Крикун Ярослав Викторович

Факультет Компьютерных Информационных Технологий и Автоматики

Кафедра Электронной Техники

Специальность: Электронные системы

Научный руководитель: к.т.н., доц. Коренев Валентин Дмитриевич

Обоснование и исследование структуры электронной системы измерения расхода питьевой воды в напорных трубопроводах большого диаметра

Библиотека по теме выпускной работы

5. Теория кондукционного расходомера. Основные уравнения

Авторы: Дж. Шерклиф

Источник: Теория электромагнитного измерения расхода. – М.: Мир, 1965. – 268 с.

2.1. Основные уравнения

Сущность задачи о кондукционном расходомере состоит в следующем: дано распределение скорости проводящей жидкости и известно распределение приложенного магнитного поля; требуется найти возникающие электрические эффекты, и в частности связать разность потенциалов между двумя или более точками или поверхностями (электродами) с некоторыми количественными характеристиками потока, например со средней скоростью. Океанографы столкнулись с аналогичной задачей.

Следует заметить, что здесь умышленно пренебрегается двумя другими эффектами, связанными с движением проводящей жидкости в магнитном поле, а именно влиянием индуцированных токов на распределение поля и воздействием объемных электромагнитных сил, связанных с этими токами, на движение жидкости. Эти два эффекта имеют значение только для жидких металлов и будут рассмотрены в гл. 3.

Жидкость предполагается немагнитной с магнитной проницаемостью µ, равной проницаемости вакуума. Таким образом, жидкость может испытывать влияние объемных сил и воздействовать на стационарное электромагнитное поле только при движении.

Далее предполагается, что жидкость подчиняется закону Ома, т. е. вектор плотности тока параллелен электрическому полю в системе координат, движущейся с жидкостью. Проводимость σ считается изотропной и не зависящей от магнитного поля или движения жидкости, так что эффект Холла исключается. Будем предполагать, кроме того, что можно пренебречь изменениями проводимости и термоэлектрическими эффектами вследствие неоднородности температуры.

Токами за счет переноса заряда при движении жидкости также можно пренебречь, так как такой заряд, определяющий дивергенцию электрического поля, всегда очень мал.

В электролитах эффективная проводимость между двумя точками за счет поперечного движения жидкости может быть заметно снижена вследствие низкой подвижности ионов, как сообщалось в работе Ашкинази. Будем пренебрегать такими эффектами в нашем анализе, хотя их влияние на характеристики расходомера может быть значительным. В средах с электронной проводимостью, подобных; жидким металлам, все выше сделанные предположения полностью оправдываются.

Итак, мы принимаем, что плотность тока в жидкости подчиняется закону Ома в форме

j = σ(E + v × B), (2.1)

где j – вектор плотности тока, σ – проводимость жидкости (скаляр), т. е. величина, обратная удельному сопротивлению, E + v × B – электрическое поле в движущейся с жидкостью системе отсчета (релятивистские члены опущены), E – электрическое поле в неподвижной системе координат, v – скорость жидкости, B – магнитная индукция. Член v × B соответствует э.д.с., индуцированной при движении жидкости, тогда как E связано с распределением заряда вне и внутри жидкости и с изменением магнитного поля во времени. Полный список обозначений приведен в начале книги; везде используется рационализованная МКС-система единиц.

Если скорость жидкости, или магнитное поле, или же обе эти величины изменяются во времени, то токи, индуцированные при движении жидкости, также должны быть переменными. Если частота изменений очень высокая, то распределения индуцированного тока и электрического поля существенно нарушаются вследствие самоиндукции. Даже в покоящейся жидкости переменное во времени приложенное магнитное поле возмущается из-за самоиндукции. Это известный «скин-эффект», который в предельном случае не позволяет магнитному полю проникать в ядро потока и делает тем самым электромагнитное измерение расхода невозможным.

Степень важности этих эффектов, затрудняющих работу кондукционного расходомера, определяется одним и тем же критерием: их можно не учитывать, если величина (μσω)^-½ велика в сравнении с характерным линейным размером расходомера, например диаметром трубы (см. приложение). Здесь ω – частота изменения скорости жидкости или магнитного поля. Будем предполагать, что ω достаточно мала, так что указанное условие выполнено, влиянием самоиндукции можно пренебречь и фактически мы имеем задачу, в которой электрическое поле обладает потенциалом. Для электролитов ограничения, налагаемые на ω, малы. Для жидких металлов влияние самоиндукции устраняется при более жестких ограничениях. По этой и по другим причинам для жидких металлов удобнее применять электромагниты постоянного тока или постоянные магниты.

