ДонНТУ   Портал магістрів

Синицька Дарина Андріївна

Факультет комп'ютерних наук та технологій

Кафедра системного аналізу та моделювання

Спеціальність Системний аналіз і управління

Управління в моделях крісталізації речовини

Науковий керівник: д.ф.-м.н., проф. Міненко Олександр Степанович

Резюме Біографія Реферат

Реферат за темою випускної роботи

Ця робота знаходиться в стадії розробки. Більш детальна і кінцева інформація за цим проектом буде надана після завершення написання дипломної роботи.

Зміст

• Вступ
• 1. Постановка завдання
• 2. Методи обчислення температурного поля
• 3. Застосування нечіткої логіки
• Перелік посилань

Вступ

Розповсюдження тепла в різних середовищах чинить великий вплив на характер протікання багатьох важливих для практики процесів. Тому вивченню питань, пов'язаних з розповсюдженням тепла, присвячена величезна кількість робіт, як фізичних, так і математичних.

Серед завдань, пов'язаних з розповсюдженням тепла, виділяється важливий клас задач, в яких досліджувана речовина зазнає перетворення, в результаті чого вона переходить з однієї фази в іншу з виділенням або поглинанням тепла. Подібні завдання (вони називаються завданнями типу Стефана) виникають у випадках плавлення і затвердіння речовини.

Суттєвою рисою таких завдань є наявність рухомої поверхні розділу між двома фазами (рідкої і твердої), причому закон руху цієї поверхні заздалегідь невідомий і його слід визначати. Саме на цій поверхні відбувається поглинання або виділення тепла, пов'язане з фазовим переходом. Термічні властивості фаз по обидві сторони рухомої поверхні можуть виявитися різними. Завдання цього класу помітно складніші тих, в яких відсутній перехід речовини з однієї фази в іншу.

Важливим і цікавим завданням такого класу, якому присвячена дійсна робота, є завдання управління процесом кристалізації речовини.

Актуальність представленої роботи зумовлена як практичною затребуваністю нечіткого управління процесу кристалізації для об'єкта зі складною геометрією, так і необхідністю розробки методології чисельного рішення задачі оптимального управління цим процесом, що вносить вклад у теорію оптимізації складними динамічними системами.

Виникаючі практичні завдання вимагають не тільки опису та вивчення процесу кристалізації металу, а й оптимального управління цим процесом, тому що це дозволяє поліпшити якість одержуваних виробів і знизити витрати при відділенні виробу від форми.

1. Постановка завдання

Для визначення оптимальних теплофізичних умов формування злитка були проведені розрахунки в рамках математичної моделі теплових процесів в циліндричному злитку [1], адаптованої для випадку полого злитка (рис.1). У моделі, що використовується, рідкий метал зливається в кристалізатор порціями, а злиток з нього витягується періодично. Поверхня злитка обігрівається трьома електронними променями, причому потужність W₃ одного з них рівномірно розподілена в центральній зоні (R₂ < r < R₁), а двох інших W₁ та W₂ сконцентрована в периферійних зонах. У математичній моделі контрольованими технологічними параметрами є: потужності променів W₁, W₂ та W₃, періодичність заливки τ, висота порції h, яка одночасно зливається в кристалізатор, величина зміщення периферійного променя від центру на стінку кристалізатора d.

Процес перенесення тепла описується рівнянням теплопровідності в циліндричній системі координат (r,O,z) випадку осьової симетрії. Ось OZ системи координат збігається з оссю злитка (ось симетрії), а ось OR – з радіальним напрямком. Початок координат заданий на нижній основі злитка.

Рівняння теплопровідності в цьому випадку приймає вигляд

де c – питома теплоємність; ρ – щільність; λ – коефіцієнт теплопровідності; R₁ и R₂ – зовнішній і внутрішній радіуси злитка; s(t) – поточна висота злитка.

При цьому гранична умова на внутрішній поверхні злитка – теплообмін зі стінкою дорна. Залежно від того, в якому співвідношенні знаходиться температура поверхні злитка з деякою критичною температурою T_K (за якої поверхня злитка відділяється від стінки кристалізатора), теплообмін злитка з кристалізатором здійснюється за різними законами.

