ДонНТУ   Портал магістрів

Скрипай Вікторія Володимирівна

Факультет комп'ютерних наук та технологій

Кафедра прикладної математики та інформатики

Спеціальність Економічна кібернетика

Порівняльний аналіз ефективності методів вейвлет-ентропії та дискретного Фур`є-продовження при оцінці динаміки фінансових ринків

Науковий керівник: с.н.с., к.т.н., доц. Андрюхін Олександр Іванович

Резюме Біографія Реферат

Реферат за темою випускної роботи

Зміст

• Вступ
• 1. Актуальність теми
• 2. Мета і задачі дослідження
• 3. Огляд досліджень та розробок
• 4. Методи прогнозування динаміки фінансових ринків
• 5. Зіставлення вейвлет і Фур'є перетворення
• Висновки
• Перелік посилань

Вступ

Основною проблемою в прогнозуванні та аналізі є побудова моделей, які належним чином відображають динаміку фінансових часових рядів. Ринковий механізм, який характеризується величезною кількістю відносин, які постійно змінюються залежить від багатьох зовнішніх факторів, що може суттєво вплинути на структуру його залежностей, а наслідки можуть бути найрізноманітнішими. Виникнення тих чи інших зовнішніх факторів, зазвичай, не відбивається в передісторії фінансових часових рядів, але викликає порушення їх динаміки. Саме в цьому полягає особливість практично всіх фінансових часових рядів. Прийняття нового закону, зміна ставки рефінансування, зміна керівництва однієї з найбільших компаній – ось перелік небагатьох факторів, здатних суттєво вплинути на фінансовий ринок.

Прогнозування змін фінансових ринків ускладнюється нелінійністю процесів, які не дозволяють ефективно застосовувати такі класичні методи, як ARIMA, MACD в силу їх значної інерційності. Проте сучасний підхід характеризується зміною парадигми. На зміну гіпотези ефективного ринку, арбітражної теорії, моделі оцінки капітальних активів, математичної моделі теорії портфеля Марковіца, заснованих на розподілі приростів Гаусса, теорії випадкових блукань приходить фрактальна теорія. Фінансові системи є нелінійними системами і мають ефект метелика, коли дуже маленькі зміни параметрів тягнуть за собою великі наслідки. Одним із завдань сучасної науки є розробка моделей і методів для точного прогнозування таких процесів.

1. Актуальність теми

Дослідження динаміки часових рядів дозволяють дати пояснення кризовим явищам в сучасних фінансово–економічних системах. Тому актуальним завданням є розробка методів виявлення періодичних коливань у фінансово–економічних часових рядах, а також побудова на їх основі моделей для ефективного прогнозування та попередження критичних явищ.

Останнім часом для розв'язання задачі прогнозування складних економічних процесів і систем з'явилося і розвивається такий напрямок, як еконофізіка, основою якої є дослідження економічних явищ, об'єктів і систем методами фізики [1]. Остання породила методи аналізу частотних характеристик часового ряду. Саме цим методам присвячена дана магістерська робота.

2. Мета і задачі дослідження

Метою дослідження є оцінка ефективності методів дискретного Фур'є–продовження і вейвлет–перетворення при прогнозуванні динаміки фінансових ринків.

Основні задачі дослідження:

1. Аналіз існуючих методів прогнозування динаміки фінансових ринків.
2. Розробка алгоритмів побудови прогнозів методами дискретного Фур'є та вейвлет перетворень.
3. Оцінка якості отриманих при прогнозуванні результатів.
4. Порівняльний аналіз результатів прогнозування за допомогою Фур'є та вейвлет перетворень і класичними методами прогнозування.

Об'єкт дослідження: методи Фур'є та вейвлет перетворення.

Предмет дослідження: застосування методів Фур'є та вейвлет перетворення при прогнозуванні динаміки фінансових тимчасових рядів.

3. Огляд досліджень та розробок

У сучасних дослідженнях, присвячених прогнозуванню, поширені підходи до екстраполяції тренда часового ряду аналітичної функцією [2], побудова багатофакторних регресійних або авторегресійних моделей [3, 45]. Крім того, популярними і затребуваними є методи, засновані на вейвлет–перетворенні [6] і методи прогнозування часових рядів, засновані на технології нейронних мереж [7].

