Теория фигуры Земли

Фигура планеты... что это? Форма её физической поверхности? Форма или фигура? Вообще говоря, эти два слова не эквивалентны, если их применять по отношению к планете. Термин фигура Земли введён давно. Так учебник проф. А.А. Михайлова, впервые изданный в 1933 году, называется “Курс гравиметрии и теории фигуры Земли”. Однако не он ввел этот термин. В том же году вышел перевод книги П. Пицетти “Механические основы фигуры планет”. Оригинал, естественно, вышел раньше. У А.А. Михайлова есть ссылка на книгу Buchholz H. Angewandte Mathematic. Das mechanische Potenzial und seine Anwendung zur Beschtimmung der Figur der Erde. Leipzig, 1916. Имеется ссылка и на более ранний источник: Todhunter J. A history of the mathe matical Theory of Attraction and the Figure of the Earth. London, 1873. В том же 1873 году немецкий физик Листинг предложил термин геоид для замкнутой поверхности равного потенциала. Таким образом, термин фигура Земли, как правило, обозначает фигуру её уровенной поверхности, принятой в качестве поверхности, относительно которой измеряются высоты её физической поверхности.

Под фигурой планеты можно понимать:

1. Фигуру её физической поверхности (геометрическая фигура)
2. Фигуру эквипотенциальной поверхности (геоид, селеноид, ареоид и т.п.)
3. Динамическую фигуру планеты, которой является центральный эллипсоид инерции.

Особый интерес вызывают фигуры гидростатически равновесных тел. Если представить модель планеты, состоящей из концентрических, тонких слоёв, имеющих некоторое сжатие, то для гидростатически равновесных тел давление внутри каждого слоя – постоянно. Отсутствуют горизонтальные составляющие сил давления, способные создать течения. Вертикальная составляющая давления, обусловленная совокупностью внешних (по отношению к рассматриваемой точке) слоёв, компенсируется реакцией подстилающих слоёв. В этом случае выполняется условие

dP=sdW,

где P - потенциал гидростатического давления, W - потенциал тяжести, s - плотность. Это соотношение выполняется для всех точек тела планеты, включая её внешнюю поверхность. В последнем случае условие W = const определяет и физическую поверхность модели планеты.

Задача исследования внутреннего строения планеты часто сводится к согласованию её теоретического и наблюденного потенциала тяжести. При этом её гидростатическое равновесие принимается как гипотеза. Отсюда ясно, что теория фигур равновесия небесных тел, являющаяся одним из крупных разделов небесной механики, имеет фундаментальное значение.

Отличия модели от гидростатически равновесной фигуры не обязательно указывают на неадекватность принятой модели реальной планете. Эти отличия могут быть и источником информации о внутренних силах, создающих напряжения сдвига или растяжения. При текучести материала эти напряжения создадут конвекционные течения, которые находят отражение в тепловых и магнитных полях планеты. Кроме того, эти явления не могут не влиять на вращение планеты, на движение отдельных блоков её поверхности. Наблюдения за изменением форм поверхности доступны геодезии и являются одним из важнейших предметов её изучения.

На стыке наук – геодезии, геофизики и астрономии - возникла геодинамика, объединяющая кинематическую и динамическую геодезии (терминология М.С. Молоденского). В первом случае изучают движение, во втором - силы. Сейчас науки о Земле очень много уделяют внимания геодинамическим исследованиям, которые помогают правильно осмыслить медленные эволюционные процессы, предсказывать землетрясения и поддерживать высокую точность астрономо-геодезических сетей. Геодинамические вариации достигают величин 10^-8 - 10^-9 в год, то есть 0.6 - 0.7 см смещения, 1 - 10 мкГал вариаций силы тяжести, 0.0002 - 0.02" отклонений отвесной линии.

Вернёмся к фигуре Земли. Реальная фигура планеты, естественно, отличается от эллипсоидальной. Физическая поверхность Земли, да и любой планеты настолько сложна, что она не поддаётся строгому математическому описанию. Наиболее наглядное представление – карта высот этой поверхности над уровнем моря или геоида – поверхности равного потенциала тяжести, проходящая через начало отсчёта высот. Эта поверхность близка к невозмущённой поверхности водной глади океанов и сообщающихся с ними морей. Однако, из-за различия температуры и солёности, атмосферного давления и т.п. поверхность водной глади не совпадает строго с геоидом, а отклоняется приблизительно в пределах одного метра. Например, в зоне Панамского канала разность уровней Тихого и Атлантического океанов составляет 62 см.

