Недосекин А О Применение теории нечетких множеств к задачам управления финансами

Применение теории нечетких множеств к задачам управления финансами

Недосекин А.О.

(Фрагмент статьи)
( Полная версия статьи)

1.2. Постановка задачи комплексного анализа риска банкротства

1. Пусть заданы два временных интервала I и II, по которым проводится сопоставительный финансовый анализ. Пусть предприятие в каждом из периодов характеризуется набором N финансовых показателей, построенных на основании бухгалтерской отчетности за период. В периоде I это показатели Х₁, … , Х_N со значениями х_I1, …, х_IN, в периоде II — те же показатели со значениями х_II1, …, х_IIN, причем предполагается, что система показателей {X} достаточна для достоверного анализа (для классификации и сопоставления состояний предприятия).

2. Полное множество состояний А предприятия разбито на пять (в общем случае пересекающихся) нечетких подмножеств вида:

А₁ — нечеткое подмножество состояний “предельного неблагополучия (фактического банкротства)”;

А₂ — нечеткое подмножество состояний “неблагополучия”;

А₃ — нечеткое подмножество состояний “среднего качества”;

А₄ — нечеткое подмножество состояний “относительного благополучия”;

А₅ — нечеткое подмножество состояний “предельного благополучия”.

То есть терм-множество лингвистической переменной “Состояние предприятия” состоит из пяти компонентов. Каждому из подмножеств А₁… А₅ соответствуют свои функции принадлежности m ₁(V) … m ₅(V), где V — комплексный показатель финансового состояния предприятия, причем чем выше V, тем “благополучнее” состояние предприятия. Качественный вид функций m _i(V) представлен на рис. 2.

Рис. 2. Качественный вид функции принадлежности

Замечание. В дальнейшем по ходу статьи мы часто будем ссылаться на вид функций принадлежности, поэтому, во избежание изобилия графиков, введем некий математический формализм, позволяющий компактное описание этих функций. Поставим в однозначное соответствие функции принадлежности m (V) нечеткое число

, ( 2)

где и - абсциссы нижнего основания, а и — абсциссы верхнего основания трапеции (рис. 2), задающей m в области с ненулевой принадлежностью носителя V соответствующему нечеткому подмножеству (вся терминология в части нечетких чисел заимствована в [14, 15, 16]). Назовем числа b трапециевидными или, кратко, Т—числами.

Вернемся к комплексному показателю V. Ясно, что он функционально или алгоритмически связан с набором исходных финансовых показателей:

( 3)

но вид неизвестен и подлежит установлению.

3. В отношении каждого показателя известно, как его изменение влияет на изменение V. Например, с ростом доли заемных средств в структуре пассивов коэффициент автономии уменьшается, что ухудшает и комплексный показатель. Это можно обозначить Х_i¯
® V¯ . Если верно это, то справедливо и обратное: Х_i ® V . В функциональной записи:

, ( 4)

где

(5)

(6)

Замечание. В финансовом анализе обыкновением является то, что рост финансового показателя сопровождается улучшением состояния предприятия (= = 1). Однако есть и исключения: например, цена обслуживания обязательств или стоимость рабочей силы. Рост этих показателей сопряжен с ухудшением самочувствия предприятия.

4. В качестве оценки риска банкротства введем лингвистическую переменную “Степень риска банкротства” со значениями {Наивысшая, Высокая, Средняя, Низкая, Незначительная}. Взаимно однозначное соответствие лингвистических переменных “Состояние предприятия” и “Степень риска банкротства” задана табл. 1.

Таблица 1
СООТВЕТСТВИЕ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

“Состояние предприятия” и
“Степень риска банкротства”

Значение переменной “Состояние предприятия”

Значение переменной “Степень риска банкротства”

Предельное неблагополучие

Наивысшая

Неблагополучие

Высокая

Среднее качество

Средняя

Относительное благополучие

Низкая

Предельное благополучие

Незначительная

Тогда задача комплексного анализа может быть сформулирована следующим образом:

1. Определить процедуру (функцию или алгоритм), связывающую набор показателей {X} с комплексным показателем V. Тогда, по мере получения количественных значений V и на основании функций {m } конструируется следующее утверждение: “Текущее состояние предприятия:

предельно благополучно с уровнем соответствия m ₁(V),

относительно благополучно с уровнем соответствия m ₂(V),

среднего качества с уровнем соответствия m ₃(V),

неблагополучно с уровнем соответствия m ₄(V),

предельно неблагополучно с уровнем соответствия m ₍ (V)”.

