Морз Ф. - "Колебания и звук". - перевод с английского издания
под ред. проф. С. Н. Ржевкина.- М. 1949г.
Глава II. Простая колебательная система (осциллятор), с. 35-39
Глава II. ПРОСТАЯ КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА (ОСЦИЛЛЯТОР)
Свободные колебания
После того как мы рассмотрели несколько математических
методов, которые понадобятся в настоящей главе, вернёмся
снова к физике.
Изучение звука сводится к изучению колебаний. Пусть
некоторая часть системы обладает упругостью. Если систему
вывести из положения равновесия, а затем предоставить её
самой себе, то она начнёт колебаться. Сначала изучим наиболее
простой вид колебаний самых простых систем: пусть, например,
тело с массой т прикреплено к какой-либо пружине и может
колебаться взад и вперёд лишь в одном направлении. Такую
систему мы называем осциллятором. В большинстве, системы спо-
способные совершать колебания, с которыми мы встречаемся в физике
или в технике, оказываются осцилляторами подобного рода
или близки к ним. Таким осциллятором будет, например,
маятник (в нём роль пружины играет сила тяжести) или карманные часы (в них имеется балансное колесико, удерживаемое
в положении равновесия пружиной). Диафрагмы громкоговорителей, когда их масса распределена так, что центр тяжести
находится вблизи геометрического центра диафрагмы,
приблизительно подобны простым осцилляторам (по крайней мере
при малых частотах); таким же образом ведут себя камертоны,
нагружённые некоторой массой. Даже, когда колеблющаяся
система является значительно более сложной, чем простой осциллятор, многие из её свойств оказываются подобными свойствам осциллятора. Позднее, при изучении этих сложных систем
мы сможем значительно упростить наш анализ, выделив сначала
свойства систем, подобные свойствам простых осцилляторов,
а затем указав на свойства, которыми они между собой
различаются.
Силы, возникающие от действия различных пружин в перечисленных выше примерах простого осциллятора, имеют одно
общее свойство. Сила, восстанавливающая смещение массы, выведенной из равновесия, пропорциональна её смещению,
если оно достаточно мало, и противоположна ему по знаку
(вспомним закон Гука для пружины и вывод силы, действующей на простой маятник, приводимый в элементарных курсах
физики). В некоторых задачах не всегда можно предположить
смещения достаточно малыми, но в акустике такое
предположение почти всегда возможно сделать, так как в звуковых
колебаниях смещения на самом деле очень малы. Например,
при том сильнейшем шуме, который слышится на площадях
во время больших народных гуляний, молекулы воздуха совершают колебания с амплитудой приблизительно в одну десятую
миллиметра. В редких случаях колебания диафрагмы громкоговорителя превосходят один миллиметр.
Общее решение.— Допустим, что упругая сила, действующая
на простой осциллятор, может быть выражена следующим
образом:
(3.1)
Здесь через х обозначено смещение массы от положения
равновесия, К есть постоянный коэффициент упругости (значение постоянной К зависит от пружины, которой мы пользуемся).
Знак минус указывает на то, что сила направлена противоположно смещению. Принятый в выражении (3.1) вид
зависимости силы от смещения является очень хорошим приближением,
и мы им пользуемся в большинстве случаев, разбираемых
в этой книге.
Сначала мы будем считать, что на осциллятор не действуют
никакие другие силы. В действительности же в большинстве
случаев это не соблюдается. Обычно действуют ещё силы трения, а иногда и внешние силы. Однако сила трения часто
бывает чрезвычайно мала но сравнению с силой упругости.
Такие случаи мы и будем изучать сначала, случаи же с учитываемыми силой трения и внешней силой рассмотрим позднее.
В отсутствии внешних сил будет иметь место уравнение
движения (3.1), рассмотренное в § 2, а именно:
(3.2)
Мы уже видели, что решение этого уравнения может быть выражено в следующем виде:
где
или в виде
(3.3)
Теперь мы должны разобрать физический смысл этого
решения. Как уже было показано в § 2, движение тела будет периодическим с частотой 
Частота будет
большей для более жёсткой пружины (при большем К) и меньшей для более тяжёлой массы.
Начальные условия. — Мы видели, что значения констант
а0 и а1 определяются в зависимости от того, каким образом
масса приведена в движение. Обычно осциллятор приводят
в движение или сообщением ему некоторого толчка, или путём
оттягивания в сторону и последующего освобождения, т. е.
