Дослідження способів обробки звуку. Вейвлет-перетворення
Автореферат з магістерської роботи
Автор - Майдан В.В.
Вступна частина
Тема вейвлетів є дуже широкою для досліджень узагалі. Серед людей, що працюють насамперед над обробкою графічної та відео документації, застосування вейвлетів є дуже поширеною практикою. Зараз коло неї існує навіть певний ажіотаж. І це лише в широкій сфері користування.Вейвлет (wavelet, вейвлет-перетворення, хвилі, хвильові перетворення). Всі вейвлет-перетворення розглядають функцію (взяту як функцією від часу) у термінах коливань, локалізованих за часом (простором) і частотою. Локальність у просторі означає, що енерґія хвиль (вейвлетів) сконцентрована на окремому інтервалі, так звана функція на компактному носії. Частотна локалізація означає, що перетворення Фур’є хвилі локалізоване. Частотна локалізація функції зводиться до понять гладкості та кількості зникаючих моментів. Вейвлет-перетворення звичайно поділяють на дискретне (DWT) та безперервне (CWT).
Дискретне вейвлет-перетворення (DWT) звичайно використовується для кодування сиґналів, тоді як CWT - для аналізу сиґналів. Саме тому DWT широко застосовується в інженерній справі й комп'ютерних науках, а CWT - у наукових дослідженнях фізичних процесів. Вейвлет-перетворення в даний час взяті на озброєння для величезної кількості різнопланових застосувань, нерідко заміняючи звичайне перетворення Фур'є в багатьох прикладних задачах. Ця зміна парадигми спостерігається в багатьох областях фізики, включаючи молекулярну динаміку, астрофізику, квантову механіку, геофізику, оптику, механіку рідини, та в багатьох інших областях, включаючи обробку зображень, аналіз кров'яного тиску, пульсу та ЕКГ, аналіз ДНК, дослідження білків, вивчення клімату, загальну обробку сиґналів, розпізнавання мови, комп'ютерну графіку й мультифрактальний аналіз. Таке широке використання вейвлет-перетворень забезпечується можливістю побудувати на їх основі методи, що потребуватимуть мінімум операцій, на противагу методів Фур'є- перетворень.
Основна мета й окремі завдання роботи
Таке, хоч і стисле, але доволі детальне пояснення вейвлетї-перетворень пояснюється тим, що головним завданням у цій роботі я вважаю якнайдетальніший та якомога простіший аналіз та опис самого процесу вейвлет-перетворення. На основі зібраної інформації в перспективі – побудування навчально-пізнвальної програми з вейвлет-перетворень для найпростішого та найбільш економного за часом оволодіння знаннями з даної теми.Потенційна наукова новизна
Принципово не нова ідея створення навчальної програми для вевлет-перетворення як такого є перспективною в разі найбільш детального вивчення та аналізу теми. Окрім того, паралельні дослідження підтем даної роботи, пов’язаних із практичним застосуванням вейвлетів, такі як наприклад дослідження нового графічного стандарту JPEG2000, що за своїм потенціалом має в майбутньому зайняти місце існуючого стандарту JPEG, потенційно мають велику наукову цінність.Очікувана практична цінність
Створення такої системи дистанційного навчання вейвлет-перетворенням, що могла б перевершити за своєю ефективністю існуючі системи, є дуже серйозним завданням, особливо беручи до уваги сильну обмеженість у часі, необхідному для детальних досліджень. Але в разі незавершеності й недосконалості системи залишається можливість її допрацювання, що є звичайною практикою, тим більше в таких широких для дослідження темах, як вейвлет. Тому дана тема в будь-якому разі залишається доволі перспективною.Огляд існуючих досліджень
Нижче приведені останні дослідження з питань безперервного вевлет-перетворення(CWT).Будь-яка закономірність, що описує певний процес, обмежена як в часі, так і за величиною. З курсу математичного аналізу відомо, що така закономірність може бути представлена в вигляді суми гармонійних коливань різної частоти та інтенсивності (амплітуди).