Під час T < T_K – за законом Стефана-Больцмана

де ε – ступінь чорноти; σ – постійна Стефана-Больцмана; T_cρ – температура стінки кристалізатора.

При T > T_K – за законом Ньютона-Ріхмана

де α – коефіцієнт теплопередачі між злитком і кристалізатором.

2. Методи обчислення температурного поля

Маємо наступні умови:

U = X(x), Y(y)

X = C₁cosλx + C₂sinλx

(– λC₁sinλx + C₂cosλx) ± ω₀(C₁cosλx + C₂sinλx) = 0

λtgx = ω₀, λ = λ_n

Y″ + ωY′ – λ²Y = 0, Y = e^μy

μ² + ωμ – λ² = 0

У результаті розрахунків отримаємо наближення порядку n у загальному випадку за мінімізації функціоналу

Для оцінки похибки методу можна скористатися оцінкою:

3. Застосування нечіткої логіки

У дійсній роботі досліджується процес управління охолодженням рідкої речовини в ливарній формі, що має складну структуру. Остигання об'єкта відбувається в спеціальній установці, яка дозволяє управляти цим процесом. Об'єкти і установки, подібні розглянутим у роботі, використовуються в металургійній промисловості.

Нехай D = (–1 < x < 1, y < 0) півсмуга, заповнена твердим металом. Позначимо через u(x,y)температуру цього металу. Потрібно визначити температуру u(x,y) за наступними умовами:

Тут ω та ω₀ – сталі, відповідно, число Пекле и Нуссельта. Рішення задачі (1–4) має вигляд

де , n = 1, 2, 3, …, λ_n – позитивні корені рівняння λ = ω₀ctgλ.

Ототожнимо тепер температуру u(x,y) з температурою твердого злитка, що знаходиться в кристалізаторі при електронному переплаві. Для витягування злитка із кристалізатора поверхня злитка обігрівається трьома електронними променями W₁, W₂, W₃, причому потужність W₃ одного з них рівномірно розподілена в центральній зоні {–1 ≤ x ≤ 1, y = 0}, а два інших сконцентровані по шматках x = ±1. Незалежно від того, в якому відношенні знаходиться температура поверхні злитка з критичною температурою T^*, за якої поверхня злитка відділяється від стінок кристалізатора, тим не менш, теплообмін злитка з кристалізатором здійснюється за формулою (2).Для отримання температури злитка досить покласти у формулі (5) ν(x) = (W₁, W₂, W₃).

Далі введемо в розгляд функціонал

Розглядається наступна задача. Потрібно визначити потік ν(x) з допустимої множини U, який доставляє найменше значення функціоналу I(ν). Мінімізуюча послідовність ν_n будується за формулою ν_n+1 = ν_n + ε_n(ν_n–1 – ν_n), параметр ε_n вибирається з умови min_0≤εn≤1I(ν_n–1–ν_n)). В якості області визначення функції U береться безліч кусочно-постійних східчастих функцій:

За цього формула (5) прийме вигляд:

а I(ν) = I(ν₀,ν₁, ν₂, ..., ν_m).

За чисельної реалізації задачі необхідно врахувати обмеження 2500 ≤ ν(x) ≤ 5000,

тут ν(x) –потужність потоку в одиницях МВт/м².

Нехай x₁, x₂, ..., x_n – фактори, що впливають на процес кристалізації, а y₁, y₂, ..., y_n – умови, при яких відбувається поява нового злитка. Тоді нечітке управління в даній задачі представляється у вигляді функціонального відображення X(x₁, x₂, ..., x_n)→Y(y₁, y₂, ..., y_n).

Заради простоти в якості терм-множин лінгвістичних змінних x₁, x₂, x₃, где x₁ = {"температура"}, x₂ = {"спосіб нагріву"}, x₃ = {"злиток металу"}, будемо використовувати множини:

T = {"мінімальна","середня","максимальна"},

W = {"мінімальний","середній","максимальний"},

L = {"мінімальний","середній","максимальний"}.

Таким чином, маємо x = (x₁, x₂, x₃)→Y∈[α,β], де α та β – деякі числа (вони вибираються таким чином, щоб відбулося відділення злитка від стінок кристалізатор), а для вихідної лінгвістичної змінної Y (температура поверхні злитка) використовуватиметься терм-множина Q = {мінімальна","середня","максимальна"}.

