К невосстанавливаемым в процессе эксплуатации системам будем относить такие системы, восстановление которых по каким-либо причинам невозможно непосредственно в рассматриваемый период времени [1]. Под сложной по структуре схемой в данном случае будем понимать такую систему, в состав которой входит хотя бы одна «мостиковая структура» [2].

          Методика оценки надёжности невосстанавливаемых систем, элементы которых могут находиться в двух состояниях: работоспособное и отказавшее (отказ типа «обрыв цепи»), разработаны в полной мере [1,2].

          В тех случаях, когда необходимо повысить надёжность проектируемой системы без изменения надёжности комплектующих её элементов, обычно вводят избыточные (резервные) элементы или группы элементов, либо вносят определённые изменения в схему, что позволяет оптимизировать её структуру.

          Для системы, состоящей из элементов, которые могут находиться в трёх состояниях, введение избыточных элементов с тремя состояниями может не только не увеличить надёжность схемы, но даже значительно её снизить. Всё будет зависеть от соотношения между различными видами отказов, конфигураций схемы и числа резервных элементов.

          Для большинства электротехнических элементов можно выделить предельные случаи возможных внезапных отказов, а именно: обрыв цепи и короткое замыкание. Например, в конденсаторе обрыв проводников, припаянных к обкладкам, уменьшает его ёмкость до нуля (отказ типа «обрыв цепи»), или при увеличении токов утечки больше допустимого значения, происходит пробой конденсатора (отказ типа «короткое замыкание»). Отказы диода можно также разделить на два типа: отказы в диоде, приводящие к обрыву цепи (отказ типа «обрыв цепи») и короткому замыканию в самом диоде (отказ типа «короткое замыкание») и т. д.

          Для релейно-контактных элементов различного вида и бесконтактных реле обрыв и короткое замыкание являются не предельными, а единственно возможными видами неработоспособных состояний [3].

          Элементы с трёмя состояниями можно выделить и в других системах, например: пожарные водопроводы, воздухоподающие трубопроводы, газопроводы, системы охлаждения атомных реакторов и т. д.

          Аналогом элементов с тремя состояниями в таких системах могут быть: краны, вентили различных типов, запорная арматура, заглушки и другие прерыватели потока, для которых в неработоспособном состоянии поток не прерывается («короткое замыкание»), или не передаётся («обрыв цепи»).

          Расчёт надёжности сложных по структуре схем с учётом двух типов отказов позволяет в значительной степени повысить точность расчётов и объяснить механизм и причины появления в исследуемой схеме множественных отказов.

          Под множественным отказом понимается выход из строя нескольких элементов по одной и той же причине [4].

          Дана сложная по структуре схема. Все элементы, которые входят в схему, могут отказывать в процессе эксплуатации независимо друг от друга. Элементы, из которых состоит схема, могут находиться в трёх состояниях: работоспособном и неработоспособном – отказ типа «обрыв цепи» и «короткое замыкание». Эти события несовместные. Потоки отказов типа «обрыв цепи» и «короткое замыкание» простейшие. Пропускная способность элементов неограниченна. Вероятность безотказной работы i-го элемента схемы обозначим через p_i. Обозначим через q_oi – вероятность появления отказа в i-м элементе типа «обрыв цепи», а через q_si – вероятность появления отказов в i-м элементе типа «короткое замыкание». Эти три состояния составляют полную группу событий (p_i+q_si+q_oi=1). Определить вероятность безотказной работы системы в течении времени R(T).

          Поставленную задачу можно решить с использованием понятий многозначной логики или понятий алгебры кортежей [5, 6]. Однако, моделирование на ЭВМ сложных по структуре схем с учётом двух типов отказов с использованием многозначной логики приводит к определённым трудностям при переходе от логической функции работоспособности системы к вероятностной.

          Поставленную задачу можно решить приближённым методом с использованием преобразования «треугольник-звезда», «звезда-треугольник» [7].

          Ввиду того, что отказы типа «обрыв цепи» и «короткое замыкание» события независимые и несовместные, используя принцип перехода от начальной функции работоспособности к вероятностной [8] были усовершенствованы методы расчётов надёжности, основанные на применении алгоритма разложения системы [9].

