 |
RU UA EN ДонНТУ Портал магистров ДонНТУ |
||||
 |
 |
 |
 |
 |
 |
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы
Теория динамических систем широко востребована большим спектром наук – физикой, биологией, механикой и, конечно, экономикой. Она позволяет не только определить возможное направление развития исследуемого объекта, но и разработать комплекс адаптивных воздействий на систему для корректировки этого направления.
В ДонНТУ моделированием динамических систем в экономике занимаются Дмитриева О.А. и Смирнов А.В. Также этой проблемой занимаются журнал «Проблемы управления и информатики» при поддержке Национальной академии наук Украины, Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Институт космических исследований НАН Украины и НКА Украины [5]. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Институт механики, Институт математики, Украинский национальный комитет по теоретической и прикладной механике. Исследованием динамических систем занимались такие отечественные и зарубежные ученые, такие, как Хайрер, Анищенко, Вержбицкий, Аносов. В то же время, в теории динамических систем остается актуальной проблема решения жестких задач, связанная с паралелльными вычислениями.
Целью работы является разработка и обоснование сходимости и устойчивости новых численных паралелльных методов решения динамических задач со сконцентрированными параметрами.
1. Выявление и обоснование возможностей распараллеливания численных методов и алгоритмов, которые используются для моделирования сложных динамических объектов. 2. Исследование проблем сходимости и типов устойчивости полученных методов. 3. Определение оптимальных соотношений опорных и расчетных узлов, которые позволяют получать решение задачи с заданной степенью точности.
Повышение эффективности функционирования параллельных вычслительных сред за счет создания численных методов распараллеливания вычмслительных процессов, анализа их сходимости и устойчивости.
Обзор исследований и разработок
В ДонНТУ моделированием динамических систем в экономике занимаются Дмитриева О.А. и Смирнов А.В. Также этой проблемой занимаются журнал «Проблемы управления и информатики» при поддержке Национальной академии наук Украины, Института кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Институт космических исследований НАН Украины и НКА Украины [5]. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Институт механики, Институт математики, Украинский национальный комитет по теоретической и прикладной механике. Исследованием динамических систем занимались такие отечественные и зарубежные ученые, такие, как Хайрер, Анищенко, Вержбицкий, Аносов. В то же время, в теории динамических систем остается актуальной проблема решения жестких задач, связанная с паралелльными вычислениями.
Цель работы
Целью работы является разработка и обоснование сходимости и устойчивости новых численных паралелльных методов решения динамических задач со сконцентрированными параметрами.
Задачи
1. Выявление и обоснование возможностей распараллеливания численных методов и алгоритмов, которые используются для моделирования сложных динамических объектов. 2. Исследование проблем сходимости и типов устойчивости полученных методов. 3. Определение оптимальных соотношений опорных и расчетных узлов, которые позволяют получать решение задачи с заданной степенью точности.
Планируемые научные и практические результаты
Повышение эффективности функционирования параллельных вычслительных сред за счет создания численных методов распараллеливания вычмслительных процессов, анализа их сходимости и устойчивости.
ПОНЯТИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени t0 в точке пространства x0 определить его будущее в любой момент времени t>t0. В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть детерминированным или вероятностным, может описывать эволюцию объекта только во времени, только в пространстве, а может описывать пространственно-временную эволюцию.
Предметом нашего анализа будут не объекты вообще, а динамические системы в математическом понимании этого термина.
Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.
Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели.
Исследование реальных систем сводится к изучению математических моделей, совершенствование и развитие которых определяются анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему (к примеру, колебание цен), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели.
Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: T[x(t) + y(t)] = Tx(t) + Ty(t). Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной.
y'=-50(y-cosx) (1.1)
Предметом нашего анализа будут не объекты вообще, а динамические системы в математическом понимании этого термина.
Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.
Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции. В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели.
Исследование реальных систем сводится к изучению математических моделей, совершенствование и развитие которых определяются анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему (к примеру, колебание цен), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели.
КЛАССИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: T[x(t) + y(t)] = Tx(t) + Ty(t). Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. Рис.1 Класификация динамических систем (Анимация, GIF Animator, 9 кадров, 8 повторов, объем – 47,6 КБ, размер – 701x520)
Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем. Системы, для которых отображение x(t) с помощью оператора T может быть определено для любых t > t0 (непрерывно во времени), называют также потоками по аналогии со стационарным течением жидкости. Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами или системами с дискретным временем.
Динамические системы называются автономными, если они не подвержены действию внешних сил, переменных во времени.
Динамические системы называются автономными, если они не подвержены действию внешних сил, переменных во времени.
ЖЕСТКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений можно условно разделить на следующие типы: мягкие, жесткие, плохо обусловленные и быстро осциллирующие. Каждый тип предъявляет специфические требования к численным методам.