При низких частотах и отличной от нуля проводимости мы можем с уверенностью пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости j. Достаточным для этого условием является неравенство ω ε/σ«1, где ε – диэлектрическая проницаемость (см. приложение). В этой книге не обсуждается применение кондукционных расходомеров для диэлектрических жидкостей типа масел, в которых ток смещения более важен, чем ток проводимости. Теория таких устройств рассмотрена Кашингом [I.1].

Для расходомеров с переменным полем существует также самостоятельная проблема потери чувствительности из-за наводок в подводящих проводах, которые непременно пронизываются частью потока переменного поля. Возникающий при этом вклад во внешний сигнал на четверть периода сдвинут относительно полезной его части, индуцированной при движении жидкости, и потому легко может быть выделен. Эта задача обстоятельно рассмотрена в литературе (см. библиографию). Исключение из уравнений Максвелла тока смещения ∂D / ∂t и отражающего самоиндукцию члена ∂B / ∂t дает

rot E = 0, (2.2)

rot B = µj. (2.3)

Из уравнения (2.2) видно, что можно обычным путем определить электрический потенциал U:

E = - grad U. (2.4)

Уравнение (2.3) показывает только, каким образом индуцированные токи влияют на приложенное магнитное поле, и поэтому не рассматривается до следующей главы. Однако из него следует равенство

div j = 0, (2.5)

выражающее тот факт, что локальный электрический заряд несуществен при низкой или нулевой частоте.

При постоянной σ из уравнения (2.1), учитывая соотношения (2.4) и (2.5), получаем уравнение Пуассона

▼²U = div (v × B), (2.5)

Это основное уравнение теории расходомера, которое вместе с соответствующими граничными условиями позволяет найти распределение U но заданным распределениям v и В. То же самое уравнение широко исследовалось океанографами, которые иногда принимали во внимание изменение σ. Задача, очевидно, сводится к отысканию потенциала, возникающего от пространственного распределения диполей или миниатюрных электрических генераторов с плотностью v × B. Направление действия каждого диполя, как и следовало ожидать, перпендикулярно движению жидкости и магнитному полю. Заметим, что проводимость σ не входит пока в задачу. Она появляется, если граничные условия заданы на проводящих поверхностях.

Поскольку в большинстве случаев движение жидкости турбулентно, важно выяснить, остается ли уравнение (2.6) в каком-то смысле справедливым для турбулентного течения. Если чертой отметить средние по временя величины и штрихом – турбулентные флуктуации (так что, например, U = U^- + U`), то, усредняя (2.6) по времени, получаем

▼²U^-= div (v^- × B^- + (v^{`</sup> × B<sup>`})^-, (2.7)

Вторым векторным произведением в правой части можно пренебречь по различным причинам: нет оснований ожидать сильной корреляции между случайными флуктуациями скорости и поля; кроме того, величина B^`, как будет показано в гл. 3, есть индуцированное поле, которое в сравнении с приложенным полем обычно мало даже для жидких металлов. Для электролитов оно совершенно несущественно. Таким образом, если опустить последний член в (2.7), то получится уравнение (2.6), в котором под U, v и В следует понимать средние значения этих величин. Поэтому турбулентность потока не усложняет проблемы: электромагнитный расходомер может измерять среднюю скорость. Раскрывая div (v × B), можно переписать (2.6) в виде

▼²U = B rot v - v rot B, (2.8)

Последний член может быть опущен, если магнитное поле не сильно искажено индуцированными токами в жидкости (так что rot B = 0), а также когда эти токи перпендикулярны скорости жидкости. Тогда

▼²U = B rot v, (2.9)

2.1.1. Граничные условия

При решении любой задачи должны быть сформулированы достаточные граничные условия. К уравнению второго порядка (2.6) или (2.9), описывающему распределение U, необходимо добавить одно граничное условие для электрических величин на всей границе исследуемой проводящей области. Внутри этой области могут быть поверхности раздела между жидкими и твердыми проводниками, на которых должны быть заданы два граничных условия. Случаи, когда имеется граница раздела между двумя жидкостями или же свободная поверхность, не представляют большого практического интереса и не будут рассматриваться. Часть границы изучаемой области обычно образуется гипотетическими поверхностями в областях входа и выхода жидкости. Эти поверхности либо достаточно удалены и на них все электрические возмущения пренебрежимо малы, либо выбраны так, что соответствующие граничные условия можно установить из соображений симметрии или других интуитивных рассуждений.