          Рассмотрим на примере мостиковой структуры (рис.1) формализованный метод формирования функции работоспособности системы (ФРС), предложенный И. А. Рябининым [9], который как нельзя лучше подходит для реализации на ЭВМ.

Таблица 1 – Вероятности отказов элементов мостиковой структуры Элемент qoi qsi X1 0,23 0,21 X2 0,28 0,26 X3 0,34 0,15 X4 0,18 0,19 X5 0,13 0,22

          В таблице 1 приведены вероятности отказов схемы типа «обрыв цепи» (q_oi) и «короткое замыкание» (q_si).

          В соответствии с этим методом в начале необходимо занумеровать на структурной схеме все вершины и элементы. Стрелками обозначены функциональные направления элементов схемы, которые могут быть использованы для передачи потока. Затем следует составить граф переходов, который представляет собой структуру, состоящую из вершин и ориентированных дуг, изображаемых в виде линий между парами вершин и снабжённых стрелками, указывающими направление от одной вершины к другой. Затем составляется матрица переходов (обозначим её C) - алгебраический образ графа переходов. Это квадратная матрица, размерность которой равна количеству вершин. Каждый элемент матрицы C_i,j показывает связь вершины i с вершиной j, т. е. совокупность элементов структурной схемы, через которые возможно пройти от вершины i к вершине j. С другой стороны элемент C_i,j – это ФРС той части структурной схемы, которая расположена в направлении от вершины i к вершине j. Таким образом, диагональные элементы матрицы равны 1 (для того чтобы попасть из какой-либо вершины в эту же вершину вовсе не обязательно функционирование каких-либо элементов). Если же связь между вершинами i и j отсутствует (связь в виде одного элемента схемы), то соответствующий элемент матрицы равен 0. Для приведенной выше мостиковой структуры матрица переходов будет иметь следующий вид:

          Таким образом, элементы матрицы переходов определяют лишь непосредственные связи между вершинами схемы, т. е. связи длинной в один элемент (дугу). Опосредованные связи можно получить, возводя матрицу переходов в n-ю степень, где n – длина дуги. Умножение должно производиться по правилам алгебры логики. Возведём матрицу C в квадрат для выявления всех связей между вершинами длинной в 2 дуги:

          Из расчёта видно, что появляется связь между входом и выходом схемы: C_1,4=x₁x₃Ux₂x₄. Полученная матрица содержит все связи между вершинами длинной в одну и в две дуги. Возведя матрицу C в куб, сможем учесть связи длинной в 3 дуги:

          Глядя на структурную схему, можно сделать вывод, что максимальная длина пути между входом и выходом схемы составляет 3 дуги. Поэтому возведение матрицы переходов в более высокую степень не добавит новых связей между вершинами. При расчётах с помощью ЭВМ это можно использовать для окончания расчёта. Таким образом, ФРС для мостиковой структуры запишется в виде:

          Следует отметить, что полученная ФРС представлена в виде дизъюнкции кратчайших путей успешного функционирования системы.

          Алгоритм разрезания основан на теореме разложения функции работоспособности, согласно которой ФРС путём вынесения какой-либо переменной и её отрицания можно представить в виде:

(1)

          Таким образом, если аргумент x_i функции y является совместной двоичной переменной, то, преобразуя (1), мы переходим к дизъюнкции двух несовместных высказываний, причем в первое высказывание аргумент x_i входит своим утверждением, а во второе – отрицанием x`_i. Функции y₁ и y₀ отличаются от функции y тем, что в них вместо аргумента x_i поставлены соответственно 1 и 0 (в соответствии с этим выбраны и индексы функций y₁ и y₀).

          Выражение (1) иллюстрирует разрезание функции y по одной переменной, в результате одной такой операции получается две новых функции. Однако разложение может быть выполнено по любому количеству переменных, тогда в результате операции разрезания вместо исходной функции получим 2n новых функций, где n – количество переменных, по которым производилось разрезание. В разработанной программе реализованы алгоритмы разрезания по одному и по всем элементам.