Гармонійні складові збільшення значення довільного процесу
При цьому коливання, що мають низьку частоту, відповідають за повільні, плавні, великомасштабні зміни описуваної величини, а високочастотні - за короткі, дрібномасштабні зміни. Чим сильніше змінюється описувана даною закономірністю величина на даному масштабі, тим більшу амплітуду мають складові на відповідній частоті. Таким чином, будь-який процес можна розглядати як в тимчасовій області (тобто розвиток процесу в часі), так і в частотній області (тобто в плані масштабу змін досліджуваної величини). Говорять також про поведінку процесу в частотно-часовій області - тобто про закономірність, що описує процес в залежності як від часу, так і від частоти (масштабу змін).
Вейвлетом називається певна функція (закономірність), добре локалізована (тобто зосереджена в невеликій області певної точки, і така, що різко зменшується до нуля в міру віддалення від неї) як в тимчасовій, так і в частотній області. Відзначимо, що вейвлет - це не якась конкретна математична залежність або формула, а будь-який об'єкт або процес, що володіє вказаними особливостями. Існують вейвлети, що мають найрізноманітніші властивості й такі, що підходять для вирішення широкого спектру задач.
Вейвлети Хаара й Гауса
До вейвлета можна застосувати дві операції:
• зсув, тобто переміщення області його локалізації в часі;
• масштабування (розтягування або стиснення), тобто переміщення області його локалізації за частотою.
Зрушення й масштабування вейвлету
Використання цих операцій, з урахуванням властивості локальності вейвлета в частотно-часовій області, дозволяє аналізувати дані на різних масштабах і точно визначати положення їхніх характерних особливостей в часі.
Ідея безперервного вейвлет-перетворення полягає в обчисленні скалярного множення (величини, що показує розмір «схожості» двох закономірностей) досліджуваних даних із різними зсувами певного вейвлета на різних масштабах. В результаті виходить набір коефіцієнтів, що показують, наскільки поведінка процесу в даній точці схожа на «поведінку» вейвлета на даному масштабі. Чим ближчий вигляд аналізованої залежності в області даної точки до вигляду вейвлета, тим більшу абсолютну величину має відповідний коефіціент. Негативні коефіціенти показують, що залежність схожа на «дзеркальне відображення» вейвлета.
Формування коефіціентів вейвлет-перетворення
Отримані коефіціенти можна представити в графічному вигляді, якщо по одній осі розташувати зрушення вейвлета (вісь часу), а по іншій - масштаби (вісь масштабів), і «розфарбувати» точки отриманої схеми залежно від величини відповідних коефіціентів: чим більше значення коефіцієнта, тим яскравіше колір. Отримане зображення називають картою коефіціентів перетворення, або просто картою перетворення. Карта перетворення - це щось на кшталт «рентгенівського знімку» досліджуваного процесу. На ній видно всі його характерні особливості: масштаб та інтенсивність періодичних змін, напрямок і величина важливості прцесів, наявність, розташування і тривалість стрибків і т.ін.
Завершення
В перспективі майбутніх досліджень вейвлетів та вейвлет-перетворень варто зосередити увагу саме на, так би мовити, «практизації» тих знань, що вже отримані та напрцьовані по даній темі. Мається на увазі саме виключення можливості створення чергової бази знань, що їх зараз існує велика кількість. Їх, таким чином, достатньо для створення програмного обє’кту, головними рисами якого стали б новизна, корисність і практичність.Перелік посилань
1. А.Н. Яковлев «Основы вейвлет-преобразования сигналов», Серія «Конспекты лекций по радиотехническим дисциплинам», випуск 10. Москва: Физматлит, 2003р, 80 с. (http://www.math.spbu.ru/user/dmp/BookYakov.html)2. В. И. Воробйов, В. Г. Грибунін. «Теория и практика вейвлет-преобразования» Москва, 1999р. ( http://lib.mexmat.ru/books/10151)
3. Компанія BaseGroup, Технології аналізу даних (http://www.basegroup.ru/)
4. R.Polikar «The Wavelet Tutorial» (http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html)