Зори С. А., Бездетный Н. А. Методы, технологии и средства для моделирования и симуляции распространения эпидемии вируса. В статье проанализированы существующие методы, технологии и средства для реализации модели и симуляции распространения эпидемии вируса, выявлены их достоинства и недостатки. В результате выполненного анализа выполнена общая постановка задачи и определены основные цели и задачи по ее реализации.

Ключевые слова: моделирование, симуляция, вирус, эпидемия, прогнозирование, SIR-модели, программирование, C#, Unity.

Введение

Вирусы — это частицы, микропаразиты, функционирующие на границе живых организмов и химических соединений. Имеют способность создания кристаллических структур, что характерно для неживой материи, а с другой стороны, могут размножаться и разносить болезни. Попадая в клетки слизистых оболочек человека, они начинают размножаться и разрушают клетки организма, что приводит к образованию воспалительных процессов и, как следствие, приводят к проблемной симптоматике [1].

Примерами известных вирусных заболеваний человека могут служить простуда, грипп, ветряная оспа и простой герпес. Многие серьёзные болезни, например, лихорадка Эбола, СПИД, птичий грипп и пневмония тоже вызываются вирусами.

Эпидемиология является частью медицинской науки, изучающей передачу и контроль вирусных инфекций среди людей. Она используется, чтобы приостановить распространение инфекции в популяции во время вспышки вирусного заболевания. Предпринимаются контрольные меры, которые основаны на знании того, как распространяется вирус. Если вспышка приводит к высокому числу случаев заболевания в популяции или регионе, то она называется эпидемией. Если вспышки имеют широкое распространение, то говорят о пандемии [2].

В связи с этим проблема вирусной заболеваемости и возникновение эпидемий требует оперативного решения и активно исследуется во всем мире, в том числе - и с использованием математического аппарата. Математическое компьютерное моделирование и симуляция заболеваний – мощный и точный инструмент для исследования механизмов распространения болезни. Такие модели предназначены для прогнозирования и оценки динамики передачи заболеваний. Это позволит анализировать и контролировать ситуацию, связанную с распространением вируса, а также предугадывать серьёзные последствия и принимать соответствующие меры по их устранению. Таким образом, тема данной работы является актуальной и востребованной.

Обзор существующих методов, технологий, моделей и средств

Математические методы для изучения заболеваний были впервые применены в 1760 году Даниэлем Бернулли. С их помощью, он оценивал эффективность различных способов прививки против оспы. В 1840 году Уильям Фарр описал данные по смертности от оспы в Великобритании, кривой нормального распределения. Позже, данный метод был развит Джоном Браунли, который опубликовал в 1906 году статью «Статистический подход к иммунной защите: теория эпидемий» [3], где он сравнивал ряды эпидемиологических данных на основе распределения Пирсона. Два других учёных того времени, Хамер и Росс, применив одними из первых математическое описание распространения болезней, смогли решить задачи по выяснению механизмов регулярного возобновления эпидемии кори и установлению взаимосвязи между численностью комаров и возникновением малярии [4].

Одной из наиболее ценных работ, посвященных моделированию эпидемии, является работа У.Кермака (W.O.Kermack) и А.МакКендрика (A.G.McKendrick) «A Contribution to the MathematicalTheory of Epidemics». Концепция Kermack-McKendrick – это гипотеза о распространении инфекционных заболеваний среди населения. В 1927 году они разместили свою теорию в статье [5], которая стала источником SIR-модели. В этой модели различают три группы популяции: здоровые или восприимчивые (от англ. susceptible) индивидуумы, способные заразиться при контакте с инфицированными (от англ. infected), а также выздоровевшие, которые перестали распространять болезнь (от англ. recovered). Эта модель не потеряла своей актуальности до сих пор и хорошо подходит для моделирования.

В книге Mathematical Models in Biology [6] детально обсуждается модель SIR, а также её дополнения и модификации: SI, SIS, SIRS. Особенность этих моделей заключаются в том, что человек после болезни может повторно войти в группу восприимчивых лиц и быть снова инфицирован. Другая модификация SEIR, показывает модель, где человек может быть заражён, но находится на стадии инкубационного периода.

Herbert W. Hethcote, в своей статье [7], проанализировал множество математических моделей распространения инфекционных заболеваний среди популяции и применил их к конкретным заболеваниям. Отдельное внимание уделяется модели MSEIR, которая учитывает рождаемость и смертность. В ней население разделено на 5 групп: с пассивным иммунитетом, чувствительные, латентные, инфицированные и невосприимчивые.

В 2020 году в Базельском университете команда Ричарда Нейерома модифицировала модель SEIR с учётом специфики новой пандемии коронавируса. Доработанная модель включает концепцию так называемого эпидемического перехода. Другими словами, симуляция ведёт себя совсем по-разному в зависимости от переменной Ro. Каждый инфицированный человек может заразить несколько здоровых. Ro показывает среднее количество людей, которое один инфицированный может заразить в период своей болезни. Если Ro меньше единицы, эпидемия постепенно стихает, а если больше – экспоненциально растёт. Как работает Ro, зависит от конкретного вируса, процента населения, у которого вырабатывается иммунитет к вирусу, а также от мер, которые принимает население для сдерживания эпидемии [8].