Відома велика кількість робіт, в яких пропонується дослідження частотного спектру сигналу і побудова прогнозу, заснованого на використанні його найбільш характерних гармонік [8–10]. Вчені виявили за допомогою спектра перетворення Фур'є наявність низькочастотних і середньочастотних циклів в різних часових рядах. Однак класичний Фур'є–аналіз має ряд недоліків, серед яких значні похибки для частот, не кратних проміжку дискретизації. Особливо цей недолік є критичним для низькочастотних коливань. При використанні досить великого числа гармонік перетворення Фур'є хоча й задовільно описує такі коливання, однак визначення частоти (довжини періоду) переважаючих коливань здійснюється з помітними методичними похибками. Про це свідчать відхилення в спектрах перетворення Фур'є реальних фінансово–економічних рядів, які спостерігаються в роботах різних авторів.

Вейвлет–аналіз дозволяє подолати згадану вище проблему, оскільки дає інформацію як про амплітуду сигналу, так і про його фазу (зміщення дочірнього вейвлета). Тому розробка методів виявлення періодичних коливань на основі вейвлет–аналізу є одним з досить перспективних напрямків дослідницької роботи [1].

В роботі [11] для прогнозування рядів врожайності запропоновано використовувати так званий адаптивно–гармонійний аналіз, в основі якого лежить спроба емпірично розширити поняття Фур'є–розкладу на гармоніки з некратними довжині ряду періодами. Подібний підхід розвивається і в роботах Філера [12].

У серії робіт [13–15] запропоновано та розробляється цілий набір специфічних методів прогнозування часових рядів, що мають повторювані компоненти. Ці методи реалізують нові парадигми моделювання складних систем, найбільш повно викладені в монографіях [1, 15], і, по суті, являють собою ієрархічну систему економічних взаємодоповнюючих алгоритмів, заснованих на так званому дискретному Фур'є–продовженні (ДФП).

4. Методи прогнозування динаміки фінансових ринків

Перш ніж прогнозувати котирування за допомогою методів, заснованих на частотному розкладанні часового ряду, був проведений аналіз часового ряду за допомогою класичних методів прогнозування. В якості навчальної вибірки були взяті дані котирувань Forex за жовтень 2011 року з періодичністю в добу, 4 години, 1 годину, 30 хвилин.

Щоб описати залежність ряду була запропонована класична регресійна модель, що враховує дві основні компоненти часового ряду – тренд і циклічну компоненту. Вона має вигляд:

Також було висунуто припущення про те, що якість прогнозу залежить від розміру вікна – кількості даних, на основі яких буде побудована залежність, і зміщення (зсуву) цього вікна відносно першого елемента. Прогноз розраховувався на один наступний період. Якість прогнозу оцінювалася адитивною помилкою за допомогою методу найменших квадратів. Розрахунки були проведені в програмному пакеті Maple 15.

Запропоновано два варіанти розрахунку моделі:

1–й метод – програма враховувала повну залежність і обчислювала відразу всі параметри моделі;

2–й метод – на першому етапі програма виявляла тренд (тобто обчислювала перші два параметра), потім з вихідних даних віднімала значення змодельованого тренда, і по залишку знаходила циклічну залежність (обчислювала інші параметри).

Для виведення отриманих розрахунків в графічному вигляді були використані наступні показники:

р1 – відношення фактичного значення часового ряду до прогнозного;

m – розмір часового вікна;

sdv – зрушення часового вікна щодо першого елемента.

Результати обчислень за першим методом наведено на рисунку 1.

З даних, представлених на рисунку 1, можна побачити, що зі збільшенням розміру часового вікна точність прогнозу збільшується. Для годинної і півгодинної періодичності мінімальне значення оптимального розміру вікна дорівнює 20 періодам, відхилення прогнозних значень від фактичних складають не більше 3 %, а також згладжується вплив зсуву на якість прогнозу.

Також були розраховані середні значення параметра р1 для розміру вікна за першим методом розрахунку. Оскільки для всіх чотирьох періодичностей графіки мають приблизно однакову характерно вигнуту криву, в роботі представлений графік для періодичності в 4 години.

Аналіз рисунка 2 підтверджує, що точність прогнозу по даному методу обчислення підвищується з збільшенням розміру часового вікна. Результати обчислень по другому методу наведені на рисунку 3.

З даних, представлених на рисунку 3, можна побачити, що при розрахунку залежностей даним методом не існує загальної характерної залежності якості прогнозу від розміру часового вікна або його зміщення з часового ряду, як у попередньому випадку.

Порівнюючи ці два методи можна побачити, що при першому методі прогнозування розкид від найкращої до найгіршої точності прогнозу склав в середньому 60 %, а при другому – не перевищив 10 %. Однак, зі збільшенням розміру часового вікна в першому методі була досягнута точність прогнозу в 95–97 %, а при прогнозуванні другим методом вона коливалася в діапазоні 87–93 %. Отже, можна зробити висновок, що другий класичний метод декомпозиції є більш надійним для прогнозування з точністю прогнозу 90 %.