          Выбор ведущего элемента (по которому выполняется разрезание) очень прост, необходимо выполнять разрезание по тому элементу, который чаще всего повторяется в исходной ФРС. Алгоритм разрезания состоит из следующих этапов:

1. Подсчитываем число вхождений каждого элемента в уравнение функции y(x₁,x₂,…,x_n): (m₁,m₂,…,m_n).
2. Среди чисел m_i находим максимальное и выполняем разрезание функции по соответствующему элементу.
3. Далее необходимо над вновь полученными функциями выполнить шаг 1. Если для какой-то функции все числа m_i равны 1, то дальнейшее разрезание не имеет смысла, так как эта функция является бесповторной и допускает непосредственный переход к вероятностной характеристике. Если же для какой-то функции найден повторяющийся элемент, то необходимо выполнить разрезание функции по этому элементу (шаг 2).

          Из выражения для ФРС видно, что все элементы входят в функцию по 2 раза, следовательно, можно выполнить разрезания по любому элементу. Выполним разрезание по элементу x₁:

          В результате разрезания получили 2 новые функции y₀ и y₁. В функции y₁ снова все элементы встречаются по 2 раза, поэтому разрежем её по x₂, а в функции y₀ единственный повторяющийся элемент x₂, по которому необходимо выполнить разрезание:

          Получили функции y₁₀ и y₀₁, которые являются бесповторными и y₁₁, которую разрежем по 3-му элементу:

          И наконец, разрежем функцию y₁₁₀ по элементу x₄:

          Теперь все функции стали бесповторными, и ФРС исходной схемы запишется в виде:

          Здесь H₁, H₂, H₃, H₄ – несовместные гипотезы.

          Вероятность безотказной работы системы запишется в виде:
P₀=P₀(H₁)+P₀(H₂)•P₀₄+P₀(H₃)•(1-(1-P₀₄•P₀₅)•Q₀₃)+P₀(H₄)•(1-(1-P₀₃•P₀₅)•Q₀₄);
Где P₀(H₁)=P₀₁•P₀₂•P₀₃; P₀(H₂)=P₀₁•P₀₂•Q₀₃; P₀(H₃)=P₀₁•Q₀₂; P₀(H₄)=Q₀₁•P₀₂;
P₀=P₀₁•P₀₂•P₀₃+P₀₁•P₀₂•Q₀₃•P₀₄+P₀₁•Q₀₂•(1-(1-P₀₄•P₀₅)•Q₀₃)+Q₀₁•P₀₂•(1-(1-P₀₃•P₀₅)•Q₀₄). (2)

          Индекс 0 в формулах означает учёт отказов типа «обрыв цепи». Вероятностную характеристику для учёта отказов типа «короткое замыкание» можно получить из (2), заменив P₀ на Q_S, а Q₀ на P_S:

          Q_S=Q_S1•Q_S2•Q_S3+Q_S1•Q_S2•P_S3•Q_S4+Q_S1•P_S2•(1-(1-Q_S4•Q_S5)•P_S3)+P_S1•Q_S2•(1-(1-Q_S3•Q_S5)•P_S4). (3)

          Показанный приём позволяет учесть два типа отказов («обрыв» и «короткое замыкание»), используя понятия двухзначной логики. Существует также возможность решить искомую задачу с помощью трёхзначной логики, однако в этом случае решение будет более сложное. Отказы типа «обрыв цепи» и «короткое замыкание» - несовместные события, поэтому нет необходимости использовать для решения задачи трёхзначную логику.

          Рассчитаем вероятности согласно (2) и (3) по исходным данным таблицы 1, положив P_0i=1-Q_0i и P_si=1-Q_si:

          Вероятность безотказной работы системы с учётом двух типов отказов: R=P₀-Q_S=0,868-0,09=0,778.

          При разрезании по всем элементам результирующая функция равна 0 или 1 в зависимости от комбинации работоспособных элементов. Необходимо перебрать все возможные состояния системы. Для мостиковой структуры, состоящей из 5-и элементов, таких состояний будет 2⁵=32. В результате такого преобразования получаем функцию перехода к вероятностной характеристике в виде 32 ортогональных слагаемых.

