Введення

В даний час важливість використання інформаційних технологій у всіх галузях науки складно переоцінити. Розвиток комп'ютерних технологій істотно розширив наше уявлення про методи вирішення певних завдань. Найцікавіші завдання виникають, як правило, на стику декількох наук. Особливо виразно простежується така закономірність у випадках цифрового моделювання фізичних і хімічних процесів, оскільки у багатьох випадках постановка експерименту в реальних виробничих умовах пов'язана з великими часовими або фінансовими витратами або з неможливістю організації такого експерименту через деякі технічні перешкоди. Тому з’являється необхідність розробки деяких теоретичних математичних моделей, які дозволяють відтворити повну картину експерименту, з урахуванням усіх особливостей його протікання.

Одним з прикладів таких процесів можна вважати процес зростання кристалів в розплавах. Виникає завдання розробки алгоритму моделювання і візуалізації процесу кристалізації в розплавах, виявлення базових закономірностей взаємодії кристалів між собою, їх деформації у разі взаємодії, побудови межі між ними. Для її вирішення застосований метод геометричного моделювання. Цей метод дозволяє відмовитися від використання конкретних кристалічних граток, що ростуть, і покласти в основу моделі підхід, що враховує зміну геометрії кристалів. Рішення цієї задачі в тривимірному просторі дозволяє отримати модель поверхні зразка або поверхні зламу, в двомірному просторі – зображення, відповідне плоскому зрізу зразка, тобто перетину його довільною площиною. Таким чином, можливе порівняння програмно побудованого зображення з фотографіями шліфа для перевірки коректності моделі.

Оскільки від форми, кількості, розмірів, взаємного розташування кристалів в матеріалі безпосередньо залежать властивості гнучкості, зносостійкості, твердості і так далі матеріалу, то виявлення оптимальних параметрів складу розплаву і режиму його обробки є, по суті, головним завданням виробника. Надмірне укрупнення або подрібнення кристалів в твердих сплавах істотно змінює якості виробів з них. Тому управляючи параметрами кристалізації (температура, час, наявність і кількість домішок і багато інших) можна суттєво змінювати кінцевий результат.

При цьому слід врахувати, що вивчення емпіричним шляхом впливу окремих параметрів дуже дорого (собівартість одного кілограма твердого сплаву приблизно рівна 100$ США), може віднімати велику кількість часу (процес підготовки зразка і проведення експерименту займає від 6 до 18 годин) і давати недостовірні результати, оскільки параметри взаємозв'язані, можливий вплив неврахованих чинників, а для точного теоретичного прогнозу результату практично не розроблений ні математичний, ні логічний апарат.

Оскільки процес кристалізації відбувається при достатньо високих температурах (близько 1000-1360 градусів за Цельсієм), спостереження процесу за допомогою оптичних приладів неможливе. Спроби проводити відбір зразків на різних етапах кристалізації теж не дали результату, оскільки в цьому випадку дуже сильний вплив випадкових чинників. Розробка математичної моделі ускладнюється тим, що доводиться робити ряд допущень і спрощень, які зрештою приводять до того, що модель стає дуже абстрактною і непридатною в реальному виробництві.

Внаслідок цього можна запропонувати ще один варіант рішення – геометричне моделювання.

Актуальність теми

Актуальність рішення даної задачі полягає в зменшенні часу, необхідного для підготовки і проведення експерименту, в зниженні фінансових витрат на постановку експерименту.

Мета і завдання розробки і дослідження

Метою розробки є створення програмного комплексу, що дозволяє досліджувати процес кристалізації на різних стадіях.

Завданнями дослідження є:

• виділення чинників, що істотно впливають на зростання кристалів, вивчення фізичних принципів і математичного апарату, що лежать в основі процесу кристалізації;
• виявлення характеристик кристалів, що дозволяють будувати геометричну модель процесу;
• вивчення існуючих систем моделювання зростання кристалів;
• докладний розгляд методів, що використовуються даними системами.

