Источник: www.navgeocom.ru/support/coords/index.htm

I. Фигура Земли. Физическая поверхность Земли. Геоид.

Физическая фигура Земли ограничена поверхностью материков, морей и океанов. Объектом изучения является фигура твердой оболочки Земли - поверхность суши, дна морей и океанов. Физическая фигура Земли имеет сложную форму, поэтому для ее изучения, а также для решения теоретических и прикладных задач геодезии вводят более простые фигуры сравнения, среди которых важное место занимает геоид.

Поверхность, всюду перпендикулярная отвесным линиям (направлениям силы тяжести), называется уровенной. Земля (ее масса) создает вокруг себя бесчисленное множество уровенных поверхностей.

Через одну точку пространства проходит только одна уровенная поверхность. С точки зрения механики уровенная поверхность есть поверхность равного потенциала силы тяжести и представляет собой фигуру равновесия жидкого или вязкого вращающегося тела, образующегося под действием сил притяжения и центробежных сил.

Среди множества уровенных поверхностей выделяют одну - главную, которую по предложению Листинга (1871г.) назвали геоидом, что означает "землеподобный". Поверхность геоида совпадает с поверхностью морей и океанов в их спокойном состоянии и мысленно продолжается под материки. Она проходит через начало счета высот и иногда называется отсчетной поверхностью.

Поверхность геоида все еще остается достаточно сложной для изучения. Она описывается бесконечными рядами, так называемыми разложениями по сферическим функциям. Если в рядах оставить конечное число членов, то получим ту или иную частную модель геоида. Наиболее простой (и довольно грубой) моделью геоида является шар, далее - эллипсоид вращения, последующие модели не поддаются простой геометрической интерпретации. Поэтому изучают отступления геоида от некоторой фигуры сравнения, как правило, это будет двухосный эллипсоид. [3], [4]

Практически весьма нелегко установить точно положение геоида под материками, поскольку измерения силы тяжести выполняются на физической поверхности Земли, а затем довольно сложными приемами редуцируются на поверхность геоида с известной долей неопределенности. Все это затрудняет определение высот (так называемых ортометрических высот). Поэтому М.С.Молоденский ввел неуровенную поверхность квазигеоида, которую легко фиксировать в теле Земли (для этого нужно не измерить, а вычислить так называемую нормальную силу тяжести с высокой точностью). Эта поверхность на морях и океанах совпадает с поверхностью геоида и проходит через начало счета высот, а под материками отступает от нее на 2-3 м. Высоты, отсчитываемые от квазигеоида, получили название нормальных.

 

II. Земные эллипсоиды.

Эллипсоид вращения, форма и размеры которого близки к форме и размерам геоида, называется земным. Это самое общее определение.

Размеры и форма эллипсоида вполне определяются двумя параметрами: большой полуосью а и сжатием a (или эксцентриситетом е). Для практической реализации земной эллипсоид необходимо ориентировать в теле Земли определенным образом. При этом выдвигается общее условие: ориентирование должно быть выполнено таким образом, чтобы разности астрономических и геодезических координат были минимальными. Земной эллипсоид может подбираться так, чтобы данное условие было выполнено в некоторой области, стране или даже в группе стран (например, СНГ). В этом случае ориентирование эллипсоида подчиняется следующим требованиям: [7]

1. Малая полуось эллипсоида должна быть параллельна оси вращения Земли.

2. Поверхность эллипсоида должна находиться возможно ближе к поверхности геоида в пределах данной страны.

Эллипсоид, удовлетворяющий этим требованиям и принятый для обработки геодезических измерений законодательно, называется референц-эллипсоидом (РЭ).

Для закрепления РЭ в теле Земли необходимо задать геодезические координаты , , начального пункта геодезической сети и начальный азимут на соседний пункт. Совокупность этих величин называется исходными геодезическими датами.

Если подбирать эллипсоид для Земли в целом, то он должен удовлетворять следующим требованиям: [1], [7]

1. >Малая полуось должна совпадать с осью вращения Земли.

2. Центр эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли.

3. Высоты геоида над эллипсоидом h (так называемые аномалии высот) должны подчиняться условию .

Эллипсоид, удовлетворяющий этим требованиям, называется общим земным эллипсоидом (ОЗЭ).

Поскольку требования к ОЗЭ на практике удовлетворяются с некоторыми допусками, а выполнение последнего в полном объеме вообще недопустимо, то в геодезии и смежных науках могут использоваться различные реализации ОЗЭ, параметры которых очень близки, но не совпадают (см. ниже).

При ориентировании ОЗЭ в теле Земли (в отличие от РЭ) нет необходимости вводить исходные геодезические даты.

 

III. Системы координат, используемые в геодезии.

Системы координат можно классифицировать по ряду признаков. Приведем некоторые из них. [1]

1. По расположению начал. Если начало отсчета совпадает с центом масс Земли, то такая система называется геоцентрической. Если начало отсчета системы располагается вблизи центра масс Земли (в пределах нескольких сотен метров), то это - квазигеоцентрическая система. При расположении начала отсчета на поверхности Земли получим топоцентрическую систему.