Часто удобно использовать обычное гидродинамическое граничное условие (v = 0) на твердой неподвижной стенке. Вследствие этого из (2.1) имеем равенство

j = - σ grad U (2.10)

для покоящейся жидкости, непосредственно примыкающей к стенке. Большинство теоретических результатов для расходомеров фактически не должно зависеть от этого ограничения на распределение скорости. Мы принимаем его просто как наиболее близкое к действительности.

I. Непроводящие стенки. В этом случае отсутствует ток из жидкости в стенку. Поэтому j_n и ∂U / ∂n [согласно (2.10)] обращаются на стенке в нуль (n отсчитывается по нормали к стенке). То же условие применимо, если контактное сопротивление между жидкостью и проводящей стенкой становится очень высоким.

II. Проводящие стенки. Пусть проводимость χ стенки однородна и существует контактное сопротивление τ между жидкостью и стенкой. В целях упрощения анализа будем предполагать τ также постоянной величиной, хотя хорошо известно, что в действительности τ сильно меняется во времени и в пространстве. Не всегда справедливо даже предположение о том, что контактная разность потенциалов пропорциональна нормальной компоненте плотности тока в данной точке и в данный момент времени. Однако использование постоянного τ дает возможность исследовать влияние контактного сопротивления, избегая слишком больших математических сложностей.

Поскольку стенка покоится, распределение потенциала и тока в ней описывается уравнениями

j = - χ grad U,

▼²U = 0. (2.11)

На внешней, несмачиваемой поверхности стенки нормальный ток обычно отсутствует и ∂U / ∂n обращается в нуль. Даже на тех участках стенок, от которых отходят провода к измерителю напряжения, ток считается отсутствующим или пренебрежимо малым, иначе выходной сигнал прибора будет снижен за счет потерь на внутреннее сопротивление. Поэтому для измерения напряжения должен применяться потенциометр или устройство, обладающее высоким внутренним полным сопротивлением по сравнению с внутренним сопротивлением между электродами.

На внутренней границе, отделяющей жидкость от стенки, там где через контактное сопротивление протекает нормальный ток, возникает скачок потенциала, определяемый соотношением

U_f - U_ω = τσ ∂U_f / ∂n, (2.12)

где нормаль n направлена от стенки в жидкость.

Индексы f и ω соответственно относятся к жидкости и стенке. Из условия непрерывности нормального тока с учетом (2.10) получаем также

σ ∂U_f / ∂n = χ ∂U_ω / ∂t. (2.13)

Этих условий достаточно, чтобы сшить решения уравнений (2.9) и (2.11) соответственно для жидкости и стенки.

2.1.2. Чувствительность расходомера S

Прежде чем переходить к решению основных уравнений в частных случаях, удобно ввести величину S – безразмерную характеристику или тарировочный коэффициент кондукционного расходомера, в котором разность потенциалов U_ху, индуцированная между двумя электродами X и Y, используется для определения расхода. Положим

S = U_ху / LBv_m, (2.14)

где L – длина XY, B – характерное значение приложенного поля и v_m – средняя скорость потока.

В простейшем случае, когда линия XY и векторы скорости и напряженности поля взаимно перпендикулярны, причем В и v постоянны по величине и направлению, S обращается в единицу, если только стенки трубы, ограничивающие жидкость, непроводящие. В этом случае индуцированные токи отсутствуют, жидкость поляризуется и U_ху есть просто интеграл вдоль XY от постоянной индуцированной э.д.с. v × B. Форма трубы при этом несущественна.

Далее будет показано, что S = 1 и в некоторых других случаях, но часто сильно отличается от единицы.