Синельников Владислав Борисович

ВВЕДЕНИЕ

Современные цифровые системы передачи, синтеза речи, системы верификации требуют осуществлять распознавание слов, словосочетаний и фраз в реальном масштабе времени. Алгоритмической основой построения таких систем является цифровой динамический спектральный анализ [1]. Обработка информации в реальном масштабе времени имеет смысл в технических средствах спектрального анализа, которые применяются в радиолокации, акустике, телеметрическом контроле, и т.п..

Научная новизна работы. Рекуррентное преобразование Фурье (РПФ) является методом цифрового динамического спектрального анализа, который позволяет получать оценку текущего спектра сигнала в реальном масштабе времени. Метод разрабатывался для нужд синтетической телефонии [2]. Известно также предложение использовать его в радиолокационных системах [3]. Основным достоинством РПФ по сравнению с другими методами этого семейства, такими как дискретное преобразование Фурье, быстрое преобразование Фурье, является повышенное быстродействие при вычисления комплексных коэффициентов Фурье или других спектральных параметров [1]. Однако отсутствие сведений о динамических погрешностях оценки текущего спектра сигнала, существенно ограничивает применения метода в измерительных системах.

Целью работы является исследование метода РПФ, как инструмента оценки текущей амплитуды и частоты нестационарного процесса методом цифрового моделирования.

Задачи работы:

В работе приведены результаты исследований динамических свойств РПФ. Был создан программный продукт, который потенциально позволяет проводить спектральный анализ телекоммуникационных и других видов сигналов, которые представлены в дискретной форме с целью восстановления их информационных параметров. В качестве алгоритмического обеспечения был избран метод РПФ. Приведены исследования, показывающие зависимость метода от изменения фазы колебания. Получены количественные оценки точности восстановления текущего спектра сигнала.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

где Δf=f(N) - f(0) - поправочный коэффициент

N - размер выборки

P - идентификатор номера выборки

ω=2πn/N, n=0,N/2-1

В [1] показано, что для вычисления коэффициентов Фурье по формуле (1.1) необходимо 2N операций умножения. Данная формула реализуется в устройстве, описанном в [4]. Вторая формула предложена в [2] Р.Д. Лейтесом и В.Н. Соболевым имеет вид:

где ω=2πn(p+1)/N, p=0,N-1

Для вычисления коэффициента Фурье по формуле (1.2) необходимо произвести N операций умножения [1]. Формула как основная реализуется в ряде устройств [5,6]

В соответствии с формулой (1.2) можно записать формулы для вычисления действительной и мнимой части коэффициента Фурье:

Фактически РПФ осуществляет вычисление оценок спектральных линий дискретного преобразования Фурье в скользящей системе отсчета связанной с последними N отсчетами, размещаемыми в регистровой памяти, объемом N ячеек [7]. Для большинства приложений практический интерес представляет динамический спектр амплитуд, который вычисляется по формуле:

Формулы (1.1) и (1.2) дают одинаковые результаты при вычислении модуля коэффициента Фурье по формуле (1.4), однако формула (1.2) обеспечивает меньшее накопление погрешности [8].

Алгоритм вычисления коэффициента Фурье приведен на рис. 1.1.

Рисунок 1.1 Схема вычисления коэффициентов методом РПФ.

Непрерывный сигнал f(t) подается на вход АЦП, с выхода которого снимается дискретное значение f(N), которое поступает на вход блока памяти (БП) и первый вход сумматора (С) Одновременно с запуском АЦП выполняется считывание значения f(0) из БП, которое поступает на второй вход сумматора. Здесь происходит вычисление значения Δf. Величина f(N) записывается в БП и будет использована через N тактов после запуска АЦП в качестве f(0) [2].

Результат Δf с выхода сумматора подается на блок суммирования, где вычисляется группа значений Δfcosω₂, причем значения ω₂ принадлежат первой четверти единичной окружности.

В блоке постоянной памяти БПП хранится необходимое число констант sinω₁ и cosω₁,которые представляют собой номера и знаки соответствия значений sinω₁ и cosω₁ значениям Δfcosω₂ для всех возможных значений ω₁, p=0,N-1 и n=0,N/2-1 С их помощью производится вычисление значений Δfcosω₂, а затем коммутацией формируются значения Δfcosω₁ и Δfsinω₁ [2].