Это утверждение придает определенный вес каждой из гипотез принадлежности текущего состояния предприятия к одному из нечетких подмножеств {А}. Лицо, принимающее решение в отношении предприятия, может удовлетвориться той гипотезой, для которой значение m (V) максимально, и таким образом для себя качественно оценить состояние фирмы.

2. Определить, улучшилось или ухудшилось положение предприятия за период II по отношению к периоду I. Эта задача решается попутно с предыдущей:

если V_II>V_I , то состояние улучшилось,

если V_II< V_I — то ухудшилось.

Качественно положительная или отрицательная динамика предприятия распознается с анализом изменений значений {m }, переместился ли максимум {m } из подмножества в подмножество, и если да, то в каком направлении.

3. Оценить риск банкротства по значению показателей V_I,V_II и на основании табл. 1. С ростом значения показателя Vриск банкротства снижается, и наоборот.

1.3. Одно из возможных решений задачи комплексного анализа в заявленной постановке

1.3.1. Классификация значений Х_i.

Пусть D(Х_i) — область определения параметра Х_i, несчетное множество точек оси действительных чисел. Определим лингвистическую переменную “Уровень показателя Х_i” с введением пяти нечетких подмножеств множества D(Х_i):

В₁ — нечеткое подмножество “очень низкий уровень показателя Х_i”,

В₂ — нечеткое подмножество “низкий уровень показателя Х_i”,

В₃ — нечеткое подмножество “средний уровень показателя Х_i”,

В₄ — нечеткое подмножество “высокий уровень показателя Х_i”,

В₅ — нечеткое подмножество “очень высокий уровень показателя Х_i”.

Задача описания подмножеств {В} — это задача формирования соответствующих функций принадлежности l _1-5(х_i).

Пример классификации. Коэффициент автономии предприятия рассчитывается по балансу предприятия на отчетную дату и определяется формулой

. ( 7)

Область определения К_а D(К_а) = (0,1). Способ классификации уровня К_а , произведенного ЛПР, представлен табл. 2.

Граничные значения интервалов во второй колонке табл. 2 задают абсциссы трапециевидных Т-чисел g _i(a_1i, a_2i, a_3i, a_4i) ( i = 1, …, 5) вида (2). Например, подмножеству “средний уровень показателя” соответствует Т-число с координатами (0.25, 0.3, 0.45, 0.5).

Таблица 2

КЛАССИФИКАЦИЯ УРОВНЯ ЗНАЧЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТА АВТОНОМИИ

Наименование показателя	Интервал значений	Классификация уровня параметра	Степень оценочной уверенности (функция принадлежности)
К_а	0 £ К_{а £} 0.1	“очень низкий”	1
	0 .1 < К_а< 0.2	“очень низкий”	l ₁ = 10 ´ (0.2 — К_а)
		“низкий”	1— l ₁= l ₂
	0.2 £ К_{а £} 0.25	“низкий”	1
	0.25 < К_а< 0.3	“низкий”	l ₂ = 5 ´ (0.3 — К_а)
		“средний”	1— l ₂= l ₃
	0.3 £ К_{а £} 0.45	“средний”	1
	0.45 < К_а< 0.5	“средний”	l ₃ = 5 ´ (0.5 — К_а)
		“высокий”	1— l ₃= l ₄
	0.5 £ К_{а £} 0.6	“высокий”	1
	0.6 < К_а< 0.7	“высокий”	l ₄ = 10 ´ (0.7 — К_а)
		“очень высокий”	1— l ₄= l ₅
	0.7 £ К_{а £} 1.0	“очень высокий”	1

Выстраивая функции принадлежности {l } (соответствующие им Т-числа {g }), эксперт руководствуется:

а) специфическими особенностями интервала анализа. То, что было типичным для 1994 года, вовсе не является таковым, скажем, для 1998 года. Так, например, в связи с несовпадением уровней инфляции, разнится стоимость обслуживания кредитов и средний вес этой стоимости в структуре текущих затрат; также разнятся оценки типичного соотношения уставного и добавленного капиталов и т.д.;