Для построения карты высот нужно поверхность уровня океанов продолжить под континенты. Сделать это не просто: необходимо знать распределение плотностей горных пород. Эта трудность была преодолена М.С. Молоденским: вместо геоида он предложил строить квазигеоид, что не требует знания внутреннего строения земной коры.

Геодезия - в переводе с греческого землеразделение – располагает приборами для определения углов и расстояний, то есть имеет дело с геометрическими величинами. Однако для построения квазигеоида требуется знать и удельную силу тяжести, то есть гравитационное поле. Поэтому этот раздел геодезии называют физической геодезией. Задачей физической геодезии является не только построение фигуры поверхности планеты или её геоида (селеноида, ареоида и т.п.), но и изучение геометрии силовых линий в пространстве, отклонений отвеса, характеристик гравитационного потенциала и его взаимодействия с другими физическими полями. Термин физическая геодезия, пожалуй, можно отождествить с термином теория фигуры Земли, если этот предмет понимать более широко, чем указано в его названии.

Краткий исторический обзор

Что такое наша Земля? Какой она формы? Этими вопросами интересовались на самой заре пробуждения сознания. До нас дошли сведения, что Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, считал Землю шаром. Его почему-то не смущал вопрос, как же удерживаются все предметы на “покатой” поверхности шара. Два века спустя великий Аристотель прямо указал на доказательство шарообразности Земли. Это – лунные затмения. Земля бросает тень на Луну, когда Солнце находится с противоположной стороны. А эта тень - круглая! Ещё один греческий учёный Эратосфен, живший в третьем веке до нашей эры, предпринял первую попытку определить радиус земного шара. Он оценил длину дуги меридиана между Александрией и Ассуаном (Сиеной) и воспользовался тем, в день летнего солнцестояния Солнце в Ассуане стоит точно в зените. Оно может “заглянуть” даже в самые глубокие колодцы. В это же время в Александрии наименьшее зенитное расстояние Солнца составляет 1/50 долю окружности. Между Александрией и Ассуаном существовал караванный путь длиной в 5000 стадий, то есть приблизительно 800- 900 км. Точная длина стадии неизвестна, полагают, что она равна 0.158 – 0.185 км. Умножая 5000 на 50, Эратосфен получил длину меридиана, равную 250000 стадий. Радиус Земли, в этом случае, будет равен 40000 стадий, то есть 6000 - 7400 км. Современное значение среднего радиуса Земли равно 6371.023 км. Так что результат Эратосфена неплохой.

Первые измерения размеров Земли были основаны на измерении длин дуг. Впоследствии это направление исследований развилось как градусные измерения. В VII веке в период расцвета арабской цивилизации были выполнены градусные измерения , причем проводились и угловые и линейные измерения. Угловые измерения они выполняли по наблюдениям высот звёзд в меридиане. У них один градус оказался равным 111.8 км, а радиус Земли - 6406 км – почти современный результат.

Затем снова наступил продолжительный перерыв. Он связан с падением арабской цивилизации под влиянием экспансии монгольских племён и средневековой схоластики, которая надолго задержала развитие научной мысли. Только в XV веке в Европе появился интерес к размерам нашей планеты. Он связан с развитием торговых отношений и колонизацией дальних земель. Необходимы были точные морские карты. Родилась геодезия. Голландский ученый Снеллиус (1580-1626) предложил метод триангуляции. Основная идея метода заключается в том, чтобы с помощью измерения только одного базисного отрезка и измерения углов получить расстояние до любой другой точки, находящейся вне базиса. Расстояние между точками А и В измеряется с наибольшей возможной точностью. Измеряя углы a=РBAC и b=РBAC, будем иметь все необходимые сведения для определения треугольника АВС, следовательно, будем знать сторону ВС. Её мы можем считать базисом для следующего треугольника BCD. Повторяя операции с измерением углов, определим стороны нового треугольника. Цепочка, состоящая из таких треугольников, может быть как угодно длинной. Остаётся определить астрономические координаты точек, чтобы развернуть данную триангуляционную сеть на сфере или эллипсоиде. Этот метод оказался очень эффективным и дожил до настоящего времени.

