Факультет компьютерных информационных технологий и автоматики
Кафедра электронной техники
Специальность: Электронные системы
Тема выпускной работы: Обоснование структуры и исследование электронной системы выявления пожаро- и взрывоопасной ситуации в условиях промышленных предприятий
Материалы по теме выпускной работы:
Математика ХХ и ХХI века
«Если мы действительно что-то знаем, то мы
знаем это благодаря изучению математики»
Пьер Гассенди
Личная мотивация
Итак, почему же я решил написать о математике ХХ и ХХI века??? Во-первых, я неравнодушен к математике, т.к. параллельно с занятиями в школе, начиная с пятого класса, я обучался в открытом математическом колледже (ОМК) при Донецком национальном университете (ДонНУ). Когда я только начал заниматься углубленно математикой, то жутко сопротивлялся этому. А кто не сопротивлялся бы на моем месте? Ведь вместо того, чтоб каждую субботу пропадать с друзьями на улице, я ходил на занятия по математике и занимался ей от 6 до 8 часов в день! Но теперь, во мне не осталось ни капли сожаления. Ведь я осознал, что МАТЕМАТИКА - это круто! Благодаря знаниям математики, я в апреле 2006 года был рекомендован к зачислению сразу в два престижнейших ВУЗа Донецкой области. С того времени интерес к математике я не утратил и, поэтому, буду писать именно о НЕЙ! Во-вторых, почему я выбрал ХХ и ХХI век??? Ответ очень прост! Большое количество людей изучая математику в школе и на младших курсах университета, знакомится с классической математикой, которая сформировалась до указанного периода времени, а вот с «современной» математикой, к сожалению, дела обстоят похуже… В своем индивидуальном задании я попытаюсь осветить главные достижения математики выше заявленного периода. Сразу скажу, что «математическую кухню» в чистом виде я приводить в своем задании не буду, так как для многих это скучно и не понятно. В основном, я сделаю акцент на процессе развития математики того времени и на состоянии дел на сегодняшний момент. Открытий в этот период было огромное количество, но так задание «индивидуальное», то и напишу я о тех, которые на МОЙ взгляд являются наиболее интересными.
Математика ХХ века
Математика ХХ века стартовала в 1900 году в Париже на II Международном Конгрессе математиков, когда Давидом Гильбертом был представлен список из 23 кардинальных проблем математики. Тогда эти проблемы(охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, – физическая, а не математическая). Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев. [1]
| № | Статус | Краткая формулировка | Результат |
| 1 | Нет консенсуса | Проблема Кантора о мощности континуума (Континуум-гипотеза) | Неразрешима |
| 2 | Нет консенсуса | Непротиворечивость аксиом арифметики | Требует уточнения формулировки |
| 3 | Решена | Равносоставленность равновеликих многогранников | Опровергнута |
| 4 | Слишком расплывчатая | Перечислить метрики, в которых прямые являются геодезическими | Требует уточнения формулировки |
| 5 | Решена | Все ли непрерывные группы являются группами Ли? | Да |
| 6 | Слишком расплывчатая | Математическое изложение аксиом физики | |
| 7 | Решена | Является ли число 2√2 трансцендентным (или хотя бы иррациональным) | Да |
| 8 | Не решена | Проблема простых чисел (гипотеза Римана и проблема Гольдбаха) | |
| 9 | Частично решена | Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле | Доказана для абелевого случая |
| 10 | Решена | Есть ли универсальный алгоритм решения диофантовых уравнений? | Нет |
| 11 | Частично решена | Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами | |
| 12 | Не решена | Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности | |
| 13 | Решена | Можно ли решить общее уравнение седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных? | Да |
| 14 | Решена | Доказательство конечной порожденности алгебры инвариантов алгебраической группы | Опровергнута |
| 15 | Частично решена | Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта | |
| 16 | Частично решена | Топология алгебраических кривых и поверхностей | |
| 17 | Решена | Представимы ли определённые формы в виде суммы квадратов (см. Семнадцатая проблема Гильберта) | Да |
| 18 | Решена | Конечно ли число кристаллографических групп? Существуют ли нерегулярные заполнения пространства конгруэнтными многогранниками? Являются ли гексагональная и кубическая гранецентрированная упаковки шаров наиболее плотными? | Да |
| 19 | Решена | Всегда ли решения регулярной вариационной задачи Лагранжа являются аналитическими? | Да |
| 20 | Решена | Все ли вариационные задачи с определёнными граничными условиями имеют решения? | Да |
| 21 | Решена | Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии | Требует уточнения формулировки |
| 22 | Решена | Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций | |
| 23 | Не решена | Развитие методов вариационного исчисления |
Феномен трех столетий
Этот феномен носит имя французского математика, по профессии юриста - Пьера Ферма. Великая теорема Ферма (ВТФ) – одна из самых популярных теорем математики; её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Теорема окончательно была доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.
Формулировка теоремы
Теорема утверждает, что: для любого натурального n>2 уравнение an + bn = cn не имеет натуральных решений a, b, c. [2]
История доказательства
Для случая n = 3 эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось. В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма на полях читаемых математических трактатов делал свои пометки и тут же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги.
Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для n = 4, что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.
Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5, Ламе — для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением иррегулярных простых 37, 59, 67. [2]
Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей, вопреки здравому смыслу пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками». [3] Тем не менее, эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел.
В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 000 немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако, после Первой мировой войны премия обесценилась. [4]
В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение an + bn = cn при n > 3 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.
Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics». Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.П. Серра). [5]
Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро ликвидировать. В 1995 году был опубликован завершающий вариант. [2]
Математика ХХI века
Также, как и в ХХ веке, в ХХI веке математика все больше и больше приобретает прикладной характер. Именно, поэтому здесь я освещу одно очень интересное событие, которое носит практический характер.
Математики обнаружили еще одно решение проблемы весел, заключающейся в следующем: как расположить весла на бортах лодки так, чтобы при одновременной гребле у нее не возникало поперечного момента, то есть лодка шла ровно и не колебалась. В рамках работы ученых интересовал вопрос рассадки спортсменов в восьмерке - лодке в академической гребле, в которой сидят восемь гребцов и рулевой. У каждого гребца при этом имеется одно весло, которое он может разместить с левого или правого борта. [6]
При этом восьмерка будет идти гораздо лучше, если при гребле она не будет испытывать перпендикулярных движению колебаний (в этом случае говорят, что трансверсальный момент равен нулю).
Рисунок 1 – Возможные рассадки спортсменов в лодке. Пункт a) был ранее неизвестен, b) - немецкая рассадка, с) и d) получаются склейкой одинаковых и зеркально отраженных итальянских четверок соответственно
При этом естественная чередующаяся рассадка (то есть у первого весло слева, у второго справа и так далее), оказывается плохой - трансверсальный момент не равен нулю. Для четверок в 1956 году итальянцы придумали следующее решение: у первого и четвертого весла слева, а у двух других - справа. «Склеив» две четверки, можно получить рассадку для команды из восьми человек. [6]
Математикам удалось обнаружить рассадку, аналогичную четверке. Эта рассадка устроена достаточно просто - в итальянском варианте каждое весло надо заменить на два. То есть у первого, второго, седьмого и восьмого весла слева, а у остальных - справа. [7]
Открытые математические проблемы
Далее в своем задании я хотел бы написать о том, что еще не решено. Это, так называемые, открытые (нерешенные) проблемы математики.
В течение тысячелетия математика породила 7 величайших загадок. 25 мая 2000 г. Институт математики Клея объявил о награде в $1 млн за решение каждой из этих главных математических проблем.
Список проблем: [8]
1.Равенство Р и NP классов
Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи первого типа относятся к классу NP, второго — классу P. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.
2. Гипотеза Ходжа.
Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями
3. Гипотеза Римана
Гипотеза гласит, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно, в области распределения простых чисел. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта. Интересно, что опровержение гипотезы Римана не даст права на получение приза.
4. Теория Янга – Миллса.
Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G квантовая теория Янга – Миллса для пространства R4 существует и имеет ненулевой дефект массы. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.
5. Существование и гладкость решений уравнений Навье – Стокса
Уравнения Навье – Стокса описывают движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.
6. Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера
Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решен
7. Гипотеза Пуанкаре (доказана)
Cчитается наиболее известной проблемой топологии. Говоря более просто, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации.
Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена российскому математику Г. Я. Перельману, опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы Пуанкаре. От премии Г.Я. Перельман отказался!
И, наконец, я хотел бы написать афоризмы и крылатые фразы, которые посвящены «царице наук» математике:
«Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем». А. Пуанкаре
«В математике нет символов для неясных мыслей». А. Пуанкаре
«В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики». И. Кант
«Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике». Д. Сантаяна
«Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим». Бертран Рассел
«Математика может открыть определенную последовательность даже в хаосе». Гертруда Стайн
«Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием». Готфрид Вильгельм Лейбниц
Литература
1. wikipedia [Электронный ресурс]: – Электронные данные. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Проблемы_Гильберта . – Дата доступа: апрель 2011. – Загл. с экрана.
2. wikipedia [Электронный ресурс]: – Электронные данные. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Великая_теорема_Ферма . – Дата доступа: апрель 2011. – Загл. с экрана.
3. Гастев Ю., Смолянский М. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 23-25.
4. elementy [Электронный ресурс]: – Электронные данные. – Режим доступа: http://elementy.ru/trefil/21135. – Дата доступа: апрель 2011. – Загл. с экрана.
5. Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский образовательный журнал. — ISSEP, 1998. — Т. 4. — № 2. — С. 135–138.
6. nauka21vek [Электронный ресурс]: – Электронные данные. – Режим доступа: http://nauka21vek.ru/archives/5319. – Дата доступа: апрель 2011. – Загл. с экрана.
7. mtk-omsk [Электронный ресурс]: – Электронные данные. – Режим доступа:
http://www.mtk-omsk.ru/science/Matematiki_resili_zadacu_o_veslah. – Дата доступа: апрель 2011. – Загл. с экрана.
8. wikipedia [Электронный ресурс]: – Электронные данные. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Задачи_тысячелетия. – Дата доступа: апрель 2011. – Загл. с экрана.