фрактал

  Термин фрактал был введен Бенуа Мандельбротом более 30 лет назад, но до сих пор однозначного определения не существует. Гораздо легче описать фракталы, чем определить их. Ключевое свойство, характеризующее фракталы – самоподобие. Поэтому фрактал можно определить как геометрическую фигуру, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба.
     Фракталы, обладающие этим свойством и получающиеся в результате простой рекурсивной процедуры (комбинации линейных преобразований), называются конструктивными фракталами. Таким образом, конструктивный фрактал – это множество, получающиеся в результате линейных (аффинных) сжимающих отображений подобия. Результирующее сжимающее отображение обладает устойчивой неподвижной"точкой"фракталом.

Мультифракталы 

             Фракталы неизмеримо расширили наши возможности описания природы. Абстрактные конструкции Кантора, Коха, Больцано снабдили нас моделями реальности гораздо более реалистичными, чем Евклидова геометрия. Однако в физике, химии, геологии (и в некоторых других науках) мы сталкиваемся со многими явлениями, требующими расширения понятия фрактала на более сложные структуры. Для полной характеристики этих неоднородных объектов требуется уже не одна, в отличие от регулярных фракталов, а целый спектр фрактальных размерностей, число которых в общем случае бесконечно.
       Причина этого заключается в том, что наряду с чисто геометрическими характеристиками, определяемыми размерностью Хаусдорфа, такие фракталы обладают некоторыми статистическими свойствами.
      Многие странные аттракторы нелинейных динамических систем также обладают ярко выраженной мультифрактальной структурой.
     Проще всего пояснить, что подразумевается под "неоднородным фракталом" на примере треугольника Серпинского, полученного с помощью метода случайных итераций. Известно, что система итерируемых функций для этого фрактала состоит из трех равновероятных линейных преобразований (вероятность=1/3). Перераспределим вероятности следующим образом: на одно преобразование пусть приходится 90%, на остальные два по 5%. Таким образом, получится треугольник Серпинского, точки которого распределены крайне неравномерно. Большая часть собрана у одной вершины и ее прообразов. В то время как у других вершин (и их прообразов) их крайне мало. Тем не менее, фрактальная размерность этого объекта равна фрактальной размерности классического треугольника Серпинского (т.е. с равновероятными преобразованиями) и равна D=ln3/ln2. Такое совпадение и заставляет нас заняться поиском новых характеристик, которые отличали бы неравномерное распределение точек от равномерного.

Классификация

            фракталов     Видно, что фрактал Мандельброта и кривая Коха разные типы фракталов. У них есть общее - рекурсивная процедура при генерации, но есть отличия. Поэтому для их изучения следует разделить их на определенные классы. Одной из общепринятых классификаций является классификация фракталов на геометрические, алгебраические и стохастические (см. таблицу).

     Теперь подробнее остановимся на каждом пункте.

  Геометрическиефракталы

            Именно с них началась история фракталов. Это и есть те функции-монстры, которых так называли за недифференцируемость в каждой точке. Геометрические фракталы являются также самыми наглядными, т.к. сразу видна самоподобность. Вообще все геометрические фракталы обладают т.н. жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Для построения геометрических фракталов характерно задание "основы" и "фрагмента", повторяющегося при каждом уменьшении масштаба. Поэтому эти фракталы иногда называют

 Алгебраические фракталы

         Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили, за то, что их строят, используя простые алгебраические формулы.
 Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Состояние, в котором окажется динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от начальных условий. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно перейдет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.
     Самыми известными из них являются множества Мандельброта и Жюлиа, Бассейны Ньютона и т.д.

 Стохастические фракталы

               Кривая Коха как бы не была похожа на границу берега не может выступать в качестве ее модели из-за того, что она всюду одинакова, самоподобна, а в действительности это не так. Все природные объекты создаются по капризу природы, и есть случайность в этом процессе.
        Фракталы при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры называются стохастичными. Термин "стохастичность" происходит от греческого слова, обозначающего "предположение".
 Также примером случайности в природе является броуновское движение. С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто, т.к. он позволяет генерировать последовательности случайных чисел. Эти фракталы используются при моделировании рельефов местности и поверхности морей, процесса электролиза.

        Существует еще одна интересная классификация. Фракталы в этом случае классифицируются на два класса: рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учеными, и он при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. в действительности это не так, т.к. у дерева не бесконечное число ветвей, и берег имеет не бесконечную длину. Поэтому на природные фракталы накладывается ограничение на область существования. Вводится максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

 

         Угол направления вектора Φ равен сумме φ по каждому разряду. Например, номер отрезка равен 482, записывая в четвертичной системе, получаем 13202, откуда Φ = π/3 + 0 + (-π/3) + 0 + (-π/3).
Кстати, количество всех отрезков равно количеству отрезков во фрагменте возведенному в степень приближения (т.е. порядок предфрактала).
     Ниже приведена программа построения кривой Коха с использованием данного алгоритма.

        Теперь подробнее о самой реализации в программе. Константа p задает порядок предфрактала, и она будет использована для вычисления размера отрезка и общего количества отрезков. Далее вычисляем длину одного отрезка, если рассматривать рисунок, то видно, что она обратно пропорциональна 3^p. Поэтому длина отрезка l=640/(3^p). Т. к. в Pascal'е функции для возведения в степень нет, а есть функции exp(x) и ln(x), то пользуемся основным логарифмическим тождеством: a^b = e^ln(ab) = e^(b*ln(a)). Самое интересное, что с помощью этого тождества можно вычислять любую, будь то целую или дробную степень. Но это так, к слову.
        Далее в цикле обрабатываем отрезки от 0 до 4^p-1 (степень вычисляется аналогично). Перевод в четвертичную систему счисления производится стандартным способом. Число делится на основание системы, остаток записывается, и т.д. В зависимости от полученного остатка выбираем направление. Далее просчитываем координаты и рисуем новый отрезок.

         Рассмотрим также построение еще одного вида кривой Коха и фрактала Леви.
 При построении кривой Коха с восьмизвенным генератором необходимо использовать восьмеричную систему счисления т.к. количество отрезков во фрагменте равно восьми.