В инженерной практике часто приходится иметь дело с уравнением вида (1) описывающим движение материальной точки массы m под действием силы F, зависящей как от положения x точки, так и от ее скорости. В большинстве случаев решение уравнения (1) в замкнутой форме получить не удается, но особенности такого уравнения, представляющие, как правило, наибольший интерес, можно изучить методами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений при небольших затратах времени.

Сделаем это на примере уравнения (1), для чего введем обозначение скорость=у, тогда (1) запишется в виде системы уравнений перного порядка (2).

Если t рассматривать как параметр, то решением системы (2) является пара функций x(t) и y(t), определяющая на “фазовой плоскости” (x,y) некоторую кривую (фазовую траекторию), по характеру которой можно судить об особенностях решения уравнения (1).

Задачу полезно обобщить, рассматривая вместо (2) систему более общего вида (3). Исключая t, получим уравнение фазовых траекторий (4) сплошь заполняющих плоскость (x,y). Для того, чтобы через заданную точку М(x,y), принадлежащую некоторой области D фазовой плоскости, проходила единственная фазовая траектория, функция F(x,y) и ее частная производная Fy’(x,y) должны быть непрерывными (теорема Коши). Исключения составляют так называемые особые точки, где нарушаются требования теоремы Коши, т. к. в них Y(x0,y0)=X(x0,y0)=0. Применительно к системе (2) особой точкой будет М(x0,0), где y=0 и f(x0,0)=0. В этой точке скорость и ускорение равны нулю, т. е. она является точкой покоя системы.

Состояние равновесия системы характеризуется видом фазовых траекторий в окрестности особых точек и поэтому изучение типов последних представляет большой практический интерес. Основной вклад в решение этой проблемы внесли Жуковский и Пуанкаре. Согласно терминологии, предложенной последним, особые точки подразделяются на узел, седло, фокус и центр.

Раскладывая в ряд Тейлора в окрестности особой точки М0(x0,y0) функции Х(х,у) и Y(x,y), и ограничиваясь линейными членами разложения, вместо (3) получим систему (5) где е= х-х0, п=у-у0.

Если матрица коэффициентов системы (5) невырожденная, то точка М0(х0,у0) является изолированной особой точкой (в ее окрестности нет других особых точек). Пусть л1 и л2 – собственные значения матрицы коэффициентов, а для этого, как известно, они должны удовледворять уравнению (6) тогда, если: 1) л1 и л2 вещественны и одного знака, то М0 – узел; 2) л1 и л2 вещественны и разных знаков, то М0 – седло; 3) л1 и л2 не вещественны и не чисто мнимы, то М0 – фокус; 4) л1 и л2 чисто мнимы, то М0 – центр.

Заметим, что 1)-2) являются так называемыми “грубыми особыми” точками, характер которых не меняется при малых возмущениях правых частей системы (3), а 4) – “деликатная особая точка”, ее характер при этом меняется.

Проиллюстрируем сказанное на примере нелинейной системы, описываемой уравнением (7) от которого перейдем к эквивалентной системе уравнений (8). Если в (8) исключить время t, то получим уравнение траектории системы на фазовой плоскости (9) окуда, интегрируя, найдем (9).