свободного потока к плотному потоку.

Эта парадигма имеет два существенных несоответствия теоретических допущений с эмпирически наблюдаемыми характеристиками:

1. Постулирование свободного потока, как «естественного» (в пределе – нулевого потока). Это представление – рудимент от тех времен, когда дорожное движение только начиналось. Реальный транспортный поток является плотным.
2. Изучается прямой фазовый переход от свободного транспортного потока к плотному потоку. Для реального транспортного потока характерна обратная проблема: пробка возникает легко, а рассасывается с большим трудом. Поэтому важно изучать фазовый переход от затора к свободному потоку [2].

   При разработке новой парадигмы транспортного потока в работе [2] было предложено понятие «автомобильного поля». Если, начиная с какогото расстояния, между машинами начинается взаимодействие, можно говорить о «поле», действующем на определенных расстояниях. Оно проявляется как взаимодействие между машинами в потоке. Таким образом, в работе [2] предлагается следующая схема взаимодействия машин в потоке: машина – автомобильное поле – машина.

   Целью данной статьи является моделирование плотного транспортного потока с учетом фаз затора и синхронизированного потока.

   Задачи: разработка модели движения в заторе и модели синхронизированного потока.

   Фазовые состояния транспортного потока

   Одна из первых математических моделей автотранспортных потоков – модель Лайтхилла–Уизема основана на гидродинамической аналогии. В ней предполагается наличие однозначной зависимости средней скорости потока v(ρ) от плотности автомобилей ρ. Это допущение позволяет ввести величину потока q(x,t), равную числу машин, пересекающих данное сечение автомагистрали в точке x за единицу времени, как функцию от локальной плотности ?. Соотношение q=v(ρ)ρ играет важную роль в теории транспортных потоков, ее отображение на плоскости {q,ρ} называется фундаментальной диаграммой [3]. Фундаментальная диаграмма и фазовые состояния в реальном транспортном потоке показаны на рисунке 1.

   

   Рисунок 2 – Фазовые состояния транспортного потока

   В транспортном потоке различают свободный и плотный потоки. В модели Б.С. Кернера [3] плотный поток состоит из двух фаз: синхронизированный поток и широкие перемещающиеся пробки. Таким образом, различаются три фазы движения транспортного потока и его свойства объясняются с помощью фазовых переходов между перечисленными состояниями потока. Эти состояния соответствуют различным фрагментам основной диаграммы.

   При свободном движении, когда дорога не загружена, водители придерживаются желаемой скорости, свободно переходя на соседние полосы. Корреляции в движении отдельных автомобилей подавлены, и средняя скорость машин определяется только средним расстоянием между ними.

   Синхронизированное движение, соответствующее убывающей ветви основной диаграммы, возникает, когда водители уже не могут свободно маневрировать, и вынуждены согласовывать свою скорость со скоростью потока. Машины мешают друг другу разогнаться до оптимальной скорости, но поток не переходит в состояние затора. В таком потоке формируются большие кластеры автомобилей, которые перемещаются по автомагистрали как единое целое. В этом случае корреляции в движении отдельных автомобилей достаточно велики. С ростом плотности потока движение становится неустойчивым, и поток распадается на отдельные группы автомобилей с неравномерным движением. При уменьшении средней скорости до 20 км/ч начинается формирование заторов.

   При исследовании фазовых состояний транспортного потока в данной статье используется модель Нагеля–Шрекенберга, реализованная в среде Octave [4].

   Модель Нагеля–Шрекенберга

   В обеих системах моделирования все элементы представлены блоками. На их базе в системах моделирования была построена схема (рис. 1, 2).

   Модель Нагеля–Шрекенберга представляет собой стохастический одномерный клеточный автомат, предназначенный для моделирования дорожного движения. Применение дискретного подхода к моделированию транспортных потоков эффективно с точки зрения скорости вычислений [5]. Формулировка модели для однополосного движения заключается в следующем [6]: пусть имеется одномерная сетка, каждая ячейка которой может быть либо свободна, либо занята автомобилем. Размер ячейки принимается равным 7,5 м, что соответствует пространству, занимаемому автомобилем в неподвижном потоке (в пробке). Переменные n_i и v_i – координата и скорость i-го автомобиля соответственно; g_i=n_i+1-l_i-n_i - дистанция до лидирующего автомобиля;l_i - длина i-го автомобиля.В данной модели l_i=1. Скорость может принимать одно из (v_max+1)На каждом временном шаге t состояние всех автомобилей в системе обновляется в соответствии со следующими правилами:
   1. Ускорение. Если v_imax то скорость i-го автомобиля увеличивается на единицу; если v_i=v_max то скорость не изменяется: v_i(t)=min(v_i(t-1)+1,v_max).
   2. Торможение. Если новая скорость равна или больше расстояния до впереди идущего автомобиля, то значение скорости приравнивается к этому расстоянию: v_i(t)=min(v_i(t)+1,g_i(t-1))
   3. Случайные возмущения. С заданной вероятностью p водитель уменьшает скорость: если ξ(t) < ρ, то v_i(t)=max(v_i(t)-1,0).
   4. Движение. Изменение положения автомобиля на сетке автомата в соответствии со вновь вычисленной скоростью: n_i(t-1)+(n_i(t)-1)+v_i(t).

