Актуальность проблемы. В результате аварии на атомной электростанции может погибнуть больше людей, чем при взрыве атомной бомбы. Последствия в финансовом отношении могут также быть катастрофическими. Авария в 1986 г. На Чернобыльской атомной электростанции стоила бывшему Советскому Союзу в три с лишним раза больше, чем суммарный экономический эффект, накопленный в результате работы всех советских АЭС, эксплуатировавшихся в 1954-1990 гг.

         Известно, что 28 марта 1979 г. в 4 часа утра по местному времени на американской АЭС «Три-Майл-Айленд» на реакторе PWR (легководяной реактор с водой под давлением) мощностью 885 МВт энергоблока №2 произошла авария. В результате аварии была расплавлена верхняя часть активной зоны реактора, после чего восстановление его стало нецелесообразно. Общий ущерб от аварии составил 1,86 млрд. долл. [2].

         В Украине в настоящее время работает 13 энергоблоков с реакторами типа ВВЭР установленной мощностью 11,8 ГВт. Большинство блоков ВВЭР находятся в эксплуатации более 15 лет (проектный срок службы -30 лет). Значительная часть электротехнического и теплотехнического оборудования АЭС (2000 - 5000 единиц) требует замен вследствие того, что истекает срок их эксплуатации [3]. Четвертый блок Чернобыльской АЭС был введен в строй в 1983 году, а катастрофа на ней произошла в 1986 г., т.е. практически на новой станции.

         Возникает законный вопрос, а возможен ли аналогичный взрыв и на других АЭС Украины, проработавших более половины своего проектного срока? Какова вероятность проявления крупных аварий на действующих АЭС? Какова вероятность того, что произойдет авария на АЭС и радиоактивное облако пройдет над Европой? На все эти вопросы пока нет ответов.

         Известные нам в настоящее время методики [4-7] не позволяют с достаточной для практических целей степенью точности оценивать вероятность появления катастроф на АЭС, а это в свою очередь не дает возможности обоснованно использовать существующие и разрабатывать новые технические и организационные мероприятия, позволяющие снижать частоту появления аварий до нормируемого уровня.

         Дальнейшая разработка математических моделей и методик оценки процесса формирования аварий, например, расплавление активной зоны реактора на АЭС, которые позволяют установить зависимости вероятности появления аварии от времени эксплуатации станции, состояния эксплуатирующего оборудования, окружающей его среды (людей), надежности средств защиты (реагирующие на аварийные изменения электрических и технологических параметров объекта) и сроки их профилактики, является весьма актуальной научной задачей.

         Поэтому работы, связанные с разработкой математических моделей и совершенствования существующих методик, которые позволяют прогнозировать уровень безопасности АЭС, а также разработка организационных и технических мероприятий, что позволяет обеспечивать нормируемый международными нормами уровень безопасности с минимальными затратами являются весьма актуальными.

         Цель работы. Используя понятия Марковских случайных процессов с дискретным числом состояний и непрерывным временем оценить вероятность расплавления активной зоны реактора в течение года F1(t), определить среднее время до аварии и дисперсию при условии, что в начальный момент времени все системы обеспечения безопасности АЭС находились в работоспособном состоянии.

         Для достижения поставленной цели необходимо:

         1. Изучение принципа построения защит, которые обеспечивают безопасность на АЭС;

         2. Изучение принципа действия защит, препятствующих процессу расплавления активной зоны реактора;

         3. Изучение возможных сценариев появления аварий на АЭС, сопровождающихся разрушением активной зоны реактора;

         4. Разработка математической модели процесса формирования аварии с расплавлением активной зоны реактора;

         5. Пример расчетов вероятности расплавления активной зоны реактора.

         Научное значение работы. Разработанная в магистерской работе математическая модель позволяет установить аналитические связи между вероятностью возникновения аварии на АЭС от состояния оборудования средств защиты, сроков их профилактики, а также учитывать ошибки человека при эксплуатации станции.

         Практическое значение работы. Предлагаемая в магистерской работе методика позволит:

         - оценить вероятность расплавления активной зоны реактора в течение года и сравнить ее с нормируемым уровнем;

         - определить среднее время до аварии и дисперсию времени до первой аварии;

         - задавать нормы надежности (заводам-изготовителям) на средства защиты и оптимальные с точки зрения безопасности сроки их профилактического контроля, при которых обеспечивается нормируемый уровень безопасности на АЭС ( год), где t = 1 год.

         Результаты исследований. По мере совершенствования систем управления атомными реакторами переход на новую элементную базу (микропроцессоры, управляемые компьютеры), увеличивается надежность этих систем, однако число отказов в системе растет в связи с увеличением числа ошибок человека - оператора. Согласно работе [8], ошибка оператора – это любое конкретное действие человека в процессе его деятельности, которое выходит за некоторые допустимые границы, т. е. превышает допуск, границы которого определены режимами работы системы. Это неадекватное восприятие информации, неверные решения, неточные команды или неправильные действия персонала, инициирующие события, ведущие к отклонениям от режима нормальной эксплуатации. Ошибка человека определяется как невыполнение поставленной задачи (или выполнение запрещенного действия), которое может явиться причиной повреждения оборудования или имущества либо нарушения нормального хода запланированных операций.

