Система (1), содержащая одно линейное дифференциальное уравнение и два линейных алгебраических уравнений, допускает выделение одного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) относительно переменного давления p(t):

В модели Франка источником крови служит входной поток f₀(t) - заданная периодическая функция времени. Импульсы прямоугольной формы описывается функцией:

в 1-й формуле квадратные скобки обозначают функцию «целой части», 2-я формула определяет величину U ударного объема крови. Некоторые авторы представляют систолический поток импульсами параболической формы, тогда вместо (3) имеем поток:

Пусть в начальный момент времени p(0) ≡ p₀ - известное конечное диастолическое давление (КДД), а p(T₁) ≡ p₁ - неизвестное конечное систолическое давление (КСД). Тогда, решая ОДУ (2) для импульсных потоков (3) и (4), получим пару функций, которые описывают изменения давления в смежных фазах систолы и диастолы,

где Exp(t) 1 - exp(t), а функция F(t) - вклад систолического импульса, который для импульсов прямоугольной и параболической форм определяется, соответственно, так:

Кусочно экспоненциальные описания двух фаз релаксационных колебаний давления, представленные парой функций (5a) и (5b), относятся к одному циклу. С целью получения многоциклового описания этих колебаний, пригодного для алгоритмического (компьютерного) построения графиков, следует использовать введенную выше «пилообразную » функцию времени θ(t), дополненную двумя логическими импликациями:

Из линейной связи выходного потока с давлением, см. 3-е уравнение (1), следует аналогичное функциональное описание релаксационных колебаний потока:

здесь f₀≡ (p₀- P)/ r - конечный диастолический поток (КДП), f₁≡ (p₀- P)/ r - конечный систолический поток (КСП).

   3.1.2 Колебания давления и потока

Ударный объем такого параболического импульса, согласно (4), U = 80 мл - эта величина типична для гемодинамической нормы здорового человека. Чтобы прямоугольные импульсы обеспечивали такой же ударный объем, их амплитуду, см. (3) и (4), следует уменьшить в полтора раза. Используя решения (5) и (6), а также параметры (7), мы можем рекуррентным способом построить графики многоцикловых колебаний давления и потока для двух форм систолических импульсов (рис. 1). Из приведенных графиков видно, что при дополнительном условии равенства ударных объемов, выходные колебания потока для двух форм входных импульсов практически совпадают. В силу линейной связи, почти одинаковыми являются и графики колебаний давления на правом графике. Полученная теоретическая оценка отношения КСД/КДД≡ p_es / p_ed = 128/82 дает величину p_ed = 82 ммHg, которая почти совпадает с начальным давлением p₀ = 80 ммHg.

3.2 Методы прогнозирования временних рядов

   3.2.1 Средние и скользящие средние

Самой простой моделью, основанной на простом усреднении является Y(t+1)=(1/(t))*[Y(t)+Y(t-1)+...+Y(1)],
и в отличии от самой простой "наивной" модели, которой соответствовал принцип "завтра будет как сегодня", этой модели соответствует принцип "завтра будет как было в среднем за последнее время". Такая модель, конечно более устойчива к флуктуациям, поскольку в ней сглаживаются случайные выбросы относительно среднего. Несмотря на это, этот метод идеологически настолько же примитивен как и "наивные" модели и ему свойственны почти те же самые недостатки.

В приведенной выше формуле предполагалось, что ряд усредняется по достаточно длительному интервалу времени. Однако как правило, значения временного ряда из недалекого прошлого лучше описывают прогноз, чем более старые значения этого же ряда. Тогда можно использовать для прогнозирования скользящее среднее
Y(t+1)=(1/(T+1))*[Y(t)+Y(t-1)+...+Y(t-T)],
Смысл его заключается в том, что модель видит только ближайшее прошлое (на T отсчетов по времени в глубину) и основываясь только на этих данных строит прогноз.