Необхідно підкреслити, що ці результати носять локальний характер для розглянутого часового інтервалу в умовах певної стабільності.

5. Зіставлення вейвлет і Фур'є перетворення

Класичне перетворення Фур'є (ПФ) є традиційним математичним апаратом для аналізу стаціонарних процесів. При цьому сигнали розкладаються у базисі косинусів і синусів або комплексних експонент. Ці базисні функції тягнуться уздовж усієї осі часу.

З практичної точки зору і з позицій точного представлення довільних сигналів ПФ має ряд обмежень і недоліків. Маючи хорошу локалізацію по частоті, воно не має часового дозволу. ПФ навіть для однієї заданої частоти вимагає знання сигналу не лише у минулому, але і в майбутньому, а це – теоретична абстракція. Обумовлено це тим, що базисною функцією при розкладанні в ряд Фур'є є гармонійне коливання, яке математично визначене на часовому інтервалі від, – ∞ до + ∞. ПФ не враховує, що частота коливання може змінюватися в часі. Локальні особливості сигналу (розриви, сходинки, списи і тому подібне) дають ледве помітні складові спектру, по яких виявити ці особливості, і тим більше їх місце і характер, практично неможливо. В цьому випадку неможливе і точне відновлення сигналу із–за появи ефекту Гіббса. Для отримання високочастотної інформації про сигнал з хорошою точністю слід витягати її з відносно малих часових інтервалів, а не з усього сигналу, а для низькочастотної спектральної інформації – навпаки. Крім того, на практиці не усі сигнали стаціонарні. а для нестаціонарних сигналів трудності ПФ зростають багаторазово.

Частина вказаних труднощів долається при використанні віконного ПФ:

у якому застосовується попередня операція множення сигналу S(t) на вікно w(t–b); при цьому вікном є локальна в часі функція (наприклад, прямокутна, тобто w(t)=1 при 0 < t < τ і w(t)=0 при t < 0 і t > τ, переміщувана уздовж осі часу t (рис. 4) для обчислення ПФ в різних позиціях. В результаті виходить поточний спектр, тобто частотно–часовий опис сигналу.

Якщо вікно, показане на рис.4 , переміщати скачками (через τ) уздовж усього часу існування сигналу S(t), то за деяке число таких переміщень можливий перегляд усього сигналу. Так що замість звичайної спектрограми вийде набір спектрограм, схемно представлений у вигляді прямокутників на рис. 5.а. Такий спектральний аналіз рівносильний аналізу за допомогою набору фільтрів з постійною шириною смуги пропускання, рівною Δω ≈ 2π/τ.

Очевидно, що. оскільки кожне вікно виділяє свою невелику ділянку в часі, точність представлення і дозоляюча здатність (за часом) можуть бути підвищені. Однак зважаючи на відомий принцип невизначеності (Δωτ = const) неможливо отримати одночасно високе розділення і по частоті, і за часом. Вікну з вузькою шириною (τ) в часі відповідатиме поганий дозвіл по частоті (велика величина Δω).

Недолік віконного ПФ полягає в тому, що використовується фіксоване вікно і, отже, фіксований дозвіл за часом і частотою для усіх точок площини перетворення (рис. 5.а), яке не може бути адаптоване до локальних властивостей сигналу.

ВП має істотну перевагу перед ПФ передусім за рахунок властивості локальності у вейвлетів. У вейвлет–перетворенні операція множення на вікно як би міститься в самій базисній функції, яка звужує і розширює вікно (рис. 5.б): із зростанням параметра а збільшується дозвіл по частоті і зменшується дозвіл за часом, а зі зменшенням цього параметра зменшується дозвіл по частоті і збільшується за часом. Звідси з'являється можливість адаптації до сигналу вибору параметрів вікна. Рухливе частотно–часове вікно однаково добре виділяє і низькочастотні, і високочастотні характеристики сигналів. Ця властивість ВП дає йому велику перевагу при аналізі локальних властивостей сигналів.

Можливо локально реконструювати сигнал: реконструювати тільки частину сигналу або виділити вклад певного масштабу. Якщо вейвлет–коефіцієнти схильні до випадкових помилок, вони діятимуть на сигнал, що реконструюється, локально поблизу положення обурення, а ПФ поширює помилки по усьому відновлюваному сигналу [16].

Саме завдяки виявленню локальних особливостей сигналу, принципово відсутньому у ПФ, ВП знайшло широке застосування для аналізу тонкої структури сигналів зображень, для їх стискування і очищення від шуму, що важливо і корисно в радіотехніці, електроніці, гідроакустиці, геофізиці, медицині і інших галузях науки і техніки. При цьому варто відмітити, що ВП ні в якому разі не є заміною традиційного перетворення Фур'є і не зменшує його достоїнств і значущості при роботі із стаціонарними процесами і коли немає необхідності досліджувати локальну структуру сигналів. ВП просто інше і дозволяє подивитися на досліджуваний процес з іншої точки зору.