Классическим градусным определением следует считать работу Пикара (Франция, 1620-1682). Была определена длина дуги от Парижа до Амьена, которая оказалась равной 153689 м, а в градусной мере - 1° 23' 55". Таким образом, длина одного градуса составила 111212 м. Современное значение длины дуги одного градуса на широте Парижа равно 111221 м, то есть измерения Пикара отличаются всего на 9 м.

В XVIII веке в математической столице мира – Париже вновь были организованы экспедиции. В экваториальной зоне (Перу) экспедиция в составе Буге, Годена и Лакондамина измерила длину дуги меридиана от 0° 2' 30" северной широты до 3° 4' 30" южной широты. Значение длины дуги одного градуса получено равным 110604 м. В полярной зоне (Скандинавия) работала другая экспедиция (Клеро, Мопертюи, Камюз, Цельсий). Длина одноградусной дуги на широте 66° оказалась равной 111917 м. Наконец, несколькими годами раньше была измерена длина одноградусной дуги под Парижем. Она оказалась равной 111258 м. Результаты градусных измерений в XVIII веке можно свести в следующую таблицу

По этим данным легко определить и большую полуось общего земного эллипсоида и его сжатие.

Ньютон доказал, что Земля имеет форму эллипсоида вращения со сжатием 1:230 (современное значение 1:298.25). Эту величину он получил теоретически, принимая Землю за однородный, жидкий эллипсоид. Современник Ньютона Гюйгенс определил сжатие земного эллипсоида иначе. Он предположил, что сила притяжения всегда направлена к центру масс Земли, а эллипсоидальность поверхности уровня создаёт центробежная сила, которая отклоняет отвесную линию. Вычислив сжатие, он получил величину, равную 1:576, то есть существенно меньше. Расхождение результатов Ньютона и Гюйгенса позже объяснил французский математик Клеро, который получил формулу зависимости сжатия от внутреннего строения планеты. Он обобщил теорию равновесия планет и показал, что случаи Ньютона и Гюйгенса являются частными случаями его модели. Сжатие по Клеро равно

Для однородного эллипсоида с малым сжатием (C - A) / Ma² » 0.4 a. Обозначим безразмерную величину, близкую к отношению центробежной силы к силе тяжести на экваторе через q, получим

q = w² a³ / GM,     a=1.25q.

GM = 398603 км³ c^-2
a = 6378160 м
w = 7.2921151467 * 10^-5 c^-1

Следовательно, q = 0.003461407

Сжатие по Ньютону в этом случае равно a=1:231.12, а по Гюйгенсу a=1:577.80. В настоящее время Генеральная Ассамблея МАС в 1976 году утвердила значение сжатия для Земли a=1:298.2570, которое лежит между двумя выше указанными значениями. Это означает, что планета Земля не является однородным эллипсоидом и, одновременно, вся притягивающая масса не сосредоточена в центра планеты.

Исследования Клеро дали начало целой серии работ таких математиков как Пуанкаре, Лаплас, Лежандр, Стокс, Вихерт, Дарвин и др. Они создали научное направление, тесно примыкающее к нашему предмету – теории фигур равновесия небесных тел. Большой вклад в теорию фигур небесных тел внесли Маклорен и Якоби, которые исследовали устойчивость фигур равновесия тел эллипсоидальной формы.

Для изучения формы эквипотенциальной поверхности с максимальной детальностью необходимо ввести тело отсчета, относительно которого можно выявить эти детали. Для Земли в качестве тела отсчета берут земной эллипсоид. Тогда задача определения фигуры Земли сводится к вычислению высот геоида над этим эллипсоидом. Исходным материалом для решения такой задачи служат геодезические и гравиметрические сведения, полученные на поверхности Земли.

Впервые задачу определения фигуры Земли поставил и теоретически решил Стокс. Принципиальная возможность определения уровенной поверхности по гравитационному полю доказывается теоремой Стокса: если уровенная поверхность, целиком охватывающая массы, известна, известны также масса и угловая скорость вращения, то сила тяжести однозначно определяется как на самой поверхности, так и во всем внешнем пространстве.

Символически это утверждение можно записать так: g = F(S,M,w). Наша задача – определение фигуры Земли - является обратной: требуется определить S по заданным M, g и w. Основная трудность решения этой задачи связана с определением g на поверхности уровня. На практике мы можем измерять удельную силу тяжести только на физической поверхности. Возникает задача переноса этого значения (редукции) с физической поверхности на геоид (не на эллипсоид!).