При прогнозировании довольно часто используется метод экспоненциальных средних, который постоянно адаптируется к данным за счет новых значений. Формула, описывающая эту модель записывается как
Y(t+1)=a*Y(t)+(1-a)*^Y(t),
где Y(t+1) - прогноз на следующий период времени
Y(t) - реальное значение в момент времени t
^Y(t) - прошлый прогноз на момент времени t
a - постоянная сглаживания (0<=a<=1))

В этом методе есть внутренний параметр a, который определяет зависимость прогноза от более старых данных, причем влияние данных на прогноз экспоненциально убывает с "возрастом" данных.

Если производится прогнозирование с использованием модели экспоненциального сглаживания, обычно на некотором тестовом наборе строятся прогнозы при a=[0.01, 0.02, ..., 0.98, 0.99] и отслеживается, при каком a точность прогнозирования выше. Это значение a затем используется при прогнозировании в дальнейшем.

Хотя описанные выше модели (методы, основанные на средних, скользящих средних и экспоненциального сглаживания) используются при прогнозировании в не очень сложных ситуациях не рекомендуется использовать эти методы в задачах прогнозирования в виду явной примитивности и неадекватности моделей.

Вместе с этим хотелось бы отметить, что описанные алгоритмы вполне успешно можно использовать как сопутствующие и вспомогательные для предобработки данных в задачах прогнозирования. Например, для прогнозирования в большинстве случаев необходимо проводить декомпозицию временных рядов (т.е. выделять отдельно тренд, сезонную и нерегулярную составляющие). Одним из методов выделения трендовых составляющих является использование экспоненциального сглаживания.

   3.2.2 Методы Хольта и Брауна

В середине прошлого века Хольт предложил усовершенствованный метод экспоненциального сглаживания, впоследствии названный его именем. В предложенном алгоритме значения уровня и тренда сглаживаются с помощью экспоненциального сглаживания. Причем параметры сглаживания у них различны.

Постоянные сглаживания в методе Хольта идеологически играют ту же роль, что и постоянная в простом экспоненциальном сглаживании. Подбираются они, например, путем перебора по этим параметрам с каким-то шагом. Можно использовать и менее сложные в смысле количества вычислений алгоритмы. Главное, что всегда можно подобрать такую пару параметров, которая дает большую точность модели на тестовом наборе и затем использовать эту пару параметров при реальном прогнозировании.
Частным случаем метода Хольта является метод Брауна, когда a= β.

   3.2.3 Метод Винтерса

Хотя описанный выше метод Хольта (метод двухпараметрического экспоненциального сглаживания) и не является совсем простым (относительно моделей, основанных на усреднении), он не позволяет учитывать сезонные колебания при прогнозировании. Говоря более строго, этот метод не может их "видеть" в предыстории. Существует расширение метода Хольта до трехпараметрического экспоненциального сглаживания. Этот алгоритм называется методом Винтерса. При этом делается попытка учесть сезонные составляющие в данных. Система уравнений, описывающих метод Винтерса выглядит следующим образом:

Дробь в первом уравнении служит для исключения сезонности из Y(t). После исключения сезонности алгоритм работает с "чистыми" данными, в которых нет сезонных колебаний. Появляются они уже в самом финальном прогнозе, когда "чистый" прогноз, посчитанный почти по методу Хольта умножается на сезонный коэффициент.

   3.2.4 Регрессионные методы прогнозирования

Наряду с описанными выше методами, основанными на экспоненциальном сглаживании, уже достаточно долгое время для прогнозирования используются регрессионные алгоритмы. Коротко суть алгоритмов такого класса можно описать так.

Существует прогнозируемая переменная Y (зависимая переменная) и отобранный заранее комплект переменных, от которых она зависит - X1, X2, ..., XN (независимые переменные).