Завданнями розробки є:

• побудова алгоритму, що дозволяє моделювати процес зародження і зростання кристалів в розплаві;
• побудова тривимірної моделі зразка, що кристалізувався, що дозволяє вивчати його поверхню;
• реалізація функції побудови довільного плоского перетину тривимірного зразка, що дозволить аналізувати двомірну схему шліфа;
• розробка системи зручного управління параметрами експерименту і інтуїтивно зрозумілого інтерфейсу при програмній реалізації роботи.

Об'єкт, предмет дослідження та новизна роботы

Об'єктом дослідження є процес кристалізації в розплавах.

Предметом дослідження є геометричне моделювання та візуалізація процесу кристалізації в розплавах.

Новизна роботи: отримали подальший розвиток методи моделювання процесу кристалізації в розплавах, способи візуалізації даного процесу.

Апробація результатів.

Результати розробки були представлені на наступних конференціях:
1. VI міжнародна науково-практична конференція «Геометричне моделювання і комп'ютерні технології: теорія, практика, освіта» (Україна, Харків, 21-24 квітня 2009 р.)
2. ISDM 2009 (16th International Students’ Day of Metallurgy, Czech Republic, Ostrava, 23-25 April 2009).

Огляд досліджень і розробок по темі

Рішення даної задачі може скоротити етап попередніх досліджень перед практичною постановкою експерименту, проте розробки цієї теми ведуться порівняно недовго. Для моделювання кристалізації використовуються різні методи. Основною відмінністю цих методів є їх спрямованість на моделювання процесів, що знаходяться на макрорівні, або орієнтованість на процеси, що відбуваються на мікрорівні [1].

Один з найбільш поширених методів – метод Монте-Карло – добре описує зміну граток кристала, що росте у газовому середовищі, але малоефективний для розрахунку зростання кристала в розплаві [1]. На макроскопічному рівні зростання може вважатися безперервним процесом, і його можна описувати за допомогою диференціальних рівнянь в частинних похідних (наприклад, модель фазових полів [2], в якій використовується модифікація рівняння дифузії).

Для моделювання нерівноваженого зростання кристалів в двомірному просторі з фазоподіляючими домішками може застосовуватися метод, заснований на використанні комірок простору, помічених різними чисельними значеннями [3].

Дослідженнями процесу моделювання займаються так само на базі Брянського державного університету (І.К. Кульбовський, С.В. Карелін, Д.А. Ілюшкин [4]), Новосибірського державного університету (А. Бредніхина [5]), Физико-технического інституту імені А.Ф. Іоффе Російської академії наук (В.А. Лагунов, А.Б. Синані [6]). Метод чисельного моделювання досліджується в Московському державному інституті електронної техніки В.А. Гончаровим [7], Физико-техническом інституті імені А.Ф. Іоффе Російської академії наук (М.В. Богданов [8]).

На даний момент існує декілька програмних продуктів, що моделюють фізичні процеси. Наприклад, Phun - програма для імітації фізичних процесів з простим інтерфейсом і «мультяшною» графікою, розробка шведських студентів університету міста Умео [9]. Реалізація методу Монте-Карло представлена програмою LeoCrystal [10]. Проте подібні програми поки не набули масового поширення. Це пов’язано із їх вузькою спеціалізацією та реалізацією окремих методів, що мають істотні обмеження у використанні [10], або з тим, що ці програми моделюють лише загальні фізичні принципи [9], що може бути використано лише в сфері навчання.

Фізичні основи моделювання

Для розробки і побудови моделі слід визначити об'єм початкової інформації.

До складу твердих сплавів зазвичай входять наступні елементи: карбід вольфраму, карбід титану, карбід танталу, карбід хрому і їх суміші, як зв'язка використовують кобальт і нікель. Форми кристалів цих елементів відповідно такі [11]:

• карбід вольфраму – трикутна призма (в основі рівносторонній трикутник);
• карбід титану – куб, паралелепіпед (в основному), трикутна призма (рідко);
• карбід танталу – використовується як домішка в невеликій кількості, практично розчиняється в інших карбідах, впливає на швидкість росту, формою його кристалів можна нехтувати;
• карбід хрому – кристали у формі пластин і голок (використовується рідко).