2. По виду координатных линий. Прямоугольные: x, y, z - в пространстве, x, y - на плоскости; криволинейные: сферические , , Н - на шаре, эллипсоидальные B, L, H - на эллипсоиде, последние часто называют просто геодезическими.

3. По назначению. Для описания положения небесных объектов используются звездные системы. Для объектов, участвующих в суточном вращении Земли, используются земные системы координат.

Среди звездных (астрономических) систем координат на практике наиболее часто используется средняя экваториальная система координат, фиксированная на определенную эпоху Т₀ данными фундаментальных звездных каталогов (FK-4, FK-5). Располагая значениями постоянных прецессии, можно воспроизводить эту систему для любой другой эпохи Т_i. Данную систему часто называют фундаментальной. Ее начало располагается в центре масс Земли. Ось х направлена к средней точке весеннего равноденствия в эпоху Т₀, ось z перпендикулярна к среднему экватору эпохи Т₀. В этой системе определяются не только координаты небесных объектов, если рассматривать точку астрономического зенита (точка пересечения отвесной линии с небесной сферой) как некоторую фиктивную звезду, то можно определить астрономические координаты и точки земной поверхности.

Земные системы жестко фиксируются в теле Земли и участвуют в ее суточном вращении. По форме координатных линий наиболее универсальной является прямоугольная система декартовых координат - x, y, z. Но при решении задач картографии, навигации и др. необходимо использовать координатную поверхность отсчетного эллипсоида и связанные с ней геодезические (эллипсоидные) координаты B, L, H. Связь прямоугольных и геодезических координат описывается выражениями [1]



(1)

,

где .

Если в формулах (1) используются параметры а и е референц-эллипсоида, то получим референцную систему координат, если параметры ОЗЭ, то это будет общеземная система координат. В обоих случаях начало систем располагается в центре эллипсоида, оси х лежат в плоскостях начальных меридианов, оси z совпадают с малыми полуосями эллипсоидов.

Референцные и общеземные системы, используемые в разных странах или отнесенные к разным эпохам, различаются по расположению начал x₀, y₀, z₀, разворотом осей на малые углы , , и разностью масштабов dm. В общем случае связь двух систем (назовем их 1 и 2) устанавливается формулой [1], [5]

(2)

В России и странах СНГ до 1 июля 2002г. будет использоваться референцная система 1942г. В качестве координатной поверхности в этой системе используется поверхность эллипсоида Красовского. Работы по его ориентированию в теле Земли (установлению исходных геодезических дат) были закончены в 1942г. Отсюда название системы, по Постановлению Совета Министров № 760 она введена в 1946г. для выполнения работ на всей территории тогдашнего СССР. С 1 июля 2002г. согласно Постановлению Правительства РФ от 28 июля 2000г. № 568 вводится новая референцная система СК-95 и новая общеземная система ПЗ-90. Первая система используется при выполнении геодезических и картографических работ, вторая - для геодезического обеспечения орбитальных полетов. В СК-95 используется эллипсоид Красовского, который ориентируется таким образом, чтобы пространственные координаты начального пункта (Пулково) были одинаковы в СК-42 и СК-95.

Переход от СК-42 к СК-95 выполняется по формуле (2), в которой используют следующие значения параметров перехода: x₀=-1,8 м, y₀= 9,0 м, z₀=-6,8 м, =0,02", =-0,38", =-0,85", dm=0,15*10^-6.

Кроме этих систем могут использоваться местные системы, которые возникают во всех случаях, если используется или другой эллипсоид, или другое начало координат, или имеет место разворот координатных осей и т.д. В соответствии с [5] "плоские прямоугольные координаты в местных системах вычисляются в проекции Гаусса-Крюгера с местными координатными сетками". Поэтому, например, система СК-63, хотя и получена на основе общегосударственной системы, но, поскольку ее сетка сдвинута и развернута по отношению к стандартной, то ее также следует рассматривать как местную. Порядок введения местных систем устанавливается министерствами и ведомствами по согласованию с органами Государственными геодезического надзора. Во всех случаях после завершения работ координаты пунктов должны быть пересчитаны в государственную референцную систему.

В России используются две общеземные системы координат: описанная выше ПЗ-90 и Международная WGS-84, которая применяется для обработки спутниковых измерений GPS. Обе системы очень близки друг к другу, приведем, например, одну из версий (исследования еще продолжаются) для параметров перехода от ПЗ-90 к WGS-84: x₀=y₀=0, z₀=1 м, ==0, =-0,206", dm=0. В заключение приведем численные значения параметров эллипсоидов, используемые в системах в системах СК-42 (СК-95), WGS-84, ПЗ-90: [5], [6]

Другие параметры легко вычисляются по известным формулам, например, второй эксцентриситет , сжатие .