Кертисс и Хиршфельдер объясняют свойство жесткости на одномерных примерах, таких, как уравнение
Кертисс и Хиршфельдер объясняют свойство жесткости на одномерных примерах, таких, как уравнение
Рис. 2 Кривые решений (1.1) и решение неявным методом Эйлера при y(0)=0
Рис. 3 Решения явным методом Эйлера при у(0)=0, h=1.974/50 и 1.875/50
Кривые решений уравнения (1.1) показаны на рис. 2. Видно, что вблизи у cosх имеется медленно изменяющееся решение, а все другие решения подходят к нему после быстрой «переходной фазы». Такие быстрые переходы типичны для жестких уравнений, но не являются ни достаточным, ни необходимым их признаком. Например, у решения с начальным значением у(0) = 1 (точнее, 2500/2501) нет переходной фазы. На рис. 3 показаны ломаные Эйлера для начального значения у(0) = 0 и длин шагов h=1.974/50 (38 шагов) и h=1.875/50 (40 шагов). Как только длина шага становится немного больше критической величины (в данном случае больше 2/50), численное решение уходит слишком далеко за равновесное, и возникают все более сильные колебания.
К жестким системам относятся задачи химической кинетики, нестационарные процессы в сложных радиоцепях, системы, возникающие при решении уравнений теплопроводности и диффузии методом прямых, и многие другие. Строгого определения понятия жесткости нет, но обычно под ним подразумевают наличие как быстрозатухающих, так и медленно меняющихся компонент решения.
Жесткие системы достаточно трудны для численного решения. Классические явные методы типа Адамса и Рунге-Кутты требуют для них неприемлемо мелкого шага.
К жестким системам относятся задачи химической кинетики, нестационарные процессы в сложных радиоцепях, системы, возникающие при решении уравнений теплопроводности и диффузии методом прямых, и многие другие. Строгого определения понятия жесткости нет, но обычно под ним подразумевают наличие как быстрозатухающих, так и медленно меняющихся компонент решения.
Жесткие системы достаточно трудны для численного решения. Классические явные методы типа Адамса и Рунге-Кутты требуют для них неприемлемо мелкого шага.
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ
Примером динамической системы в экономике может служить модель организации рекламной кампании. Фирма начинает производить новый товар или оказывать новую услугу. Естественно, прибыль от будущих продаж должна с избытком покрыть расходы на дорогостоящую рекламу. Вначале расходы могут превышать получаемую прибыль, потому что осведомленность покупателей о товаре (услуге) невелика. Далее при увеличении числа продаж возрастет и прибыль, и, наконец, наступит насыщение, и дальнейшее продолжение рекламной кампании будет бессмысленным.
ВЫВОДЫ
Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Этим и занимается теория динамических систем. Она используется в физике, механике, биологии, экономике и в других самых разнообразных науках.
Однако при использовании динамических систем в разных науках следует учитывать также их специфику и вдумчиво выбирать нужный класс динамических систем.
Особым классом динамических систем являются жесткие системы. Их использование на практике связано с рядом трудностей. С ними связано понятие устойчивости динамических систем.
Однако при использовании динамических систем в разных науках следует учитывать также их специфику и вдумчиво выбирать нужный класс динамических систем.
Особым классом динамических систем являются жесткие системы. Их использование на практике связано с рядом трудностей. С ними связано понятие устойчивости динамических систем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов. – М.: ЮНИТИ, 2005 – 409с.
2. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение ОДУ. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. – М.: Мир, 1999г. – 686 с.
3. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Мир, 1998 г. – 285 с.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы решения жестких систем – М.: Мир, 1978. – 308 с.
5. Добрынин А.И., Тарасевич Л.С. Экономическая теория: учебник. – СПб: Питер, 2005. – 414 с.
6. Курс экономической теории: Учебное пособие//Под ред. А.В.Сидоровича – М.: Дело и Сервис, 2001. – 832 с.
7. Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов. – Ростов н/Д: Феникс, 2005. – 409 c.
8. Expert system for Ordinary Differential Equations. [Электронный ресурс]//Faculty of Mathematics, Western University of Timisoara
Режим доступа: http://web.info.uvt.ro/~petcu/epode/e314.htm
9. Ахмеров Р.Р. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [Электронный ресурс]
Режим доступа: http://www.ict.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/nm-ode/index.html
10. Фирсова А.А. Моделирование динамических систем в экономике. [Электронный ресурс]//Персональный сайт магистра ДонНТУ
Режим доступа: http://masters.donntu.ru/2009/fvti/firsova/diss/index.htm
2. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение ОДУ. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. – М.: Мир, 1999г. – 686 с.
3. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Мир, 1998 г. – 285 с.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы решения жестких систем – М.: Мир, 1978. – 308 с.
5. Добрынин А.И., Тарасевич Л.С. Экономическая теория: учебник. – СПб: Питер, 2005. – 414 с.
6. Курс экономической теории: Учебное пособие//Под ред. А.В.Сидоровича – М.: Дело и Сервис, 2001. – 832 с.
7. Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов. – Ростов н/Д: Феникс, 2005. – 409 c.
8. Expert system for Ordinary Differential Equations. [Электронный ресурс]//Faculty of Mathematics, Western University of Timisoara
Режим доступа: http://web.info.uvt.ro/~petcu/epode/e314.htm
9. Ахмеров Р.Р. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [Электронный ресурс]
Режим доступа: http://www.ict.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/nm-ode/index.html
10. Фирсова А.А. Моделирование динамических систем в экономике. [Электронный ресурс]//Персональный сайт магистра ДонНТУ
Режим доступа: http://masters.donntu.ru/2009/fvti/firsova/diss/index.htm