   Первое правило отражает общее стремление всех водителей ехать с максимальной скоростью, второе правило гарантирует отсутствие столкновений со впереди идущими автомобилями. Элемент стохастичности, учитывающий случайности в поведении водителей и прочие вероятностные факторы, вносится третьим правилом. Переменная ξ– это случайная величина, распределённая равномерно на интервале (0;1). Четвёртое правило определяет количество ячеек для продвижения машины за одну итерацию.

   Движение в заторе

   Данный раздел посвящен разработке модели движения в заторе на основе квантовой теории конденсированной среды [7]. Таким образом, в отличие от работы [2], предлагается квантовая схема взаимодействия машин в потоке: машина – квант автомобильного поля – машина.

   Рассматривается движение одинаковых по габаритам машин. Это движение отличается от свободного и синхронизированного потоков более тесным и симметричным расположением машин. Машины, составляющие затор, движутся, располагаясь в определенном порядке. При полной остановке машин их скорость равна нулю, а расстояние между ними совпадает с физическим габаритом (состояние «stop»). Это основное состояние затора: силы взаимодействия между машинами компенсируются, машины находятся в равновесии. Такому расположению машин соответствует минимум их взаимной потенциальной энергии.

   При выходе из равновесия (состояние «start») машины приобретают кинетическую энергию. Эта энергия соответствует их колебательному движению около состояния равновесия. Колебания представляют собой волны сжатия и растяжения дистанции между машинами. Поскольку при движении в заторе смещения машин из равновесия достаточно малы, то потенциальную энергию потока можно разложить в ряд по степеням смещений. Линейные члены в этом разложении должны отсутствовать, так как в положении равновесия силы, действующие на машины, равны нулю. Если в силу малости смещений отбросить все члены разложения выше второго порядка, то будем иметь систему с потенциальной энергией, пропорциональной квадратам смещений. В такой системе машины будут совершать малые колебания около положения равновесия.

   Спектр колебаний машин в заторе зависит от ширины дороги. Эта зависимость обусловлена тем, что с изменением ширины дороги изменяются силовые константы, т.е. коэффициенты при квадратах смещений в разложении потенциальной энергии потока в ряд по смещениям. Кроме того, увеличение ширины дороги при постоянной плотности может привести к увеличению роли ангармонических эффектов. Однако мы будем считать, что изменения ширины дороги приводят лишь к изменению спектра колебаний, тогда как сами колебания остаются гармоническими. В этом состоит смысл квазигармонического приближения.

   Переход транспортного потока в затор является стремлением системы машин понизить свою энергию при повышении плотности. Поэтому структура потока определяется силами, действующими между машинами. Потенциальная энергия взаимодействия машин не мала по сравнению с кинетической энергией их движения. Затор – система сильно взаимодействующих машин. Поэтому представляет интерес возможность введения квазичастиц, т.е. квантов автомобильного поля, и сведение задачи о системе сильно взаимодействующих машин к задаче о системе невзаимодействующих квазичастиц. Однако это возможно только в квазигармоническом приближении, когда потенциальная энергия взаимодействия машин считается квадратичной функцией их смещений из положения равновесия. В этом приближении квазичастицы движутся свободно, совершенно не взаимодействуя друг с другом.

   В данной статье, согласно квантовой механике, поле взаимодействия машин рассматривается как динамическая система. Она может находиться в разных дискретных энергетических состояниях. Низшее состояние этой системы – вакуум поля. Оно соответствует свободному потоку, т.е. состоянию транспортного потока, где взаимодействие машин отсутствует. Возбуждение автомобильного поля происходит дискретно, путём появления отдельных квантов энергии. Эти кванты являются элементарными возбуждениями поля и называются квазичастицами. Таким образом, квазичастица – это элементарное возбуждение, квант автомобильного поля.