          В таблице 2 приведены результаты расчёта мостиковой структуры методом разложения по всем элементам. В таблице каждый член P_oj (j=1,2..32) представляет произведение соответствующих вероятностей элементов структуры: если текущий элемент работоспособен в текущем состоянии, то его вероятность берётся как 1-q_o, в противном случае – q_o. Аналогично Q_sj (j=1,2..32) представляет собой произведение вероятностей q_s для работоспособных элементов и 1-q_s для неработоспособных элементов.

          Например:
P₀₇=(1-q₀₁) •(1-q₀₂) •q₀₃•q₀₄•(1-q₀₅)=(1-0,23) •(1-0,28) •0,34•0,18•(1-0,13)=0,03;
Q_s7=q_s1•q_s2•(1-q_s3) •(1-q_s4)•q_s5=0,21•0,26•(1-0,15)•(1-0,19)•0,22=0,008.

          Полученные вероятности суммируются для всех состояний, в которых y_j=1.

          Из таблицы 2 получаем: P₀=0,903; Q_S=0,1; R=P₀-Q_S=0,903-0,1=0,803.

          Незначительное отличие результатов по сравнению с методом разложения по одному элементу объясняется тем, что в слагаемых P_0j и Q_Sj было выполнено округление при расчётах.

          Для выше описанных методов составлены алгоритмы, позволяющие рассчитывать с помощью ЭВМ надёжность любой сложной по структуре схемы с учётом двух типов отказов её элементов. В качестве исследуемой структуры выбрана структура (рис. 2) с исходными данными, приведенными в таблице 3.

          Описанным выше методом для заданной сложной структуры была получена функция работоспособности в виде дизъюнкции кратчайших путей успешного функционирования системы. Функция состоит из 60 конъюнкций, приведенных в таблице 4.

          В таблице 5 приведены вероятностные характеристики исследуемой структуры. Разработанная программа позволяет также рассчитывать граничные значения вероятности. При учёте отказов типа «обрыв цепи» оценка по минимальным сечениям даёт нижнюю границу вероятности безотказной работы системы, а оценка по КПУФ – верхнюю; при учёте отказов типа «короткое замыкание» - наоборот. Таким образом, истинное значение вероятности безотказной работы (с учётом двух типов отказов) не превышает граничных вероятностей.

          Вывод: Разработана программа, позволяющая рассчитывать надёжность систем любой сложности с учётом двух типов отказов: «обрыв цепи» и «короткое замыкание».

1. Козлов Б. А., Ушаков Н. А. Справочник по расчёту надёжности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики.- М.: Советское радио, 1975.
2. Рябинин И. А. Основы теории и расчёта надёжности судовых электроэнергетических систем. 2-е изд.-Л.: Судостроение, 1971.
3. Дружинин Г. В. Надёжность автоматизированных систем. Изд. 3-е перераб. и доп. М.: Энергия, 1977.
4. Gangloff W. C. Common Mode Tailure Analysic, IEEE Trans Power Apparatus Systems, 94, 27-30 (Feb. 1975).
5. Кулак Б. А. Логико-вероятностные методы и алгебра кортежей. – В : Теория и информационная техника моделирования безопасности сложных систем. Санкт-Петербург. ПМАРШРАН, Преприпт 124, вып. 1995, вып 5.
6. Диллон Б, Селигх Ч. Инженерные методы обеспечения надёжности систем: Пер. с англ. – М.: Мир, 1984.
7. Ковалёв А. П., Спиваковский А. В. О преобразовании «звезда-треугольник» в расчётах надёжности сложных по структуре схем, элементы которых могут находиться в трёх состояниях. – Электричество, 1998 №10
8. Ковалёв А. П., Спиваковский А. В. Применение логико-вероятностных методов для оценки надёжности структурно-сложных систем. – Электричество, 2000 №9.
9. Рябинин И. А. Черкесов Г. Н. Логико-вероятностные методы исследования надёжности структурно-сложных систем. – М.: Радио и связь, 1981. – 264 с., ил. – (Б-ка инженера по надёжности).

© 2004 Дмитрий Чаплыгин