Трибрат
Артем
Александрович

Факультет КИТА
Группа КСД 00а
Научный руководитель: Адамов В.Г.
Тема магистрской работы: "Построение автоматизированной системы определения контура объекта на примере изображения клеток"

Содержание

Рассмотрим альтернативное представление уравнения развития Эйлера. Функция snake, минимизирующая энергию, должна удовлетворять уравнению

(4.6)

Это можно рассматривать как уравнение силового баланса

(4.7)

где  , а . Внутренняя сила  предотвращает протяжение и изгиб в то время как внешняя сила  тянет snake к желательным границам изображения. Эта модель уравнения является подходящей для теоретического изучения.

1. Оригинальное силовое поле.

В оригинальной работе Kass энергия изображения была определена как:

(4.8)

Для изображений, которые содержат объекты, нарисованные линиями, потенциальная энергия показана на рис 4.1., а векторное поле градиентов объектов показано на рис. 4.2.

Рис. 4.1. Эллипс и его потенциальная энергия.

Рис.4.2. Силовое поле изображения рис. 4.1.

Видно, что силовое поле  направлено к границам объекта вне объекта и от границы внутри объекта. Контур, стянутый таким силовым полем, не остановится на границе, а продолжит движение к центру объекта. Поэтому необходимо рассчитать  карту границ такого изображения и использовать ее как энергию изображения.

(4.9)

Из диапазона векторного градиентного поля видно, что кривая не может достигнуть объекта, если не помещена около него. Увеличения диапазона захвата области можно достичь, разгладив границы. Улучшенную энергетическую модель можно представить как

(4.10)

где  – двумерная функция Гаусса со стандартным отклонением . Нетрудно заметить, что большее отклонение  заставит границы становиться расплывчатыми, но это имеет как положительные, так и отрицательные эффекты: диапазон увеличится, но локализация границы станет менее точной и отличной.

Временная и пространственная дискретизация может вызвать некоторые дополнительные проблемы в этой энергетической модели изображения. Даже при том, что начальное приближение может быть близко к границе, неустойчивость может возникать при дискретизации. Если временной шаг дискретизации велик, кривая может двигаться слишком далеко поперек желательной границы и не возвратиться. Этой проблемы можно избежать, вручную настраивая шаг дискретизации, но это не практично в масштабных приложениях и это не решает все проблемы. Если выбрать шаг дискретизации достаточно маленьким, например не большим чем размера пикселя, то проблемы можно избежать, но только очень немного точек с высоким градиентом привлекут кривую, а низкие значения силового поля изображения не сильно будут влиять на поведение кривой.

2. «Расширяющееся» силовое поле.

Улучшенная модель была предложена Коэном [12]. Вместо того, чтобы действовать на шаг дискретизации, он изменил силовое поле , нормализовав его. Он предложил вычислять , где шаг дискретизации и коэффициент  зависят от размера пикселя. Таким образом, когда точка кривой находится близко к точке границы, величина    стремится к границе и стабилизирует там. Таким образом, низкие и большие величины градиентов имеют одинаковое влияние на кривую.

Часто из-за шума некоторые изолированные точки – максимумы  градиента – могут остановить движение кривой.

Чтобы решить проблемы, упомянутые в предыдущем разделе, Коэн ввел другую силу, которая делает поведение контура более динамичным. Кривую рассматривают как раздувающийся воздушный шар (в 2D). К предыдущим силам добавляется сила давления снаружи. Сила имеет вид:

(4.11)

где  – единичный нормальный вектор к кривой в точке ,   – амплитуда силы. Теперь, кривая расширяется, привлекаясь и останавливаясь границами, как прежде, но так как есть сила давления, если край слишком слаб, кривая может пройти через этот край. Если кривая сталкивается с изолированной точкой, она имеет тенденцию создавать неоднородность в этой точке. Сглаживание удаляет неоднородности и проходы кривой через границу.

3. Силовое поле потока векторов градиента.

Модель энергии, предложенная Коэном, решила не все проблемы оригинальной модели. Если объект сегментации имеет вогнутость, ни одна из предварительно предложенных моделей не может втянуть snake в вогнутость.

Хотя силы изображения правильно указывают точку границы объекта, область действия силового поля невелика. Поэтому, кривая "разделена", но не направлена к продвижению в вогнутость. Проблема не решается моделью Коэна, так как она только изменяет величину но не область действия силы.

Ксу предложил новую силу для решения проблемы. Основная математическая предпосылка для этой новой силы вытекает из теоремы Гермольдца, которая гласит, что

общая статическое векторное поле может быть разделено на два компонента: безвихревой и соленоидальный компоненты. Первоначальная потенциальная сила становится безвихревой областью, так как это - градиент скалярной потенциальной функции.

Ксу предложил создать более общее поле, принимая возможность того, что оно включает безвихревой и соленоидальный компонент. Было разработано новое поле сил, которое имело оба желательных свойства,  большой диапазон действия и присутствие сил, указывающих в граничные вогнутости. В оригинале уравнения развития

(4.12)

силовое поле изображения  заменено новым полем, так называемым градиентом потока векторной области , то есть

(4.13)

где  – векторное поле, минимизирующее энергетический функционал

(4.14)

где  коэффициенты с рекомендуемым значением 0.2,  – карта границ, определяемая как  или  для серых изображений.

Видно, что при малых значениях  энергия преимущественно зависит от суммы квадратов частных производных векторной области, приводя к медленно-изменяющемуся полю. При больших значениях  в подынтегральным выражении доминирует второй член суммы, минимизированный значением . Это производит желательный эффект сдерживания  приблизительно равном градиенту карты границ, когда ее значения велики, но принуждает поле медленно изменяться в гомогенных областях. Параметр  – это параметр регуляризации, влияющий на соотношение между первым и вторым членом в подынтегральном выражении.

Желательное векторное поле рассчитывается по энергетическому функционалу, используя исчисление изменения, о котором будет сказано ниже. Новое силовое поле показано на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Силовое поле.