Висновки

В ході проведення дослідження проблеми були проаналізовані існуючі методи прогнозування динаміки фінансових ринків, а також на основі порівняння, виявлені їх сильні і слабкі сторони.

Вейвлет–аналіз дозволяє проводити аналіз часових рядів у різних часових шкалах. Сам по собі вейвлет–аналіз за змістом аналогічний Фур'є–аналізу. В обох випадках мова йде про подання досліджуваного процесу у вигляді лінійної комбінації різних функцій, іменованих базисом відповідного перетворення. Вейвлет–аналіз являє порівняно зі спектральним Фур'є–аналізом наступний логічний крок: техніка виділення вікон для аналізу із змінним розміром. Вейвлет–аналіз дозволяє використовувати довгі інтервали, де необхідно отримати точну низькочастотну інформацію, і короткі тимчасові інтервали, де необхідно отримати високочастотну інформацію.

Далі буде порівняно якість прогнозів класичними методами та методами, заснованими на частотному розкладанні тимчасового ряду, такими як Фур'є–продовження і вейвлет–перетворення, а також будуть розроблені і застосовані додаткові параметри оцінки якості прогнозу для інших фінансових ринків відмінних від Forex.

При написанні даного реферату магістерська робота ще не завершена. Остаточне завершення: грудень 2012 року. Повний текст роботи та матеріали по темі можуть бути отримані у автора або його керівника після вказаної дати.

Перелік посилань

1. Синергетичні та еконофізичні методи дослідження динамічних та структурних характеристик економічних систем.// Дербенцев В.Д., Сердюк О.А., Соловйов В.М., Шарапов О.Д. – Монографія. – Черкаси: Брама –Україна, 2010. – 287 с.
2. Присенко Г.В., Равікович Є.І. Прогнозування соціально–економічних процесів: Навч. посіб. – К.: КНЕУ, 2005. – 378 с.
3. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов Лукашин Ю.П.: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 416 с.
4. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. – М.: МИР, 1974. – 406 с.
5. Зайченко Ю.П. Нечеткие модели и методы в интеллектуальных системах: Учеб. пособие. – К.: Слово, 2008. – 344 с.
6. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук, 2001. – Том 171, №5. – С. 465–501
7. Ежов А.А., Шумский С.А. Нейрокомпьютинг и его применения в экономике и бизнесе. – М.: МИФИ, 1998. – 224 с.
8. Korotayev A. Kondratieff waves in global invention activity (1900 –2008) / A. Korotayev, J. Zinkina, J. Bogevolnov // Technological Forecasting and Social Change. – 2011. – Vol. In Press, Corrected Proof.
9. Brooks C. Detecting intraday periodicities with application to high frequency exchange rates / Brooks C., Hinich M.J. // Journal of the Royal Statistical Society: Series C (Applied Statistics). – 2006. – Vol. 55, 2. – P. 241–259.
10. Hinich M.J. Randomly modulated periodicity in the US stock market / Hinich M.J., Serletis A.// Chaos, Solitons Fractals. – 2008. – Vol. 36, 3. – P. 654–659.
11. Грицюк П.М. Аналiз, моделювання та прогнозування динаміки врожайностi озимої пшеницi в розрiзi областей України: монографiя / П. М. Грицюк. – Рiвне: НУВГП, 2010. – 350 с.
12. Філєр З. Біржові паніки, кризи та Сонце //Энергосбережение, энергетика, энергоаудит, №2 (60), 2009. – С. 49–54.
13. Чабаненко Д.М. Дискретне Фур'є –продовження часових рядiв // Системнi технологiї. Регiональний мiжвузiвський збiрник наукових праць. – Днiпропетровськ, 2010. – № 1 (66). – С. 114–121.
14. Chabanenko D. Discrete Fourier forecasting of economic dynamic's time series / D. Chabanenko, O. Nechinennaya // Information Technologies, Management and Society. Theses of the International Conference. Information Technologies and Management. – Riga: 2010. – P. 43–44.
15. Релятивистская квантовая эконофизика. Новые парадигмы моделирования сложных систем. // Сапцин В.М., Соловьев В.Н.. – Черкассы: Брама –Украина, 2009. – 64 с.
16. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет –преобразования: Учеб. Пособие. – Новосибирск: Изд –во НГТУ, 2003. – 104 с.

Резюме Біографія