         Существуют также умышленные ошибки – это когда человек выполняет неправильно порученную ему работу, расценивая ее как правильно выполненную. Случаи вредительства, влекущие за собой аварии или катастрофы, в данном контексте не рассматриваются как ошибки.

         Можно утверждать, что там, где работает человек, появляются ошибки. Они возникают независимо от уровня подготовки, квалификации или опыта. Поэтому прогнозирование надежности оборудования без учета надежности работы человека не может дать истинной картины.

         Ошибки по вине человека могут возникнуть в тех случаях, когда:

         - оператор или какое-либо лицо стремится к достижению ошибочной цели;

         - поставленная цель не может быть достигнута из-за неправильных действий оператора;

         - оператор бездействует в тот момент, когда его участие необходимо.

         Не все ошибки человека ведут к авариям в системе. Ошибка может быть исправлена прежде, чем окажет нежелательное воздействие на систему. Это возможно в том случае, если, например, работу оператора непрерывно или через определенное время контролирует другой оператор. Либо сама система способна устранить ошибку, допущенную человеком. Следовательно, ошибку человека можно характеризовать частотой ее появления и длительностью существования.

         В работе [9] надежность человека определена следующим образом: «Вероятность, что работа или задача будет успешно выполнена персоналом на любом требуемом уровне работы системы в течение требуемого промежутка времени (если имеется ограничение по времени)». Надежность работы человека определяется как вероятность успешного выполнения им работы или поставленной задачи на заданном этапе функционирования системы в течение заданного интервала времени при определенных требованиях к продолжительности выполнения работы.

         В данной работе под надежностью человека будем понимать это вероятность того, что в течение времени t человек не совершит ни одной ошибки.

         Пусть интервалы времени между появлениями ошибок человека и длительность ошибки не противоречат экспоненциальной функции распределения вероятностей, тогда вероятность того, что человек допустит ошибку в течение времени t определим следующим образом:

,          (1)

         где - параметр потока ошибок человека;

               n - число ошибок человека;

                - период наблюдения.

         Функция распределения длительности ошибки:

,          (2)

         где - параметр потока ошибок человека;

                - длительность существования ошибки человека;

               m - число интервалов времени, характеризующих длительность ошибок.

         На кафедре ЭПГ разработана методика, которая позволяет для любого человека определить и µ.

         Под риском (в данном случае при эксплуатации АЭС) будем понимать вероятность наступления в течение времени t = 1год такого случайного события, при котором происходит расплавление его активной зоны. Риск может быть измерен числом аварий (катастроф) в течение времени (Н, 1/год) или вероятности появления аварии F(t) в течение времени t.

         Согласно рекомендациям МАГАТЭ приемлемый риск широкомасштабного загрязнения радионуклидами окружающей среды в результате аварии на АЭС или на другой ядерной установке не должен превышать вероятность в течение года. Во Франции риск, связанный с эксплуатацией реактора АЭС, признается приемлемым только после того, как будет доказано, что вероятность аварии на нем в течение года не превосходит значения или 1/год.

         Физический смысл величины можно объяснить следующим образом. Если под наблюдением в течение времени t=1 год будет находиться N=10 000 000 однотипных атомных реакторов, то статистически допускается одна авария (катастрофа) (n=1) в течение года на одном из атомных реакторов, находящихся под наблюдением, т.е.

 1/год.

         Задача по обеспечению безопасности АЭС состоит в том, чтобы определить, на каком уровне безопасности работает конкретная атомная электростанция. Определить этот уровень, и если он не будет соответствовать нормируемому, то своевременно с минимальными затратами принять меры по его обеспечению.

         Для решения такого типа задач целесообразно использовать Марковские случайные процессы с дискретным числом состояний и непрерывным временем.

         При составлении математической модели, описывающей процесс возникновения аварии на АЭС, принимаем ряд допущений и положений:

         - отказавшее состояние аварийной системы охлаждения, запорной арматуры и различных средств защиты, которые находятся в «ждущем режиме», обнаруживается только в результате профилактических проверок, либо после изучения причины аварии, экспертами обнаруживается отказавшее состояние средств защиты;

         - проверки систем защит, находящихся в «ждущем режиме», абсолютно надежны;

         - после каждого отказа рассматриваемых систем их отказавшее состояние обнаруживается, и работоспособное состояние полностью восстанавливается, (система работает как новая);

         - человек при эксплуатации принимает неправильные решения (отказывает) в результате повреждений регистрирующих на пульте управления приборов, по показаниям которых оператор принимает решение.

         Анализ причин, которые привели к аварии на АЭС «Три-Майл-Айленд» [2,10], позволил представить расплавление активной зоны реактора как совпадения в пространстве и времени следующих пяти случайных событий:

         - аварийное отключение питательных насосов;

         - отказ во включении аварийной системы охлаждения активной зоны;

         - отказ разгрузочного клапана компенсатора объема в открытом положении;

         - отказ насосов высокого давления;

         - отказ насосов первого контура.

