Алгоритм Дейкстры

Источник:
  http://algolist.manual.ru/maths/graphs/shortpath/dijkstra.php

Известнo, что все цены неотрицательны. Найти наименьшую стоимость проезда 1->i для всех i=1..n за время O(n²).

В процессе работы алгоритма некоторые города будут выделенными (в начале - только город 1, в конце - все). При этом:

- для каждого выделенного города i хранится наименьшая стоимость пути 1->i; при этом известно, что минимум достигается на пути, проходящем только через выделенные города;

- для каждого невыделенного города i хранится наименьшая стоимость пути 1->i, в котором в качестве промежуточных используются только выделенные города.

Множество выделенных городов расширяется на основании следующего замечания: если среди всех невыделенных городов взять тот, для которого хранимое число минимально, то это число является истинной наименьшей стоимостью. В самом деле, пусть есть более короткий путь. Рассмотрим первый невыделенный город на этом пути - уже до него путь длиннее! (Здесь существенна неотрицательность цен.)

Добавив выбранный город к выделенным, мы должны скорректировать информацию, хранимую для невыделенных городов. При этом достаточно учесть лишь пути, в которых новый город является последним пунктом пересадки, а это легко сделать, так как минимальную стоимость проезда в новый город мы уже знаем.

При самом бесхитростном способе хранения множества выделенных городов (в булевском векторе) добавление одного города к числу выделенных требует времени O(n).

Схема алгоритма Дейкстры

Алгоритм использует три массива из N (= числу вершин сети) чисел каждый. Первый массив S содержит метки с двумя значения: 0 (вершина еще не рассмотрена) и 1 (вершина уже рассмотрена); второй массив B содержит расстояния - текущие кратчайшие рас- стояния от до соответствующей вершины; третий массив с содержит номера вершин - k-й элемент С[k] есть номер предпоследней вершины на текущем кратчайшем пути из Vi в Vk. Матрица расстояний A[i,k] задает длины дуге A[i,k]; если такой дуги нет, то A[i,k] присваивается большое число Б, равное "машинной бесконечности".

1. (инициализация). В цикле от 1 до N заполнить нулями массив S; заполнить числом i массив C; перенести i-ю строку матрицы A в массив B, S[i]:=1; C[i]:=0 (i - номер стартовой вершины)
   
2. (общий шаг). Hайти минимум среди неотмеченных (т. е. тех k, для которых S[k]=0); пусть минимум достигается на индексе j, т. е. B[j]<=B[k] Затем выполняются следующие операции:
   S[j]:=1;
   если B[k] > B[j]+A[j,k], то (B[k]:=B[j]+A[j,k]; C[k]:=j)
   (Условие означает, что путь Vi ... Vk длиннее, чем путь Vi...Vj Vk). (Если все S[k] отмечены, то длина пути от Vi до Vk равна B[k]. Теперь надо) перечислить вершины, входящие в кратчайший путь).
   
3. (выдача ответа). (Путь от Vi до Vk выдается в обратном порядке следующей процедурой:
   3.1. z:=C[k];
   3.2. Выдать z;
   3.3. z:=C[z]. Если z = О, то конец,
   иначе перейти к 3.2.

Для выполнения алгоритма нужно N раз просмотреть массив B из N элементов, т. е. алгоритм Дейкстры имеет квадратичную сложность: O(n2).

При отыскании кратчайшего пути имеет естественную интерпретацию в терминах матриц. Пусть A - матрица цен одной аваиакомпании, а B - матрица цен другой. (Мы считаем, что диагональные элементы матриц равны 0.) Пусть мы хотим лететь с одной пересадкой, причем сначала самолетом компании A, а затем - компании B. Сколько нам придется заплатить, чтобы попасть из города i в город j?

Можно доказать, что эта матрица вычисляется по обычной формуле для произведения матриц, только вместо суммы надо брать минимум, а вместо умножения - сумму.

Обычное (не модифицированное) умножение матриц тоже может оказаться полезным, только матрицы должны быть другие. Пусть есть не все рейсы (как в следующем разделе), а только некоторые, a[i,j] равно 1, если рейс есть, и 0, если рейса нет. Возведем матрицу a (обычным образом) в степень k и посмотрим на ее i-j-ый элемент.

Он равен числу различных способов попасть из i в j за k рейсов.

Случай, когда есть не все рейсы, можно свести к исходному, введя фиктивные рейсы с бесконечно большой (или достаточно большой) стоимостью.