В качестве наглядного примера математической модели в непрерывном времени можно привести классическую модель Кермака-Маккендрика. Для начала определяются переменные и параметры модели.

Таблица 1 – Переменные и параметры модели

Популяция считается фиксированной, т.к. сумма численностей всех групп даёт постоянное значение N. Далее модель может быть выражена обыкновенными дифференциальными уравнениями:

Начальные условия в момент времени t = 0

Правая часть уравнения (1) описывает уменьшение популяции восприимчивых индивидуумов за счет заражения инфицированными индивидуумами восприимчивых. Первое слагаемое правой части уравнения (2) описывает увеличение популяции инфицированных индивидуумов, за счет заражения восприимчивых; второе слагаемое правой части уравнения (2) описывает уменьшение популяции инфицированных индивидуумов за счет выздоровления или смерти индивидуумов. Правая часть уравнения (3) описывает увеличение популяции невосприимчивых индивидуумом за счет выздоровления или смерти инфицированных [9]. Такой переход можно описать в виде схемы (см. рис 1.).

Стоит отметить, что правые части уравнений (1), (2), (3) в сумме дают ноль, так что общий размер популяции остается неизменным. Это важное свойство данной модели. Для его сохранения, в класс невосприимчивых попадают и выздоровевшие индивидуумы и умершие. Это логичный прием, так как в обоих этих случаях индивидуум не может заразить остальную популяцию [9]. Параметр интенсивности инфицирования восприимчивых, называемый также силой инфекции, имеет следующий вид:

Касаемо сегодняшней ситуации в мире, то в интернете можно найти различные математические модели, основанные как на вышеупомянутых методах, так и на кардинально новых принципах и методиках. Но зачастую, авторы берут уже существующий метод или модель и начинают развивать её по своему усмотрению. Например, за основу своей модели берут 3 группы людей из SIR-модели и вычисляют ситуацию, не при помощи уравнений и математики, а визуально моделируют и программируют поведение людей и процесс распространения вируса среди них. Такая интерпретация модели в интерактивные системы более проста для восприятия. Они наглядно показывают всю возможную опасность и помогают лучше понимать, что может произойти. А при помощи ввода различных мгновенно регулируемых параметров и факторов описывают как можно влиять и управлять ситуацией. То есть происходит процесс прогнозирования и контроля последствий.

Один из таких примеров – симуляция из статьи [10] журналиста Гарри Стивенса в The Washington Post «Почему такие вспышки, как коронавирус, распространяются по нарастающей, и как ослабить их рост». Основа данной модели состоит в том, что визуально показывается замкнутое пространство, по которому в случайном направлении могут перемещаться небольшие шарики. То есть представлена абстракция города с населением. Каждый шарик имеет цвет в зависимости от его текущего состояния – голубой – здоровый, коричневый – больной и розовый – выздоровевший. При этом моделирование заражения происходит как в реальной жизни: при контакте здорового шарика с больным, первый может заразится, а затем через некоторое время выздороветь (см. рис. 2).

При помощи ввода различных факторов и условий, которые меняли поведение шариков или вводили ограничения, автор показал 4 модели, описанные при помощи графиков. В каждом из них описаны варианты возможного распространения вируса в зависимости от предпринятых мер (см. рис. 3). Следует заметить, что в данной модели отсутствует такой показатель, как смертность, которая может быть результатом заражения.

Другая статья [11] рассказывает о первокурсниках ФКН, которые создали похожую симуляцию распространения коронавируса. В симуляции можно проследить, как соблюдение режима самоизоляции и правил гигиены жителями города влияет на динамику заболеваемости, отражаемой на графиках. В ней присутствуют 4 регулируемых параметра, которые влияют на поведение «людей», а динамика эпидемии отображается на графиках. Основой модели является минималистическая карта города, где шарики уже ходят, не в случайном направлении, а по улицам, от одного дома к другому. То есть у них определен заданный маршрут (см. рис. 4).

Также стоит отметить, что на карте присутствуют специальные здания. Синим цветом обозначены постройки моделирующие общественные места, где обычно присутствует большое количество людей. По сравнению с прошлой рассматриваемой абстрактной моделью, данная модель уже более приближенна к реальности и симулирует естественное поведение человека.

Основные достоинства и недостатки рассмотренных методов, технологий, моделей и средств

Главным плюсом, каждой из рассмотренных методик, является то, что независимо от сложности и реализации модели, мы получаем какой-то набор данных, которые впоследствии можно обработать, например, спроецировать на графиках или спрогнозировать поведение ситуации и методов её решения. Отдельно можно выделить визуальные модели, которые по точности не уступают математическим, а по наглядности лучше раскрывают и показывают всю ситуацию.