б) особенностями положения отрасли, к которой относится предприятие. Например, по данным статистики крупных акционерных компаний США и Западной Европы [17], типичным значением коэффициента автономии для текстильной промышленности является 0.40, для банков — 0.09, для ресторанов — 0.66. Указанные значения являются средними и могут быть взяты за основу при построении функций принадлежности {l }. Аналогичная статистика в России пока еще слабо представлена, а за прошедшие годы практически не публиковалась (исключение составляли крупные банки). Это серьезно осложняет работу эксперта и перемещает его внимание из области фактов Е в область интуитивных предположений S, основанных, например, на многолетнем опыте финансового анализа различных компаний;

в) особенностями положения предприятия относительно других предприятий данной отрасли (рыночная ниша, тип стратегии и т.д.). Скажем, предприятие, располагающее широкими каналами сбыта своей продукции, может гораздо увереннее пользоваться привлеченными средствами, и то невысокое значение К_а, которое является вполне приемлемым для этого предприятия, является критичным для предприятия со слабым рынком сбыта.

Таким образом, набор функций l _1-5,i по каждому параметру Х_i , построенный как развернутая экспертная оценка, является эксклюзивной квалификацией предприятия, учитывающей не только специфику собственно бизнеса предприятия, но и его отраслевую принадлежность, а также специфику периода, за который проводится анализ. Переходя от значения К_а к набору {l }, соответствующему данному К_а, мы сглаживаем фактор “сезонности” при оценке параметра и тем самым создаем предпосылки для грамотного сопоставления ситуаций периодов I и II. Этот переход представлен табл. 3.

Таблица 3
ПЕРЕХОД ОТ ЗНАЧЕНИЙ К_А К НАБОРУ {l }

Наименование	Х₁	,,,	Х_N
Период I	х_I1	,,,	х_IN
	l ₁₁^I	,,,	l _1N^I
	l ₂₁^I	,,,	l _2N^I
	l ₃₁^I	,,,	l _3N^I
	l ₄₁^I	,,,	l _4N^I
	l ₅₁^I	,,,	l _5N^I
Период II	х_II1	,,,	х_IIN
	l ₁₁^II	,,,	l _1N^II
	l ₂₁^II	,,,	l _2N^II
	l ₃₁^II	,,,	l _3N^II
	l ₄₁^II	,,,	l _4N^II
	l ₅₁^II	,,,	l _5N^II

1.3.2. Построение функции принадлежности {m } нечетких подмножеств {À}

Анализируя опыт различных квалификаций лингвистической переменной “Состояние”, мы задаемся набором {m }, которому отвечает пятерка нечетких Т—чисел {b } вида (2):

b ₁ = (0.0, 0.0, 0.15, 0,25),

b ₂ = (0.15, 0.25, 0.35, 0,45),

b ₃ = (0.35, 0.45, 0.55, 0,65),

b ₄ = (0.55, 0.65, 0.75, 0,85),

b ₅ = (0.75, 0.85, 1.0, 1,0). ( 8)

Из данного описания следует, что комплексный показатель состояния V должен принимать значения от нуля до единицы.

1.3.3. Оценка значимостей показателей для комплексной оценки

Каждому i-му показателю в отношении каждого к-го уровня состояния предприятия можно сопоставить оценку p_ki значимости данного показателя для распознавания данного уровня состояния предприятия. Например, ряд банков, анализируя кредитоспособность заемщика, присваивает большую значимость показателям финансовой устойчивости и ликвидности, и меньшую — показателям прибыльности и оборачиваемости. В то же время, этот критерий не может считаться приемлемым в отношении приватизированных предприятий, ранее находящихся в собственности государства. Обыкновением для таких предприятий является то, что значительный вес основных средств в структуре активов (здания, сооружения и т.д.) соседствует с низкой рентабельностью или даже убыточностью. То есть построение системы весов p_ik должно проводиться по каждому предприятию строго индивидуально.

Систему оценок значимостей {p} целесообразно пронормировать следующим образом:

( 9)

Тогда, если показатели могут быть проранжированы по убыванию значимости для анализа:

Х_{1 ý} Х_{2 ý} …ý Х_N, ( 10)

то для оценки значимостей может быть использована шкала Фишберна [7, 13]:

р_i = 2 ´ (N - i + 1)/(N ´ (N + 1)), i = 1,…,N,

( 11)

которая соответствует принципу максимума наличной информационной неопределенности о значениях р_i . Если система предпочтений отсутствует, то показатели являются равнозначными, и

р_i = 1/N.

