"Моделирование управляемой магнитной цепи"

В данной работе ставится задача аналитического исследования свойств управляемого дросселя, а также влияние на эти свойства цепей управления и обратной связи.

На рис.1 приведена схема управляемого компенсирующего дросселя [1].

Рисунок 1 - Схема управляемого компенсирующего дросселя

Она содержит Ш-образный ферромагнитный сердечник, на крайних стержнях которого расположены рабочие обмотки w, включенные последовательно и согласно. По ним же замыкаются основные магнитные потоки Ф₁ и Ф₂ . На среднем стержне расположены обмотка управления w_y, обмотка обратной связи wос, и замыкается поток подмагничивания Ф₀. Рабочие обмотки w крайних стержней питаются от источника синусоидального напряжения u = Uм • sin(ωt+ψ).

Что касается среднего стержня, то его обмотка обратной связи w_ос питается выпрямленным током рабочих обмоток, а обмотка управления wу имеет независимый источник питания.

Система уравнений

Магнитная цепь рис. 1 описывается системой нелинейных уравнений, связывающих сумму потоков в одном из узлов цепи (первый закон Кирхгофа), и суммарные магнитные напряжения и суммарные намагничивающие силы двух независимых контуров (второй закон Кирхгофа):

                Ф₁ + Ф₀ = Ф₂ ;

                H(B₁)• l₁ + H(B₂)• l₂ + (B₁• δ₁+ B₂• δ₂) / μ₀ = 2•i•w ;

                H(B₀)• l₀ + H(B₂)• l₂ + (B₀• δ₀+ B₂• δ₂) / μ₀=•|i|•w_oc + F₀ + i•w ;

    где H – напряженность магнитного поля;

           B_k = Ф_k / S_k – индукция в стержнях магнитопровода (к =0, 1, 2);

           l_k, S_k – длина средней линии и сечение стержней магнитопровода;

           δ_k –длина воздушных зазоров стержней;

           i – мгновенное значение тока рабочих обмоток;

           F₀ = i_y • w_y – намагничивающая сила обмотки управления;

           H(B) – аппроксимированная кривая намагничивания.

В свою очередь напряжения рабочих обмоток дросселя связаны с источником питания уравнением:

w •d(Ф₁ + Ф2) / dt – i•(2•r + r_oc) = Uм • sin(ωt+ψ),                                                      (1)    

где r, r_oc – активные сопротивления рабочих обмоток и обмотки обратной связи;

       U_m , ψ – амплитуда и начальная фаза питающего напряжения.

Обратим внимание на то, что дифференциальное уравнение (1) не разделяет суммарное приращение магнитных потоков и, следовательно, не может быть представлено в форме Коши. Это значит, что к решению нашей задачи нельзя применить хорошо отработанные методы интегрирования типа, например, Рунге-Кутта. Исходя из изложенного, перепишем его непосредственно в приращениях для к-того шага.

Δ(Ф₁ + Ф₂)k = [U_m • sin(ωt+ψ) – i_k•(2•r + r_oc)•Δt] / w.                                                  (2)    

Выражение (2) позволяет на к-том шаге определить суммарное приращение магнитных потоков.

Далее возможно определение суммы рабочих потоков, являющейся исходной информацией для к+1-го шага:

(Ф₁ + Ф₂)_k+1 =(Ф₁ + Ф₂)к + Δ(Ф₁ + Ф₂)_k .                                                                      (3)    

Выражения (2, 3) не разделяют ни рабочих магнитных потоков дросселя, ни их приращений. Для получения значений потоков стержней на к+1-ом шаге необходимо совместное решение уравнений (2, 3) и нелинейной системы (1). Подобная задача, как правило, решается или при помощи специально разработанного решающего блока или нелинейного блока, подобранного из библиотеки программных средств и «подогнанного» к условиям нашей задачи.

Таким образом, полученные соотношения являются математической моделью рассматриваемой цепи. Они связывают в одну систему три ее магнитных потока ток рабочих обмоток. Упрощенный алгоритм решения задачи приведен на рис. 2. Основная идея алгоритма состоит в том, что на заключительной стадии к-того шага интегрирования при помощи зависимости (2) определяется суммарное приращение двух рабочих потоков (Ф₁ + Ф₂)_k. Затем при помощи зависимости (3) определяется сумма потоков (Ф₁ + Ф₂)_k+1 , но уже для к+1-го шага. Эти данные становятся исходными для последующего определения всех переменных состояния системы для к+1-го шага путем решения системы (1).

Таким образом, управляемая нелинейная индуктивность позволяет компенсировать емкостную составляющую токов утечки при двукратном изменении длины кабельной сети. Наличие незначительных по величине высших гармоник в составе тока (наибольшая из них – третья гармоника не превышает 13 %) не может сказаться на компенсирующих возможностях дросселя или его безопасности с точки зрения резонансных перенапряжений ни в статических ни в динамических режимах. Можно считать, что «целесообразность применения нелинейной индуктивности для компенсации емкостной составляющей токов утечки» аналитически доказана. Однако влияние положительной обратной связи в цепи подмагничивания среднего стержня, а также цепи измерения емкости кабельной сети нуждаются в дальнейшем анализе.

Библиографический список

1. Справочник энергетика угольной шахты: В 2т. / В.С. Дзюбан и др. – Донецк: ООО «Юго-Восток, Лтд» 2001. Т 1.: – 447 с.