Введення

У зв'язку з технічним прогресом змінилися багато інженерних завдань: вони стали складнішими, і їх рішення вимагає введення нових понять. Змінився і підхід до практичних інженерних завдань. Якщо раніше інженер міг, виходячи з даного фізичного явища або технічної проблеми, поставити завдання і надати його решєїе математикові-обчислювачу, що зараз справа йде інакше. У багатьох інженерних завданнях побудова розрахункової моделі настільки тісно переплітається з процесом обчислень, що розділити ці процеси деколи не представляється можливим.

У зв'язку з цим останнім часом широку популярність придбав метод кінцевих елементів. В даний час методом кінцевих елементів користуються при рішенні найрізноманітніших задач математичної фізики, хоча перші роботи по методу кінцевих елементів були виконані фахівцями з будівельної механіки. Ця обставина відбилася на термінології методу і його первинної інтерпретації.

Ця інтерпретація полягає в наступному: суцільне середовище замінюється деякою еквівалентною шарнірною системою, а техніка розрахунку статично невизначених шарнірних систем добре відома.

Популярність методу кінцевих елементів пояснюється простотою його фізичної інтерпретації і математичної форми. А використання ЕОМ дозволяє отримувати наближені рішення багатьох технічних задач. Метод кінцевих елементів вже зараз використовується як звичайний інженерний метод в багатьох конструкторських організаціях.

Поява паралельних обчислювальних систем дала розвитку методу новий напрям. Використання паралельних комп'ютерів для розрахунку методом кінцевих елементів може підвищити точність моделювання і прискорити моделювання складних фізичних процесів і явищ. В той же час сама паралельна реалізація методу кінцевих елементів є складною науковою проблемою, що вимагає всестороннього дослідження.

Суть методу кінцевих елементів (МКЕ)

Інженерні конструкції можна розглядати як деяку сукупність конструктивних елементів, сполучених в кінцевому числі вузлових точок. Якщо відомі співвідношення між силами і переміщеннями для кожного елементу, то, використовуючи відомі прийоми будівельної механіки, можна описати властивості і досліджувати поведінку конструкції в цілому.

У суцільному середовищі число крапок нескінченне, і саме це представляє основну трудність отримання чисельних результатів в теорії пружності. Поняття кінцевого елементу дозволяє подолати це утруднення. Суцільне тіло розбивається на окремі елементи, що взаємодіють між собою тільки у вузлових точках. Якщо таке наближення допустиме, то безперервне завдання може бути зведене до звичайного завдання будівельної механіки і може бути вирішена чисельно.

Можливості розпаралелювання МКЕ

Розглянемо як приклад просту каркасну конструкцію, приведену на малюнку 1.

Малюнок 1 – Проста каркасна конструкція

Кожен кінцевий елемент i може бути описаний системою лінійних рівнянь A[i].x* == B[i]. Де A[i] – матриця жорсткості i кінцевого елементу. Обчислення компонент матриць жорсткості для кожного з елементів незалежно і може бути виконано паралельно.

Отриманий набір матриць жорсткості ансамбліруєтся в єдину матрицю жорсткості A. Отримана система лінійних рівнянь має стрічкову nxn матрицю коефіцієнтів і може бути вирішена на паралельній обчислювальній системі.

Мета роботи

Метою даної роботи є реалізація існуючих паралельних алгоритмів рішення стрічкових систем лінійних рівнянь і аналіз їх ефективності стосовно методу кінцевих елементів.

На сьогоднішній день розроблена безліч прямих і ітераційних методів, успішно вирішальних подібні системи, проте питання оцінки складності тих або інших методів, їх ефективність і прискорення, проектування на обчислювальні системи різної структури, а також їх застосовність до МКЕ залишаються відкритими.

Проміжні результати роботи

Дана робота є незавершеною, планована дата завершення роботи – січень 2007 року. Проте на даний момент отримані результати дослідження паралельних алгоритмів перемножування матриць.

Операція перемножування матриць є однією з основних операцій, яка виконується величезна кількість разів в інших, складніших алгоритмах. Саме тому від вибору ефективного паралельного алгоритму перемножування матриць залежить ефективність вирішуваних задач.

Проведений аналіз грубозернистих алгоритмів Кенона, Блокового перемножування матриць, дрібнозернистого алгоритму систоли і отримані оцінки прискорення, ефективності, обчислювальної і комунікаційної складності згаданих алгоритмів. Перераховані алгоритми були реалізовані з використанням бібліотеки MPI. Експериментально отримані характеристики швидкодії підтвердили теоретичні оцінки, які можуть бути використані в подальшій роботі над МКЕ.

Висновки

Отримання теоретичних і експериментальних оцінок застосування паралельних алгоритмів рішення стрічкових систем лінійних рівнянь (СЛАР) алгебри на методі кінцевих елементів представляє певний інтерес. Окремою областю досліджень може бути змішення прямих методів рішення СЛАР з ітераційними, яке, можливо, дозволить збільшити швидкодію методу із збереженням прийнятної точності обчислень.

Результати даної роботи можуть бути використані для проведення інженерних експериментів, рішення диференціальних рівнянь з краєвими умовами, дослідження фізичних явищ в двовимірному просторі, тестування і обгрунтування вибору кінцевих елементів складної форми.

Досліджені алгоритми, володіючи вивченими параметрами ефективності, можуть бути використані для оцінки ефективності роботи гетерогенних кластерів.

На момент написання автореферату робота не є закінченою. Планований час закінчення роботи - 01/2007.

На головну