Модель множественной регрессии в общем случае описывается выражением

В более простом варианте линейной регрессионной модели зависимость зависимой переменной от независимых имеет вид:

Здесь β₀, β₁, β₂, β_N - подбираемые коэффициенты регрессии, ε- компонента ошибки. Предполагается, что все ошибки независимы и нормально распределены.

Для построения регрессионных моделей необходимо иметь базу данных наблюдений примерно такого вида:

С помощью таблицы значений прошлых наблюдений можно подобрать (например, методом наименьших квадратов) коэффициенты регрессии, настроив тем самым модель.

При работе с регрессией надо соблюдать определенную осторожность и обязательно проверить на адекватность найденные модели. Существуют разные способы такой проверки. Обязательным является статистический анализ остатков, тест Дарбина-Уотсона. Полезно, как и в случае с нейронными сетями, иметь независимый набор примеров, на которых можно проверить качество работы модели.

   3.2.5 Методы Бокса-Дженкинса (ARIMA)

В середине 90-х годов прошлого века был разработан принципиально новый и достаточно мощный класс алгоритмов для прогнозирования временных рядов. Большую часть работы по исследованию методологии и проверке моделей была проведена двумя статистиками, Г.Е.П. Боксом (G.E.P. Box) и Г.М. Дженкинсом (G.M. Jenkins). С тех пор построение подобных моделей и получение на их основе прогнозов иногда называться методами Бокса-Дженкинса. Более подробно иерархию алгоритмов Бокса-Дженкинса мы рассмотрим чуть ниже, пока же отметим, что в это семейство входит несколько алгоритмов, самым известным и используемым из них является алгоритм ARIMA. Он встроен практически в любой специализированный пакет для прогнозирования. В классическом варианте ARIMA не используются независимые переменные. Модели опираются только на информацию, содержащуюся в предыстории прогнозируемых рядов, что ограничивает возможности алгоритма. В настоящее время в научной литературе часто упоминаются варианты моделей ARIMA, позволяющие учитывать независимые переменные. В отличие от рассмотренных ранее методик прогнозирования временных рядов, в методологии ARIMA не предполагается какой-либо четкой модели для прогнозирования данной временной серии. Задается лишь общий класс моделей, описывающих временной ряд и позволяющих как-то выражать текущее значение переменной через ее предыдущие значения. Затем алгоритм, подстраивая внутренние параметры, сам выбирает наиболее подходящую модель прогнозирования. Как уже отмечалось выше, существует целая иерархия моделей Бокса-Дженкинса. Логически ее можно определить так
AR(p)+MA(q)->ARMA(p,q)->ARMA(p,q)(P,Q)->ARIMA(p,q,r)(P,Q,R)->... AR(p) -авторегрессионая модель порядка p.
Модель имеет вид:
Y(t)=f_0+f_1*Y(t-1)+f_2*Y(t-2)+...+f_p*Y(t-p)+E(t)
где Y(t)-зависимая переменная в момент времени t. f_0, f_1, f_2, ..., f_p - оцениваемые параметры. E(t) - ошибка от влияния переменных, которые не учитываются в данной модели. Задача заключается в том, чтобы определить f_0, f_1, f_2, ..., f_p. Их можно оценить различными способами. Правильнее всего искать их через систему уравнений Юла-Уолкера, для составления этой системы потребуется расчет значений автокорреляционной функции. Можно поступить более простым способом - посчитать их методом наименьших квадратов.

MA(q) -модель со скользящим средним порядка q.
Модель имеет вид:
Y(t)=m+e(t)-w_1*e(t-1)-w_2*e(t-2)-...-w_p*e(t-p)
Где Y(t)-зависимая переменная в момент времени t. w_0, w_1, w_2, ..., w_p - оцениваемые параметры.

   3.2.6 Нейросетевые модели прогнозирования

В настоящее время, на мой взгляд, самым перспективным количественным методом прогнозирования является использование нейронных сетей. Можно назвать много преимуществ нейронных сетей над остальными алгоритмами, ниже приведены два основных.