Однако, как указывалась выше, основным минусом некоторых рассмотренных моделей и методик является отсутствие наглядной реализации, визуальной симуляции «реальной жизни».

Моделирование ситуации при помощи математики (моделей на основе уравнений, формул) может не учитывать большое количество внешних факторов, что иногда приводит к ошибочным результатам и неправильному решению по урегулированию ситуации. Что касается визуального моделирования (симуляции), то здесь существующие модели либо приводятся к абстрактному минимуму (город – замкнутый контур, население города – круги, которые двигаются в разных направлениях и т.п.), либо им не хватает факторов и условий, которые повторяют реальную жизнь.

В качестве решения данной проблемы предлагается выполнить, на основе выбранной и модернизированной с точки зрения ее адекватности модели, наглядную визуальную симуляцию в трёхмерном пространстве с использованием движка Unity и языка программирования C#. Это позволит моделировать и визуально имитировать ситуацию распространения эпидемии вируса с учетом многих изменяемых факторов.

Общая постановка задачи

Цель работы – разработка модели распространения эпидемии вируса и ее визуальная симуляция с использованием движка Unity. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Анализ актуальных моделей распространения эпидемии вируса, выявление их достоинств и недостатков.
2. Проанализировать реальные факторы для приближения моделей к большей адекватности.
3. С учетом выполненного анализа разработать базовую многофакторную модель распространения эпидемии вируса с повышенной адекватностью к реальности.
4. Выполнить проверку разработанной модели на основе реальных статистических данных.
5. Разработать стратегию визуальной симуляции распространения эпидемии вируса на основе предложенной модели и средств ее реализации на базе игрового движка Unity.
6. Выполнить проектирование приложения и его программных модулей для моделирования и визуальной симуляции распространения эпидемии вируса и реализовать его прототип.
7. Выполнить анализ симуляций и сравнение с реальными данными, определить характеристики и достоинства и недостатки предложенной модели и разработанных средств визуальной симуляции.

Заключение

При рассмотрении существующих методов, технологий и средств для разработки модели и симуляции распространения эпидемии вируса были выявлены их достоинства и недостатки, проанализированы основные принципы и методики математического и визуального моделирования, а также была выполнена общая постановка задачи, поставлена цель и составлен перечень задач для ее реализации.

Литература

1. Что такое вирус [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://neosine.pl/ru/viruses-1/what-is-a-virus – Загл. с экрана.
2. Вирусы [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Вирусы – Загл. с экрана.
3. Brownlee, John. "Statistical studies in immunity: the theory of an epidemic." Proceedings of the Royal Society of Edinburgh (1906): 484–521.
4. Леоненко В.Н. Математическая эпидемиология. Учебно–методическое пособие по выполнению лабораторных работ. Учебно–методическое пособие. – СПб: Университет ИТМО, 2018. – 38 с.
5. Kermack, W. O.; McKendrick, A. G. A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, 1927. Vol. 1 15, No. A771, P. 700–72 1.
6. Edelstein–Keshet L. Mathematical Models in Biology. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2005.
7. Herbert W. Hethcote. The Mathematics of Infectious Diseases // SIAM Review, 2000. Vol. 42, Iss. 4, P. 599-653.
8. Моделирование распространения вируса [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://nfp2b.ru/2020/04/06/modelirovanie-rasprostraneniya-virusa/ – Загл. с экрана.
9. Математическая модель эпидемии лихорадки Эбола [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://nauchkor.ru/ uploads/documents/ 587d36545f1be77c40d58cd2.pdf – Загл. с экрана.
10. Почему такие вспышки, как коронавирус, распространяются по нарастающей, и как ослабить их рост [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://www.washingtonpost.com /graphics/2020/ world/corona-simulator/ – Загл. с экрана.
11. Первокурсники ФКН создали симуляцию распространения коронавируса [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.hse.ru/our/news/359308614.html – Загл. с экрана.

Зори С. А., Бездетный Н. А. Методы, технологии и средства для моделирования и симуляции распространения эпидемии вируса. В статье проанализированы существующие методы, технологии и средства для реализации модели и симуляции распространения эпидемии вируса, выявлены их достоинства и недостатки. В результате выполненного анализа выполнена общая постановка задачи и определены основные цели и задачи по ее реализации.

Ключевые слова: моделирование, симуляция, вирус, эпидемия, прогнозирование, SIR-модели, программирование, C#, Unity.

Zori S. A., Bezdetniy N. A. Methods, technologies and tools for modeling and simulating the spread of a virus epidemic. The article analyzes the existing methods, technologies and tools for the implementation of the model and simulation of the spread of the virus epidemic, identifies their advantages and disadvantages. As a result of the analysis performed, the general statement of the problem was completed and the main goals and objectives for its implementation were determined.

Key words: modeling, simulation, virus, epidemic, prediction, SIR-models, programming, C#, Unity.