         Обозначим через k=5 число систем, участвующих в формировании аварии, связанной с расплавлением активной зоны реактора на АЭС.

         Процесс изменения состояния каждой из k рассматриваемых систем с течением времени t обозначим через , . Предположим, что принимает два значения: 0, если k-я система находится в работоспособном состоянии, и 1, если в отказавшем. Что касается статистической природы этих функций, то предположим, что вероятность переходов из работоспособного состояния в неработоспособное за промежуток времени равна , где означает, что вероятность появления более одного отказа в интервале является величиной высшего порядка малости по сравнению с . Вероятность переходов из неработоспособного состояния в работоспособное за время равна и не зависит от предшествующего течения процесса .

         Величины и являются параметрами рассматриваемых процессов. Принятые допущения означают, что можно рассматривать как процесс Маркова с двумя состояниями 0 (работоспособное) и 1 (неработоспособное) [11].

         Рассмотрим совокупность процессов как один процесс Маркова с 32 дискретными состояниями и непрерывным временем. Авария на АЭС с расплавлением активной зоны реактора произойдет в момент встречи процесса в состоянии 1, т.е. когда , , , , .

         Выразим вероятность нахождения системы в каждом из 32 возможных состояний через параметры известных процессов , , , , .

         Поведение во времени такой системы полностью определяется матрицей интенсивностей переходов Р, которая для данной задачи примет вид [12]:

                 ,(3)

         где

                .   (4)

         Матрицы и отличаются между собой только элементами главной диагонали.

         В матрице (3): ; ; ,

   где , - средний интервал времени между отказами питательных насосов и средняя длительность нахождения питательных насосов в отказавшем (нерабочем) состоянии;

         , - средний интервал времени между отказами во включении аварийной системы охлаждения и средняя длительность нахождения аварийной системы охлаждения в отказавшем состоянии;

         , - средний интервал времени между отказами (заклинивание в открытом положении) разгрузочного канала компенсатора объема и средняя длительность нахождения его в отказавшем состоянии;

         , - средний интервал времени между ошибочными отключениями (или выходов из строя) насосов высокого давления и средняя длительность нахождения насосов высокого давления в отключенном (отказавшем) состоянии;

         , - средний интервал времени между ошибочными отключениями (или выходом из строя) насосов первого контура и средняя длительность нахождения их в отключенном (отказавшем) состоянии.

         Вероятность нахождения рассматриваемой системы в каждом из 32 возможных состояний можно найти из решения системы линейных дифференциальных уравнений, записанных в матричном виде:

,          (5)

         где - вектор-строка;

              , где I – единичная матрица; Р - матрица интенсивностей переходов (1).

         Система линейных дифференциальных уравнений (5) должна решаться при начальных условиях:

         P1(0) = 1, P2(0) = P3(0) = P4(0) = P5(0) = P6(0) = P7(0) = P8(0) = 0,…, P32(0) = 0

         численным методом с помощью ЭВМ [13]. Вероятность нахождения всех пяти процессов в состоянии (1,1,1,1,1) и будет равна вероятности расплавления активной зоны реактора, т.е.:

.          (6)

         Значение среднего времени до расплавления активной зоны реактора , если в начальный момент времени все k рассматриваемые системы находились в работоспособном состоянии, находим из следующей системы уравнений, записанной в матричном виде:

,          (7)

         где - фундаментальная матрица;

               Q – матрица, полученная из матрицы интенсивностей переходов (1) за исключением из нее поглощающего состояния (последней строки и последнего столбца);

                – вектор-столбец, у которого все элементы равны единице;

                - вектор-столбец.

         Дисперсия времени до первой аварии, сопровождающейся расплавлением активной зоны реактора, можно определить, пользуясь общей системой уравнений [14]:

,          (8)

         где и - векторы-столбцы.

         Для систем, находящихся в «ждущем режиме» (средства защиты, управление запорной арматурой и т.д.), для которых заданы интервалы времени между профилактиками ?і , параметр потоков обнаружения и устранения выявленного отказа µі можно находить используя формулу [15]:

,          (9)

         При выполнении условия (свойство экспоненциального распределения), вероятность расплавления активной зоны реактора можно определить из выражения:

.          (10)

         В том случае если:

, и ,          (11)

         тогда используя (3), (4), (7), находим .

,          (12)

         где .

         Пример. Определить вероятность расплавления активной зоны реактора в течение года при совпадении в пространстве и времени следующих случайных событий: произошло аварийное отключение питательных насосов; отказала во включении аварийная система охлаждения активной зоны реактора; отказал разгрузочный клапан на компенсаторе объема в открытом состоянии; отказали (отключились) насосы высокого давления; отказали (отключились) циркуляционные насосы первого контура.

         Сравнить полученный результат с нормируемой величиной .

         Дано: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

         Решение. Ввиду того, что в нашем случае соблюдается условие (11), т.е. i<<µi, следует воспользоваться формулами (6), (10) и (12). Тогда получим:

.          

         Сравнение полученного результата с нормой показало, что в данном случае риск расплавления активной зоны реактора в течение года выше нормируемого в 4,85 раза.

Выводы.