При использовании нейронных сетей легко исследовать зависимость прогнозируемой величины от независимых переменных.

Еще одно серьезное преимущество нейронных сетей состоит в том, что эксперт не является заложником выбора математической модели поведения временного ряда. Построение нейросетевой модели происходит адаптивно во время обучения, без участия эксперта. При этом нейронной сети предъявляются примеры из базы данных и она сама подстраивается под эти данные.

Недостатком нейронных сетей является их недетерминированность. Имеется в виду то, что после обучения имеется "черный ящик", который каким-то образом работает, но логика принятия решений нейросетью совершенно скрыта от эксперта. В принципе, существуют алгоритмы "извлечения знаний из нейронной сети", которые формализуют обученную нейронную сеть до списка логических правил, тем самым создавая на основе сети экспертную систему. К сожалению, эти алгоритмы не встраиваются в нейросетевые пакеты, к тому же наборы правил, которые генерируются такими алгоритмами достаточно объемные.

Тем не менее, для людей, умеющих работать с нейронными сетями и знающими нюансы настройки, обучения и применения, в практических задачах непрозрачность нейронных сетей не является сколь-нибудь серьезным недостатком.

Самый простой вариант применения искусственных нейронных сетей в задачах прогнозирования - использование обычного персептрона с одним, двумя, или (в крайнем случае) тремя скрытыми слоями. При этом на входы нейронной сети обычно подается набор параметров, на основе которого (по мнению эксперта) можно успешно прогнозировать. Выходом обычно является прогноз сети на будущий момент времени.

Еще одной часто используемой нейросетевой архитектурой, используемой в прогнозировании является нейронная сеть с общей регрессией. Несмотря на то что принцип обучения и применения таких сетей в корне отличается от обычных персептронов, внешне сеть используется таким же образом, как и обычный персептрон. Говоря другими словами, это совместимые архитектуры в том смысле, что в работающей системе прогнозирования можно заменить работающий персептрон на сеть с общей регрессией и все будет работать. Не потребуется проводить никаких дополнительных манипуляций с данными.

Если персептрон во время обучения запоминал предъявляемые примеры постепенно подстраивая свои внутренние параметры, то сети с общей регрессией запоминают примеры в буквальном смысле. Каждому примеру - отдельный нейрон в скрытом слое сети, а затем, во время применения сеть сравнивает предъявляемый пример с примерами, которые она помнит. Смотрит, на какие из них текущий пример похож и в какой степени и на основе этого сравнения выдаст ответ.

Отсюда следует первый недостаток такой архитектуры - когда база данных которые мы прогнозируем велика, сеть станет слишком большой и будет медленно работать. С этим можно бороться предварительной кластеризацией базы данных.

4.1 Описание обучающей и тестовой выборки

В качестве обучающей выборки взяты 30 записей из базы данных MIMIC II Database. Эти записи разбиты на 2 группы: группа C, в которую входят записи пациентов у которых не наблюдалось эпизодов острой артериальной гипотензии, и группа H, в которую вошли записи пациентов переживших эпизод острой артериальной гипотензии в течении получаса после контролируемого периода.

Тестовая выборка состоит из десяти записей взятых из базы данных MIMIC II Database. Половина из этих записей - это записи пациентов, переживших эпизод острой артериальной гипотензии в течения получаса после контрольного времени, а другая половина - записи пациентов, у которых не наблюдались эпизоды острой артериальной гипотензии.
Эта выборка будет использоваться для контроля разрабатываемых алгоритмов.

4.2 Программа формирования временных рядов

На языке Си с использованием специального API для работы с базой данных MIMIC II Database была разработана программа, которая определяет максимальное артериальное давление в период сокращение левого и правого желудочков (систола), и минимальное давление в период расслабления (диастола). Кроме того программа определяет длительности этих периодов сердечного цикла.