СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И НАЛИЧИИ НЕКОНТРОЛИРУЕМЫХ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Марьенков В.С., группа СУА – 07см
Руководитель доц. Рафиков Г.Ш.

Статья готовится к публикации

       Как известно, классические методы синтеза систем автоматического управления в большинстве своем подразумевают знание точных значений параметров объекта управления и внешних воздействий. Однако в современной теории автоматического управления одним из основных направлений стало решение задач синтеза систем, включающих в себя различного рода неопределенности, но при этом, удовлетворяющих заданным параметрам качества. Исследование и синтез таких систем проводятся в рамках теории адаптивного и робастного управления.
       Существует множество методов синтеза подобных систем, разработанных как отечественными [1, 2], так и зарубежными [3, 4] авторами. В данной работе рассматривается еще один возможный подход к синтезу робастных систем управления на основе принципа гарантируемой динамики [5, 6]. Этот принцип предлагает синтез робастных систем управления для объектов, имеющих параметрические неопределенности при наличии неконтролируемых внешних возмущений в описании математической модели.
       Рассмотрим классический вариант объекта управления в виде линейного стационарного векторного уравнения при наличии внешних возмущений

       где А – вещественная матрица параметров системы размерностью nxn; В – матрица управляющих воздействий размерностью nxm; М – матрица размерностью nxr; х(t) – n-мерный вектор состояния объекта; u(t) – m-мерный вектор управления; – r-мерный вектор внешних неконтролируемых возмущений, удовлетворяющих условиям

       где – известные положительные числа.
       Предполагается, что в описании объекта существуют параметрические неопределенности, то есть матрицы А={a_ij} и B={b_ij} объекта управления точно неизвестны:

       где , – матрицы объекта, соответственно размерностью nxn и размерностью nxm, составленные из номинальных значений элементов А и номинальных значений элементов B; - соответствующие матрицы неопределенностей, где интервалы неопределенностей известны

       Где – положительные числовые значения, определяющие границы изменения параметрических возмущений .
       С учетом неопределенностей можем переписать уравнение объекта:

       Согласно требованиям, предъявляемым к синтезируемой системе выбирают положительные функции , с помощью которых задаются границы допустимых областей X_i(t). Требования, предъявляемые к качеству синтезируемой системы, определяются переходными процессами

       Пусть объект обладает свойством управляемости, а вектор состояния x(t) доступен для измерения. Закон управления для рассматриваемого объекта ищем в виде линейной обратной связи:

       где К – матрица размерностью mxn искомого регулятора:

       Из строк k_j матрицы К составим вектор , имеющий размерность r=mx1.
       Задача синтеза робастной системы управления для линейного объекта формулируется в следующем виде:
       Найти вектор-параметр p (элементы К) регулятора, обеспечивающий выполнение целевых соотношений при наличии параметрических неопределенностей и влиянии внешних возмущений, т.е. определить область , где подмножество допустимых параметров

       Для синтеза системы управления с заданными показателями качества используем теорему изложенную и доказанную в [5]. Предположим, что х(t_о)X(t_о), тогда для того чтобы х(t)X(t) достаточно, чтобы для каждого момента времени t[t_о, t_k] выполнялось соотношение

       Перепишем уравнение объекта с учетом закона управления в координатной форме:

       Рассмотрим предельные случаи попадания процессов х_i(t) на нижнюю и верхнюю границы соответствующих допустимых областей X_i(t). Результатом подстановки значений х_i(t) = и х_i(t) = -, будут два идентичных выражения отличающихся только знаком, следовательно, можно сделать вывод, что полученные выражения эквивалентны соотношению:

       Где
       - диагональные элементы.
       Более детально все преобразования описываются в работе [6].
       Пусть:

       Тогда:

       Определив:

       Можем записать:

       Таким образом, задача синтеза робастной системы управления сводится к определению области допустимых параметров регулятора

       Соотношение гарантирует принадлежность переходных процессов к заданным допустимым множествам, что в свою очередь гарантирует не только устойчивость синтезированной робастной системы, но и выполнение инженерных требований к качеству системы.