Кожен початковий кристал характеризуватимемо наступним набором параметрів:

• для паралелепіпеда: довжина сторони, координати центру фігури, критичний радіус (умовна величина, що позначає мінімальний радіус частинки, здібної до зростання);
• для призми: довжина сторони трикутника в підставі, висота призми, центр фігури (центр мас), критичний радіус;
• для пластин: довжина, ширина, висота пластини, критичний радіус;
• для голок: довжина, радіус, критичний радіус.

Розглянемо самозародження центрів кристалізації.

n – кількість зародків, що виникають в одиницю часу в одиниці об'єму металу;
T0 – температура термодинамічної рівноваги рідини з твердою фазою;
Ts – температура твердіння;
- величина переохолодження;
- різниця вільних енергій рідини і твердого металу;
- зміна вільній енергії на одиницю об'єму речовини, що твердіє (вільна енергія Гельмгольца, індекси l і s відносяться до рідкої і твердої фаз відповідно, V – об'єм);
- енергія розділу між твердою і рідкою фазами ( - сумарна поверхня зародків, - питома поверхнева енергія);

- загальна зміна вільній енергії.
У випадку, якщо кристал має кубічну форму з довжиною сторони r:


- критичний радіус,
- критичне значення енергії, відповідне критичному радіусу.

, де та - теплота і температура кристалізації відповідно.

Швидкість зародження центрів кристалізації:
, де Ns - кількість атомів рідини, Vl - частота коливань атомів, k – постійна Больцмана, Q – енергія активації процесу дифузії в рідкій фазі , =1/16.

Таким чином, отримуємо наступні необхідні дані:

• критичний радіус – радіус частинки. Якщо радіус частинки більше критичного, то вона здібна до зростання. Інакше частинка розчиняється;
• швидкість зародження центрів кристалізації – швидкість, з якою у випадкових точках простору виникають частинки, для яких можливе подальше зростання.

Розглянемо процес формування межі при зростанні кристалів. Межею між кристалами називатимемо сукупність фрагментів граней кристалів, що належать двом або більш об'єктам. Кожна грань кристала росте по напряму нормалі до своєї поверхні. Модель будується в декартовій прямокутній системі координат.

Побудова моделі

При розробці моделі необхідно врахувати, що швидкість росту у різних граней може бути різною. Різна швидкість росту визначається типом грані (щільністю упаковки грані). Ця величина характеризується відношенням кількості атомів на одиницю площі поверхні. Наприклад, проста кубічна сингония (рис.1) включає три типи граней {100} {110} {111}.

Для призми (рис. 2) можливі такі грані: {100}, {110}, {111}

Існує 2 варіанти побудови моделі:

• Векторна модель - складніше в описі, але більш швидка в обробці.
• Растрова модель - обробляється значно повільніше, проте простіше реалізується і більше відповідає фізичним параметрам процесу кристалізації.

Векторна модель:

• Об'єкти задаються списками вершин, ребер і граней.
• Кожній грані ставиться у відповідність рівняння нормалі.
• Зростання реалізується як збільшення кожної грані на певну величину і її зсув уздовж нормалі.
• Лінії перетину між гранями обчислюються після кожного кроку збільшення.
• Лінії перетину фіксуються нерухомо і стають частиною межі.

Растрова модель:

• Об'єкти задаються як сукупності комірок простору, що характеризуються певним значенням (внутрішня область – 0.5, межа - 1, рідина - 0).
• Зростання реалізується як покрокова перевірка всіх комірок із значенням 1 на наявність осередків-сусідів із значенням 0.
• Якщо такі знайдені, то міняємо значення комірок з 1 на 0.5, з 0 на 1.
• Комірки без вільних сусідів стають нерухомими комірками межі.

На даний момент обидва алгоритми знаходяться на стадії реалізації двомірної моделі, яка формує візуальну схему зростання кристалів. Отримана схема може бути використана як аналог зображення перетину реального зразка (шліфа). Це дасть можливість більш повно і однозначно визначати характеристики кристалів, що, у свою чергу, істотно спростить процес відладки технології виробництва.