При переходе от геоцентрических систем координат, которые используются при обработке спутниковых измерений системами GPS и Глонасс, к референцным СК-42, СК-95 и др. необходимо использовать уравнение (2). В это уравнение входит семь параметров - , , , , , , . Для их определения используют совмещенные пункты (так называются пункты, координаты которых известны в обеих системах). Каждый совмещенный пункт позволяет составить три уравнения вида (2), в которых коэффициенты и свободные члены вычисляются по известным координатам в обеих системах. Таким образом, чтобы вычислить семь параметров, необходимо иметь минимум три совмещенных пункта. Возникающие при этом уравнения решаются по правилам метода наименьших квадратов (МНК). Это так называемая классическая линейная модель "семи параметров" (иногда ее называют моделью Бурша). Точка вращения осей координат в этой модели располагается в центре эллипсоида. Если точка вращения располагается в произвольной точке земной поверхности, в частности, в начальном пункте геодезической сети, то мы имеем модель Молоденского. Иногда предлагаются нелинейные модели, в которых уравнение (2) дополняется аппроксимирующими многочленами третьего порядка или кривыми регрессии. Во всех таких случаях число параметров преобразования увеличивается (на число коэффициентов полиномов для всех трех координат), а, следовательно, увеличивается и необходимое количество совмещенных пунктов. В массовых работах, как правило, используется классическая модель "семи параметров". Численные параметры перехода приводятся в руководствах или сообщаются пользователю в технических заданиях.

IV. Картографические проекции

Картографической проекцией (КП) называется способ изображения поверхности эллипсоида (шара) на плоскости по определенному закону, который устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками эллипсоида и плоскости.

Поверхность эллипсоида нельзя развернуть на плоскости без искажений, в зависимости от их характера различают равноугольные, равновеликие и произвольные проекции.

Среди множества КП при выполнении топографических и геодезических работ применяется конформная проекция Гаусса-Крюгера, в которой углы изображаются без искажений, а линейные искажения не зависят от направления, что облегчает их учет.

В основу построения единой системы плоских координат для России (а также для стран СНГ) положено разделение поверхности эллипсоида (северной его части) на ряд совершенно одинаковых сфероидических треугольников, ограниченных экватором и меридианами с разностью долгот 6°.

Изображение каждого треугольника в проекции Гаусса-Крюгера представляет собой шестигранную координатную зону. В качестве декартовых координат используют прямолинейные изображения осевого меридиана (ось х) и экватора (ось y). В пределах каждой шести градусной зоны размещается целое число трапеций карт в масштабах от 1:1 000 000 до 1:10 000. Для того чтобы обеспечить выполнение топогеодезических работ на границе двух соседних зон, стандартная зона расширяется на 30' по долготе к востоку и западу от граничного меридиана. Координаты геодезических пунктов, находящихся в перекрытиях зон, в каталогах координат приводятся дважды (в основной и соседних зонах). На топографических картах перекрытия отмечаются соответствующими штрихами, показывающими выходы координатных линий соседней зоны.

При съемках городов и участков территории, отводимой под строительство крупных инженерных сооружений желательно уменьшить величины линейных искажений, чтобы ими можно либо пренебречь, либо просто учитывать. С этой целью можно ввести местную систему координат в проекции Гаусса-Крюгера со своим (нестандартным) осевым меридианом и своими размерами зоны по долготе. При этом структура формул проекции Гаусса-Крюгера не изменяется. Во всех случаях применения местных систем после завершения работ координаты пунктов должны быть перевычислены в государственную систему плоских координат в стандартной зоне.

Для топографических карт ряда стран применяется в шестиградусных зонах проекция UTM (универсальная трансверсальная проекция Меркатора, называемая также проекцией Гаусса-Боага). [2]

Данная проекция отличается от проекции Гаусса-Крюгера тем, что в ней на среднем меридиане масштаб равен не единице, а 0,9996.

В проекции UTM может использоваться как левая система координат (ось х направлена на север, ось у - на восток), так и правая (ось х идет на восток, ось у - на север). Формулы связи проекции Гаусса-Крюгера с левой системой проекции UTM имеют вид

, для правой системы имеем

, ,

где =0,9996.

При решении других задач (как правило, не топогеодезических) используются разные КП. Однако их число столь велико [2], что их характеристики не могут быть описаны в данной обзорной статье.

Литература

1. Баранов В.Н., Бойко Е.Г. и др. «Космическая геодезия». М., Недра, 1989.
2. Бугаевский Л.М. «Математическая картография». М., Златоуст, 1998.
3.Молоденский М.С., Еремеев В.Ф., Юркина М.И. «Методы изучения внешнего гравитационного поля Земли». М., Геодезиздат, 1960.
4. Мориц Г. "Современная физическая геодезия". М., Недра, 1983.
5. Основные положения о государственной геодезической сети России. М., 1997
6. Галазин В.Ф., Базлов Ю.А. и др. «Совместное использование GPS и «Глонасс». Доклад. Май, 1997.
7.Пеллинен Л.П. «Высшая геодезия«». М., Недра, 1978.