в момент времени t = 0 сообщают ему некоторое начальное
смещение и начальную скорость.
Задавая эти два начальных условия, мы тем самым вполне
определяем движение до тех пор, пока не изменим условий и не
вызовем перестройки процесса колебаний. Нетрудно видеть, что а0 является начальным смещением, а w0a1— начальной
скоростью. Решение (3.3) может быть переписано в следующем виде:
(3.4)
где x0—начальное смещение, a v0 — начальная скорость массы.
Из выражения (3.4) видно, что для того, чтобы определить полностью последующее движение осциллятора, достаточно задать только начальные значения х и 
. Когда с0 и v0 заданы, то,даже если бы мы совсем не имели полностью построенного
решения (3.2), мы могли бы найти начальное значение ускорения тела,
подставив х0 в правую часть уравнения (3.2). Начальное значение
третьей производной можно получить дифференцированием
уравнения (3.2) по t и подстановкой в правую часть уравнения (3.2) значения v0 вместо и т. д. Если мы припомним, что поведение функции полностью определяется разложением её в ряд Тейлора
то мы увидим, что заданием х0 и v0, а значит, и заданием всех
производных высших порядков при 1 = 0, полностью
определяется дальнейшее движение тела.
Этот вывод нетрудно обобшить. Тело, находящееся под действием некоторых сил, зависящих от х и v, будет находиться
в движении, которое полностью может быть определено заданием значений его начального положения и начальной скорости.
Математически это выражает следующее: решение
дифференциального уравнения второго порядка, содержащего члены со
вторыми производными (но не выше, чем вторые), содержит
две произвольные постоянные.
Другое очень важное физическое заключение, которое может
быть выведено из выражения (3.4), состоит в том, что частоте
колебания зависит только от К и совсем не зависит
ни от х0, ни от v0. Это значит, что для данной массы и данной
пружины, пока закон Гука применим, т. е. F =—kх, частота
колебания будет той же самой, независимо от того, каким образом
система была приведена в колебательное движение, и будет ли
амплитуда колебания равна 1 см или 0,001 мм. Это очень важно
в практических приложениях. Если бы закон Гука не
соблюдался (т. е. F — Кх), то ни один музыкальный инструмент не
мог бы играть в должном строе. Попробуйте вообразить игру
на фортепиано, у которого частота колебания каждой ноты
зависела бы от того, с какой силой ударять по клавише. Сравните
это с задачей 1 предыдущей главы.
Эта изохронность малых колебаний могла бы быть проверена
с помощью большого числа наблюдений, но математический
анализ показывает нам непосредственно, что каждая масса,
находящаяся под действием силы F= —Кх, обладает таким
свойством гармоничности. Колебания такого типа называются гармоническими колебаниями.
Энергия колебания. — В дальнейшем нам понадобится
выражение энергии для массы, гармонически колеблющейся с амплитудой А и частотой v0. Энергия эта равна сумме потенциальной
и кинетической энергий:
Так как 
, то получим:
или
(3.5)
где 
есть амплитуда скорости колебания.
Полная энергия равна потенциальной энергии при наибольшем смещении тела 
или равна кинетической энергии при наибольшей скорости тела 
Выражая энергию W через v0 и A, мы видим, что она зависит от квадратов этих двух величин.
Затухающие колебания
До сих пор мы не рассматривали действия силы трения на
колеблющиеся системы. Вообще говоря, сила трения не играет
большой роли в проблемах, которые мы будем разбирать в
первой части книги. Рассмотрим сначала действие трения на
простую систему, а затем по аналогии выведем действие трения
на более сложные системы. Таким образом, мы коснёмся
проблемы трения только поверхностно и то лишь в конце
книги.
Трение, с которым приходится считаться в проблемах
колебаний, проявляется в виде сопротивления движению, которое,
например, оказывает воздух, окружающий тело. Энергия отдаётся
в воздух в форме звуковых волн и, с точки зрения баланса
энергии колеблющейся системы, такая отдача может формально
рассматриваться как результат трения потому, что энергия
системы уменьшается, рассеиваясь в форме звука. Эта сила
сопротивления зависит от скорости осциллятора, и если эта
скорость не будет велика, то сила сопротивления может быть
принята пропорциональной скорости.
...