Результати моделювання

На рисунку 3 представлена двомірна схема кристалізації, сгенерована векторним алгортмом для кристалів, що орієнтовані по двох осях (що можливо у випадку направленого тепловідводу). Кількість кристалів - 5. Контури позначають положення граней кристалів на i-м кроці моделювання.

На рисунку 4 представлена двомірна схема кристалізації, сгенерована растровим алгортмом для кристалів, що орієнтовані по двох осях. Кількість кристалів довільна. На кожному кроці моделювання відбувається рост вже існуючих кристалів та генерація навих.

На рисунку 5 представлена динамічна схема кристалізаціі, сгенерована растровим алгоритмом.

Коректність схеми перевіряється шляхом порівняння програмно побудованого зображення із фотографією шліфа. Обробку побудованої схеми кристалізації можна проводити за допомогою методів лінійного аналізу. Дані методи засновані на підрахунку кількості меж кристал - кристал і кристал - рідка фаза і подальшій статистичній обробці отриманих даних згідно теоремам металографії.

Висновки

1. Реалізовані методи дозволяють отримати візуальну схему кристалізації при обмеженнях, накладених на форму кристалів і швидкості їх росту, відповідну структурі зразків твердих сплавів за певних умов.

2. Для підвищення точності моделі необхідно враховувати, що початкові форми зародків кристалів можуть бути різними, а так само, що орієнтація кристалів в просторі є імовірнісною величиною.

3. Завданням майбутніх досліджень є завдання програмної реалізації синтезу тривимірної схеми, що дає можливість аналізувати поверхні зразка.

Література

• Muller-Krumbhaar H., Saito Yu. Crystal Growth and Solidification / Surfactant Science Series, volume 89. CRC Press – 2000. ISBN 0824703235. pp. 853-854
• Sunagawa I. Crystals: Growth, Morphology and Perfection / Cambridge University Press – 2004.
• Martiouchev L. M., Seleznev V. D. , Skopinov S. A. Computer Simulation of Nonequilibrium Growth of Crystals in a Two-Dimensional Medium with a Phase-Separating Impurity / Journal of Statistical Physics, Vol. 90, Nos. 5/6, 1998.
• Cборник статей брянского государственного технического университета. URL: http://www.tu-bryansk.ru/content/journal-18
• Моделирование роста 2-х кристаллов на подложке. URL: http://www.ict.nsc.ru/ws/YM2007/12700/Brednikhina.htm
• Статья, в которой рассмотрен метод молекулярной динамики для исследования структуры твердого тела при переходе из аморфного в кристаллическое состояние. URL:http://www.physics.wups.lviv.ua/depts/KFM/prysjan/metals/p1087_1091.pdf
• Гончаров В.А. Численное моделирование процесса выращивания полупроводниковых кристаллов из расплава методом направленной кристаллизации // Теор. основы хим. технологии. 2001. Т. 35. № 3. С. 257-264.
• Bogdanov M.V.,Ofengeim D.Kh.,Zhmakin A.I. Industrial Challenges for Numerical Simulation of Crystal Growth / CEJP 2(1) 2004 183-203.
• Описание программы, моделирующий общие закономерности физики. URL: http://my-soft-blog.net/phun-multyashnaya-fizika
• Реализация метода Монте-Карло. URL: http://www.leokrut.com/leocrystal.html
• Шаскольская М.П. Кристаллография. Учебник для втузов. М.: Высш. школа, 1976, 391 с.
• Арзамасов Б.Н., Крашенинников А.И., Пастухова Ж.П., Рахштадт А.Г. Научные основы материаловедения. Учебник для вузов. – М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1994 г., 366 с.

Примітка

При написанні даного автореферату магістерську роботу ще не завершено. Остаточне завершення - 1 грудня 2009 р. Повний текст роботи та матеріали за темою можуть бути отримані в автора або наукового керівника після вказаної дати.