   Колебательное движение машины около положения равновесия можно считать подобным колебаниям маятника. Машины в заторе не изолированы друг от друга, и поэтому они совершают колебания не самостоятельно. Колебания сильно взаимодействующих машин можно представить как совокупность слабо взаимодействующих волн. Каждая волна согласно квантово-волновому дуализму соответствует квазичастице. В таком случае энергия сильно взаимодействующих машин равна сумме энергий слабо взаимодействующих квазичастиц и затор, т.е. систему сильно взаимодействующих машин можно рассматривать как газ квазичастиц. Однако вдали от равновесия, около точки фазового перехода от затора к синхронизированному потоку это понятие использовать некорректно.

   Кооперативное движение

   Данный раздел посвящен разработке модели синхронизированного потока на основе теории самоорганизации [8].

   Рассматривается переход от движения в заторе к движению в синхронизированном потоке. Состояние затора является симметричным в том смысле, что в газе квазичастиц все квазичастицы движутся свободно. Нет особого, выделенного направления их движения. Это означает, что волны сжатия и растяжения дистанции между машинами являются некогерентными. При уменьшении плотности потока может появиться возможность более быстрого движения. Машины одна за другой ускоряются и выходят из затора. Это происходит, если волны сжатия и растяжения дистанции между машинами являются когерентными. В таком случае состояние потока становится несимметричным, возникает выделенное направление движения квазичастиц.

   Как показано на рисунке 1, в работах [2, 3] переход от синхронизированного потока к затору является фазовым переходом I рода. Однако в данной статье переход от затора к синхронизированному потоку рассматривается как фазовый переход II рода, нарушающий симметрию системы. Симметрия появляется и исчезает скачком. При этом нарушение симметрии можно охарактеризовать величиной, которая при фазовом переходе II рода изменяется непрерывно и называется параметром порядка.

   В данном случае параметром порядка является величина потока q, а управляющим параметром – величина s=1-p. При s ниже критической точки параметр порядка равен нулю, выше этой точки начинается его аномальный рост, приводящий к максимальному значению при значении s равном единице. В плотном потоке действуют два процесса:

   1. Разрушение структуры синхронизированного потока вблизи положения равновесия
   2. Возникновение этой структуры вдали от равновесия вследствие кооперативного поведения квазичастиц.

   Структура синхронизированного потока является диссипативной. Она возникает вдали от равновесия в нелинейной области.

   Фазовый переход от затора к синхронизированному потоку показан на рисунке 2. В вычислительном эксперименте использовались следующие исходные данные: 150 итераций, v_max=160км/ч, вероятность p=0,9, длина дороги – 100 км.

   

   Рисунок 2 – Фазовые переходы от затора к синхронизированному и свободному потокам

   Выводы

   В работе предложена модель движения в заторе на основе квантовой теории конденсированной среды. Введено понятие квазичастицы - кванта поля взаимодействия машин в потоке: машина – квант автомобильного поля – машина. Предложена модель кооперативного движения квазичастиц и машин в синхронизированном потоке. Переход от затора к плотному потоку моделируется как фазовый переход II рода. При исследовании фазовых состояний транспортного потока используется модель Нагеля–Шрекенберга, реализованная в среде Octave.

   Список использованной литературы

   1. Кленов С. Л. Стохастические математические модели транспортного потока в рамках теории трех фаз. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук. Москва – 2019. – 34 с.
   2. Семенов В. В. Смена парадигмы в теории транспортных потоков. https://b-ok.org/book/3150565/7221c4
   3. Лубашевский И. А., Гусейн-Заде Н. Г., Гарнисов К. Г. Макроскопические фазовые состояния автотранспортного потока в туннелях. https://b-ok.org/book/2980831/71d08c
   4. Farley A. Nagel Schreckenberg model implementation. https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/34956-nagelschreckenberg-model-implementation
   5. Nagel K., Schreckenberg M. A cellular automaton model for freeway traffic. https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00246697/document
   6. Долгушин Д. Ю., Мызникова Т. А. Применение клеточных автоматов к моделированию автотранспортных потоков. – Омск: СибАДИ, 2012. – 112 с.
   7. Брандт Н. Б., Кульбачинский В. А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 632 с.
   8. Хакен Г. Синергетика. – М.: Мир, 1980. – 404 с.