1.3.4. Построение показателя V

Выстроим показатели Х_i по порядку убывания значимости для анализа. Далее мы считаем, что набор функций принадлежности l _1-5,i по каждому показателю Х_i построен. Этому набору отвечает система Т-чисел {g }. Получим промежуточные коэффициенты:

, , ( 12)

где d _iимеет вид (6), а p_ik^I,II строится по схеме (11).

Оптимальным способом построения V является его согласование с выбранной системой чисел {b }. Это предполагает поиск V в нечеткой форме:

, ( 13)

где знак “” выражает операцию умножения действительного числа на нечеткое число.

Замечание. Операции с нечеткими числами подробно описаны в [6, 16]. Отметим для целей настоящей работы, что линейная комбинация Т-чисел есть Т-число. Операция сложения Т-чисел, таким образом, представима совокупностью операций стандартного покомпонентного сложения действительных чисел.

Переход от нечеткого числа V к действительному виду, пригодному для использования ЛПР, можно осуществить следующим образом, используя (10):

V&M = (v₂ + v₃)/2. ( 14)

1.3.5. Распознавание текущего состояния предприятия

Вариант 1. Принадлежность Т-числа V одному из нечетких подмножеств {A} состояний фирмы определяется с использованием формул пересечения и объединения нечетких подмножеств. Тогда степень принадлежности состояния предприятия одному из состояний А_к определяется по формуле:

, ( 15)

где площади определяются как соответствующие площади, ограниченные трапециевидными кривыми функций принадлежности.

Таблица 4

ПРАВИЛО РАСПОЗНАВАНИЯ ФИНАНСОВОГО СОСТОЯНИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ

Наименование показателя	Интервал значений	Классификация уровня параметра	Степень оценочной уверенности (функция принадлежности)
V&M	0 £ V&M_£ 0.15	“предельное неблагополучие”	1
	0 .15 < V&M< 0.25	“предельное неблагополучие”	m ₁ = 10 ´ (0.25 — V&M)
		“неблагополучие”	1— m ₁ = m ₂
	0.25 £ V&M £ 0.35	“неблагополучие”	1
	0.35 < V&M< 0.45	“неблагополучие”	m ₂ = 10 ´ (0.45 — V&M)
		“среднего качества”	1— m ₂ = m ₃
	0.45 £ V&M £ 0.55	“среднего качества”	1
	0.55< V&M< 0.65	“среднего качества”	m ₃ = 10 ´ (0.65 — V&M)
		“относительное благополучие”	1— m ₃ = m ₄
	0.65 £ V&M_£ 0.75	“относительное благополучие”	1
	0.75 < V&M< 0.85	“относительное благополучие”	m ₄ = 10 ´ (0.85 — V&M)
		“предельное благополучие”	1— m ₄ = m ₅
	0.85 £ V&M_£ 1.0	“предельное благополучие”	1

Вариант 2. Приближенный способ распознавания, более удобный в расчетах, есть попросту определение функций m _к(V&M) по виду чисел {b } (8), где V&M определяется (14). Если полученное в ходе анализа значение m _к(V&M) > 0, к=1,…,5, то считаем, что состояние предприятия описывается лингвистическим значением подмножества А_к с уровнем соответствия m _к(V&M). В прочих случаях принадлежности V&M другим подмножествам А_к нет. Вообще говоря, при нашем выборе системы {m } принадлежность возможна не более чем двум пересекающимся подмножествам.

И тогда, с учетом (8), (13) и (14):

V&M = 0.075 ´ Y₁ + 0.3 ´ Y₂ + 0.5 ´ Y₃ + 0.7 ´ Y₄ + 0.925 ´ Y₅ ( 16)

Правило для распознавания состояния предприятия, построенное на основе (8), имеет вид табл. 4. В соответствии с результатом распознавания по табл. 1 оценивается степень риска банкротства предприятия.

На этом изложение V&M—метода анализа риска банкротства завершено.

Литература

6. Кофман А., Хил Алуха Х. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями, Минск: Вышэйшая школа, 1992.

14. Борисов А.Н. и др. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной, Рига: Зинатне, 1982.

15. Борисов А.Н. и др. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. Рига: Зинатне, 1990.

16. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. М.: Диалог—МГУ, 1998.

17. Финансовый менеджмент. М.: Carana Corporation —USAID, 1998.

В начало

Значение переменной “Состояние предприятия”	Значение переменной “Степень риска банкротства”
Предельное неблагополучие	Наивысшая
Неблагополучие	Высокая
Среднее качество	Средняя
Относительное благополучие	Низкая
Предельное благополучие	Незначительная