Над проблемой редукции работало много учёных. Доминирующую роль в этой теории сыграли наши учёные. Основная трудность заключалась в том, как “отправить” все массы, лежащие выше поверхности геоида, под эту поверхность, при этом не исказив саму поверхность уровня. Эта проблема получила название проблемы регуляризации Земли. Последнюю точку в этой задаче поставил М.С. Молоденский. Он доказал, что фигуру Земли можно изучать и без регуляризации. Достаточно все измерения выполнять на физической поверхности, но кроме силы тяжести необходимо знать и приращение потенциала, для чего должны быть выполнены и геодезические работы.

Итак, пусть на земной поверхности в точках с известными значениями j и l будем иметь вектор силы тяжести g(j l) и гравитационный потенциал W(j, l). Тогда

Здесь черта сверху означает, что соответствующие величины берутся на поверхности S. Если S и W однозначно определяют вектор g, то уместно поставить и обратную задачу: определить S по заданным на поверхности g и W. При этом поверхность, вообще говоря, не является поверхностью уровня!

Австрийский геодезист Г. Мориц так отозвался о работе М.С. Молоденского: "Когда блестящая работа М.С. Молоденского стала известной на западе, она произвела поистине революцию Коперника в умах геодезистов всех стран..." (Г. Мориц. Современная физическая геодезия. Москва "Недра" 1983). Эта работа стимулировала математические исследования в области теории гравитационного потенциала. На вооружение взяты такие серьёзные математические дисциплины как теория функций, теория групп, интегральные уравнения, матрично-тензорный анализ и др. Последователи М.С. Молоденского, советские ученые Л.П. Пеллинен, В.В. Бровар, М.Ю. Нейман хорошо известны в мировом сообществе учёных.

Появление спутников и новых возможностей исследования гравитационного поля существенно расширило круг задач теории фигуры Земли. Появилось новое направление в высшей геодезии - космическая геодезия. Если раньше триангуляция развёртывалась на физической поверхности Земли, то сейчас она стала трехмерной. Космические триангуляционные пункты - пункты слежения за геодезическими спутниками. Движение спутников, как известно, определяется как движение по некоторой орбите вокруг центра масс. Поэтому за начало системы отсчёта берут центр масс. Кроме того, необходимо знать расположение этих пунктов относительно тела отсчета, которым служит общий земной эллипсоид. Взаимное расположение пунктов задают геодезическими координатами B, L, H, соответственно, широтой, долготой и высотой. Фундаментально задачей является определение центра общего земного эллипсоида относительно центра масс.

В доспутниковую эпоху геодезические работы вполне удовлетворяла привязка к эллипсоиду, аппроксимирующему исследуемую территорию. Советский геодезист Ф.М. Красовский получил параметры эллипсоида для Советского Союза с началом отсчета высот по Кронштадскому футштоку. Сжатие эллипсоида Красовского равно 1:298.3 , Эта величина значительно отличалась от сжатия общего земного эллипсоида принятого в то время и полученного по гравиметрическим данным. Авторы давали разные оценки сжатия от 1:296.6 до 1:297.4. Первое же определение сжатия по спутниковым данным дало величину, практически совпадающую со сжатием эллипсоида Красовского. Точность определения существенно возросла. Генеральная Ассамблея МАС в 1976 г для сжатия Земли утвердила значение 1:298.2570.

Спутниковые альтиметрические исследования дали прямые измерения топографии водной глади поверхности океанов, которая совпадает с геоидом с точностью ±1 м. Сами альтиметрические наблюдения достигли точности нескольких сантиметров. Появилась необходимость с такой же точностью строить и теорию движения спутников и определять поверхность геоида. Классическое линейное приближение с точностью до первой степени сжатия стало неприемлемым. Если радиус Земли равен R, то малыми величинами мы должны считать линейные величины aR 20 км. Малыми величинами второго порядка будут a²R » 70 м, а третьего порядка - a³R 2 см. Отсюда следует, что теория движения спутников должна обеспечивать сантиметровую точность, а современная теория фигуры Земли должна строиться так, чтобы обеспечить точность до малых третьего порядка. К сожалению, таких точностей ещё не получено.