Результаты Δfcosω₁ и Δfsinω₁ передаются далее для вычисления Re_p+1(n) и J_p+1(n), n=0,N/2-1 В блоках оперативной памяти хранятся велечины вычисления Re_p(n) и J_p(n). После считывания их из БП1 и БП2 они в сумматорах С1 и С2 складываются соответственно с Δfcosω₁ и Δfsinω₁ В ячейки памяти, из которых были считаны Re_p(n) и J_p(n) аписываются полученные результаты Re_p+1(n) и J_p+1(n) Они будут использованы для вычисления на следующем шаге. Процесс уточнения n-й спектральной линии продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие, сформулированное в [7]:

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Исследование динамических свойств РПФ проводилось методом цифрового моделирования с помощью программы, реализованной на языке программирования С++ 3.0. В качестве исследуемого сигнала был выбран гармонический сигнал, частотой 1 Гц, нулевой начальной фазой и единичной амплитудой, помноженный на единичную ступенчатую функцию. Размер окна скользящего преобразования N=1024 отсчета. Процесс формирования текущего спектра сигнала показан на рисунке 2.1

На рис 2.2. приведен текущий спектр гармонического сигнала при скачке фазы на 60 градусов на 135-м отсчёте. Объем окна скользящего преобразования - N=128 отсчетов. К моменту поступления на вход анализатора первого отсчета, соответствующего фазовому скачку процесс установления спектра сигнала завершается. Этот процесс происходит по закону близкому к линейному и полностью заканчивается за 128 отсчетов. Отсчёты, поступившие в промежуток со 129-го по 134-й никаким образом не изменяют картину спектра сигнала, поскольку велечина поправочного коэффициента для этих отсчетов будет равна 0, следовательно исходя из формулы (1.3) корректировки спектра происходить не будет. На этот момент велечина неосновных компонент на (120-150) дБ меньше уровня основной компоненты. На 135-м отсчёте поступает скачёк фазы в 60 градусов. Это приводит к появлению нового переходного процесса, который сопровождается наличием возмущений в области неосновных частотных компонент и понижением уровня основной компоненты. Переходный процесс полностью заканчивается через N отсчётов после его начала. Дальнейшие отсчёты не вносят никаких изменений в спектр сигнала. На рис. 2.3. приведен текущий спектр гармонического сигнала при скачке фазы на 180 градусов на 135-м отсчёте. Картина формирования спектра сигнала в целом аналогична картине формирования спектра сигнала рассмотренного выше с той лишь разницей, что уменьшение уровня основной компоненты носит более значительный характер. Из этого можно сделать вывод о том, что изменение уровня основной компоненты зависит от велечины скачка фазы.

Рисунок 2.2 - Текущий спектр гармонического сигнала при скачке фазы на 60 градусов на 135-м отсчёте.

Рисунок 2.3 - Текущий спектр гармонического сигнала при скачке фазы на 180 градусов на 135-м отсчёте.

На рис. 2.4. представлен спектр сигнала при последовательной подаче двух скачков фазы в 68 градусов на 135-отсчете и 122 градуса на 160-м отсчёте. К моменту подачи первого скачка процесс формирования спектра завершен, первый скачок вызывает новый переходный процесс, который продолжается в момент подачи второго скачка. Утановление спектра, соответствующего физическому сигналу происходит через 128 отсчётов после подачи последнего из скачков. На основании этого можно сделать вывод о том, что процесс формирования спектра заканчивается за 128 отсчётов после начала возмущения при условии, что в течении этих отсчётов не будет нового скачка фазы.

Рисунок 2.4 - Текущий спектр сигнала при последовательной подаче двух скачков фазы в 68 градусов на 135-отсчете и 122 градуса на 160-м отсчёте.

Таким образом, запаздывание вносимое анализатором в сигнал определяется объемом выборки N,, обрабатываемой анализатором. С другой стороны N определяет число спектральных линий, формируемых анализатором, и значение этой величины предопределяется требованиями решаемой технической задачи. Значение величины шага дискретизации t_д определяется верхней границей спектра исследуемого процесса и также не может быть выбрано произвольно. Таким образом, если значения N и t_д заданы внешними условиями, запаздывание в выдаче результатов анализа может быть оценено как:

Наиболее близкой к истинному значению компонентой в спектре сигнала является составляющая на нулевой частоте,поскольку её вычисление производится без применения базисных функций, как это происходит в (1.3) и усреднения (1.5). Как следует из (1.2) при подстановке в (1.3) постоянная составляющая сигнала равна алгебраической сумме всех поправочных коэфициентов:

K – количество обработанных отсчётов

Характерной особенностью всех полученных графиков является наличие остаточных компонент в спектре сигнала на всех гармониках, исключая постоянную составляющую. Эти остаточные компоненты представляют собой неустранимую ошибку, велечину которой можно уменьшить в процессе анализа путём увеличения объема выборки N. Однако это, в свою очередь, согласно (2.1) приведёт к увеличению запаздывания в выдаче результатов. Данные остаточные компоненты постепенно накапливаются в спектре сигнала, что может приводить к размыванию картины физического процесса. Т. образом из всего вышесказанного следует, что уменьшение погрешностей возможно:

• при увеличении объема выборки;
• при повышении требований к точности значений базистных функций.

