Библиотека | Буток Александр |Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике.

Сравнение вейвлетов разного типа

Сейчас выбор вейвлетов довольно обширен. Как было только что показано, только в пакете Wavelet Toolbox 2.0/2.1 представлено полтора десятка базовых типов вейвлетов и множество вариантов для ряда базовых типов вейвлетов. Однако, необоснованное применение того или иного типа вейвлета способно привести к разочарованию. Поэтому ниже обобщены основные свойства вейвлетов различного типа. Их учет позволяет подбирать наиболее подходящие типы вейвлетов для решения конкретных задач обработки сигналов и изображений.

Такой выбор надо рассматривать как «пробу пера». Разумеется, при решении серьезных задач в области обработки сигналов и изображений желательно применение хотя бы нескольких типов вейвлетов с последующим сравнением результатов и выбором наилучших из них.

1. Грубые (Crude) вейвлеты

К «грубым» вейвлетам относятся вейлеты Гауссова типа (gaus), Морле (morlet) и «мексиканской шляпы» (mexihat). Они обладают минимумом свойств, которыми должны обладать вейвлеты, обеспечивающие полноценные возможности в технике преобразования сигналов:

функция phi у них отсутствует;
Анализ не является ортогональным;
psi не имеет компактного носителя;
возможность реконструкции не гарантирована;
возможна непрерывная декомпозиция;
главные свойства: симметричность, функция psi задается явно;
быстрые алгоритмы преобразований и точная реконструкция невозможны.

2. Бесконечные регулярные вейвлеты

К бесконечным регулярным вейвлетам принадлежат вейвлеты Мейера (meyr). Они имеют следующие свойства:

имеют функцию phi и их анализ ортогональный;
функции не определены явно psi и phi ;
функции psi и phi не имеют компактного носителя;
вейвлеты симметричны и регулярны в бесконечности;
быстрый алгоритм преобразований не поддерживается.
У этих вейвлетов возможны следующие методы анализа:
непрерывные преобразования;
дискретные преобразования, но без FIR фильтров.

Еще один вейвлет этого типа — дискретный вейвет Мейера ( dmey ). Его свойства:

аппроксимация фильтром класса FIR ;
поддержка непрерывного и дискретного преобразований.

3. Ортогональные вейвлеты с компактным носителем

К этим вейвлетам относятся вейвлеты Добеши (dbN), Симлета (symN) и Койфлета (coifN). Их основные свойства:

функция phi имеется и анализ относится к ортогональному типу;
функции имеют определенное число моментов исчезновения;
функции psi и phi имеют компактный носитель;
возможны непрерывные преобразования и дискретные преобразования с применением быстрого вейвлет-преобразования;
обеспечивается принципиальная возможность реконструкции сигналов и функций.
Некоторые трудности: недостаточная периодичность. Специфические проблемы:
вейвлеты dbN несимметричны;
вейвлеты symN : близки с симметричным;
вейвлеты coifN : отсутствие симметрии, функций phi и psi , наличие моментов исчезновения.

4. Биортогональные парные вейвлеты с компактным носителем

К ним относятся В-сплайновые биортогональные вейвлеты (biorNr.Nd и rbioNr.Nd). Они имеют следующие свойства:

функция phi имеется, и анализ относится к биортогональному типу;
обе функции psi и phi для декомпозиции и реконструкции имеют компактный носитель;
phi и psi для декомпозиции имеют моменты исчезновения;
psi и phi для реконструкции могут иметь периодичность.
Возможные виды анализа: непрерывное преобразование и дискретное преобразование с использованием алгоритма быстрого вейвлет-преобразования.
Наиболее существенные достоинства: симметрия с фильтрами, желаемые свойства для разложения и восстановления разделены, возможно их хорошее распределение. Наиболее существенные трудности: отсутствие ортогональности.

5. Комплексные вейвлеты

К комплексным относится довольно большая группа вейвлетов: Гаусса (cgauN), Морле (cmorFb-Fc), Шенона (shanFb-Fc) и частотные В-сплайновые вейвлеты (fbspM-Fb-Fc). Они обладают минимальными свойствами:

• функция phi отсутствует;

• анализ не ортогональный;

• функция psi не имеет компактного носителя;

• свойства реконструкции не гарантируются;

• возможен анализ типа комплексной декомпозиции.

Трудности применения: быстрый алгоритм и реконструкция невозможны.