Чисельний розрахунок, що дозволяє побудувати нечітке управління, здійснюється за допомогою алгоритму Мамдані. При цьому використовувалися такі значення параметрів: 400мм ≤ L ≤ 6000мм, 2500 Вт/м² ≤ W ≤ 5000 Вт/м².

Перелік посилань

1. Жук Г.В., Ахонина Л.В., Тригуб Н.П. Математическое моделирование процессов кристаллизации титанового сплава Ti–6A1–4V при ЭЛПЕ // Там же. – 1998. – № 2 – С. 21–25.
2. Миненко А.С., Шевченко А.И. Приближенный анализ пространственной конвективной задачи Стефана // Доповіді НАН України. – 2010. – № 10 – С. 29–33.
3. Миненко А.С., Шевченко А.И. Приближенный анализ стационарной конвективной задачи Стефана // Доповіді НАН України. – 2010. – № 5 – С. 36–40.
4. Миненко А.С., Шевченко А.И. Приближенный анализ многомерной конвективной задачи Стефана // Доповіді НАН України. – 2010. – № 4 – С. 30–34.
5. Миненко А.С. Математическое моделирование процессов кристаллизации металла // Искусственный интеллект. – 2010. – № 2 – С. 37–43.
6. Миненко А.С., Исследование стационарной конвективной математической модели кристаллизации вещества // Искусственный интеллект. – 2010. – № 1 – С. 103–107.
7. Шевченко А.И., Миненко А.С. Математическое моделирование процессов кристаллизации металла с учетом конвекции и примесей // Доповіді НАН України. – 2011. – № 6 – С. 35–39.
8. Миненко А.С., Шевченко А.И. Задача Стефана при наличии конвекции // Доповіді НАН України. – 2012. – № 1 – С. 35–39.
9. Миненко А.С., Гунько С.А. Численный анализ конвективной модели кристаллизации // Искусственный интеллект. – 2012. – № 1 – С. 43–48.
10. Миненко А.С. Приближенный анализ нелинейной конвективной математической модели // Искусственный интеллект. – 2012. – № 1 – С. 36–43.
11. Миненко А.С., Павлыш В.Н. Применение математического моделирования в задачах управления информационными процессами с элементами нечеткой логики при автоматизации технических систем. // Збірник наукових праць Донецького державного університету управління. Серія: Державне управління. Випуск: Соціальний менеджмнет і управління інформаційними процесами – Донецьк: ДонДУУ, 2010. – С. 43–48.
12. Миненко А.С., Волченко Е.В., Шишкин С.А. Метод построения взвешенных временных рядов для решения задачи прогнозирования // Східно-Європейський журнал передових технологій. – Харків, 2012. – № 2(56). – С. 20–34.
13. Миненко А.С., Шевченко А.И. Методы исследования нелинейных математических моделей. – Київ: Наукова думка, 2012. – 130 с.
14. Шевченко А.И., Миненко А.С., Золотухина О.А. Численный анализ одной нелинейной математической модели // Доповіді НАН України. – 2012. – № 10 – С. 35–38.
15. Миненко А.С., Шевченко А.И. Методы исследования нелинейных математических моделей – Національна академія наук України Інститут проблем штучного інтелекту, Донецьк, 2012. – 132 с..
16. Шевченко А.И., Миненко А.С. Математическое моделирование одного класса сложных систем с применением нечеткой логики // Доповіді НАН України. – 2013. – № 5 – С. 51–54.
17. Шевченко А.И., Миненко А.С. Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики // Доповіді НАН України. – 2013. – № 6 – С. 47–51.
18. Шевченко А.И., Миненко А.С., Сыпко И.А. Моделирование одного класса сложных систем с нечетким управлением // Доповіді НАН України. – 2013. – № 8 – С. 52–54.
19. Шевченко А.И., Миненко А.С. Об одном классе интегральных функционалов с неизвестной областью интегрирования // Доповіді НАН України. – 2013. – № 12 – С. 48–52.
20. Миненко А.С., Шевченко А.И., Сыпко И.А., Гололобова А.С. Нечеткое управление в нелинейных теплофизических моделях. // Праці міжнародної конференції Питання оптимізації обчислень (ПОО-XL), К.: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова, 2013. – С. 275–277.