Обозначенная проблема подверженности РПФ к влиянию изменения фазы колебаний проявляется в частности при отличии частоты дискретизации отличии частоты дискретизации от 2^K максимальной частоты спектра сигнала и приводит к появлению остаточных компонент во всей полосе частот, в которой работает анализатор. Этот эффект проиллюстрирован на рис. 2.5 и 2.6. В том случае, когда отсчёт x(N) не совпадает по фазе с отсчетом x(0) поправочный коэффициент Δf отличен от нуля. Процесс формирования спектра не завершается на (N-1)-м отсчете, а продолжается в дальнейшем. Таким образом, в общем случаем текущий спектр сигнала содержит погрешность, которую необходимо оценить.

Рисунок 2.5 - Текущий спектр гармонического сигнала по обработке 1024 отсчетов при частоте дискретизации, кратной 2^K (8 Гц).

Рисунок 2.6 - Текущий спектр гармонического сигнала по обработке 1024 отсчетов при частоте дискретизации, не кратной 2^K (7 Гц).

Проведенные исследования показали, что погрешность, вносимая в текущий спектр сигнала, обусловлена двумя основными факторами: явлением “утечки” и вычислительными погрешностями. Явление “утечки” обусловлено ограниченностью реализации сигнала. Вычислительные погрешности связаны с конечностью значений базисных функций, применяемых при вычислении коэффициентов, а также погрешностью алгебраических операций, выполняемых над выражением. Частота дискретизации задается внешним блоком анализатора и имеет постоянную величину. В этом случае для оценки точности вычисления и определения момента считывания информации может быть применен критерий допустимого соотношения сигнал/шум:

где σ_i – уровень i-й компоненты,

U_k определяется как сумма уровней основной компоненты и компонент, отстоящих не более чем на ± 3 отсчета от основной компоненты. Это обусловлено явлением размывания основной частотной компоненты вследствие применения прямоугольного взвешивающего окна [9].

Было проведено исследование зависимости коэффициента γ от номера обрабатываемого отсчета. Исследуемый сигнал – гармонический, частотой 1 Гц, нулевой начальной фазой и единичной амплитудой. Размер окна скользящего преобразования N=1024 отсчета. Результат исследования приведен на рис. 2.7. В течение первых N отсчётов γ(n) растет. Этот соответствует процессу формирования спектра сигнала. По обработке N отсчетов соотношение стабилизируется на уровне 20 дБ. В дальнейшем можно производить считывание данных с анализатора.

Рисунок 2.7 - График зависимости соотношения сигнал/шум от номера обрабатываемого отсчета.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, на сегодняшний момент создан программный продукт, реализующий алгоритм РПФ и частично проведены исследования его динамических свойств.

Установлено, что динамические свойства рекуррентного анализатора определяются числом ячеек регистровой памяти N и частотой дискретизации. Переходный процесс становления текущего спектра сигнала после воздействия элементарного возмущения заканчивается за интервал времени соответствующий N отсчетам временной дискретизации. В момент окончания переходного процесса резко уменьшается уровень переходных компонент текущего спектра. Однако завершение вычисления спектра любого явления в сигнале за конечное число итераций может быть причиной накопления погрешностей спектральных оценок.

Точность представления оценки текущего спектра зависит от размера окна скользящего преобразования: чем больше размерность N тем существеннее превышение уровня основной компоненты уровней остаточных компонент.

Соотношение сигнал/шум на выходе анализатора достигает максимума и стабилизируется по завершению обработки N отсчетов, что соответствует завершению процесса формирования спектра сигнала. Дальнейшем считывание можно производить в любой момент времени с одинаковым соотношением сигнал/шум.

При считывании данных с анализатора до завершения процесса становления спектра следует принимать во внимание дополнительную погрешностью вычисления уровней оцениваемых спектральных компонент и фон текущего спектра.

На момент написания реферата магистерская работа находится в стадии разработки. Дальнейшие будут исследования направлены на получение количественных характеристик ошибки восстановления частоты гармонических компонент нестационарного случайного процесса и разработки метода оценки энергетических и частотных параметров сигналов, инвариантного к изменению фазы. По завершению магистерской работы, её результаты могут быть присланы всем желающим.

Литература