На цьому перелік українських досягнень закінчується (принаймні, при моїх здібностях пошуку).

  Зовсім інша ситуація спостерігається в науковій думці закордонних вчених. Павутиноподібної моделлю, її різними модифікаціями та ускладненнями займається весь світ. Особливі дослідження проводяться в Північно-Східній Азії (Китай, Японія, Корея та ін), в Західній Європі (Нідерланди та ін) і в південно-західній частині Тихого океану (Нова Зеландія, Австралія та ін.)

  Значний крок був зроблений професором в економічній динаміці Dr Cars H. Hommes. Ця людина заснувала в жовтні 1998 року, при Університеті Амстердама, Центр нелінійної динаміки в економіці та фінансах, який і проводить серйозні дослідження над нелінійними економічними моделями. Cars Hommes написав чималу кількість праць з вивчення й аналізу павутиноподібної моделей. Він розробив різні види павутинових моделей:

• Брав до уваги концепцію адаптивних очікувань у павутинних моделях з єдиним виробником для дослідження появляючогося дивної і хаотичної поведінки.
• Разом з дослідниками Jensen та Urban використовував лінійну функцію попиту з нелінійною функцією пропозиції. Ці дослідження показали, що нелінійна павутиноподібна модель може пояснювати різні нерегулярні флуктуації, які мають місце в реальних економічних даних.
• Подальші дослідження торкнулися неоднорідних учасників фінансового ринку.

  Вивченням павутиноподібної моделі з неоднорідними виробниками займалися і вчені австралійської Школи фінансів та економіки і Університету технологій в Сіднеї (School of Finance and Economics, University of Technology, Sydney) — Carl Chiarella, Xue-Zhong He і Peiyuan Zhu.

  Павутиноподібну модель будували для різних ринків:

• японськими дослідниками була побудована модель для ринку сільськогосподарської продукції;
• американцями — для ринку працевлаштування медсестер;
• китайськими та корейськими економістами-математиками для ринків майна;
• і т.д.

   Окремим напрямком в аналізі павутиноподібної моделі ціноутворення є дослідження її хаотичного поведінки, станів, при яких виникають біфуркаційні коливання цін.

  Павутиноподібну модель можна розглядати як дискретну нелінійну систему. А як відомо, такі системи схильні до хаотичного поведінки при певних параметрах. Такі системи є дуже чутливими від початкових умов. Чутливість від початкових умов означає, що навіть як завгодно близькі траєкторії з плином часу розходяться на кінцевій відстані, тобто прогноз траєкторії на тривалий час виявляється неможливий. При цьому кожна траєкторія залишається обмеженою, що суперечить інтуїтивному розумінню нестійкості, заснованому на досвіді роботи з лінійними системами.

   Хаотичний рух описується дивними атракторамі, які дуже складні і мають багато параметрів. Дивні аттрактори з'являються в як у безперервних динамічних системах (типу системи Лоренца) і в дискретних (наприклад відображення Хенона (Hеnon)). Деякі дискретні динамічні системи названі системами Жуліа за походженням. І дивні аттрактори, і системи Жуліа мають типову рекурсивну, фрактальну структуру. Теорема Пуанкаре-Бендіксона доводить, що дивний атрактор може виникнути в безперервній динамічній системі, тільки, якщо вона має три або більше вимірів. Проте це обмеження не працює для дискретних динамічних систем. Дискретні двух- і навіть одномірні системи можуть мати дивні аттрактори.

  Тому, одним із завдань сьогоднішнього дослідження павутиноподібних моделей є аналіз виникаючих атракторів (регулярних і дивних); вивчення чутливості цін у часі, і виділення основних факторів і параметрів, які повинні бути обережно регулювати.

  Наступним завданням є продовження спроб стабілізації виявленого хаотичного поведінки систем, перетворення його на регулярне. Даний напрямок розвивається стрімко, і до справжнього моменту вже написано достатня кількість робіт, пов'язаних саме зі стабілізацією хаотичного поведінки в павутиноподібних моделях.

  Серед основних методів, які використовують для вирішення цієї проблеми, найчастіше використовують метод зворотного зв'язку чи метод Пірагаса.

  Дивно, що метод зворотного зв'язку був запропонований у 1990 р. Дж. Йорк із співавторами, в якому затверджувалася можливість істотної зміни властивостей хаотичної системи за допомогою вельми малого зміни її параметрів. У статті було зроблено висновок, що навіть мале керування у вигляді зворотного зв'язку, прикладеного до нелінійної (хаотично коливаючої) системі, може корінним чином змінити її динаміку й властивості (наприклад, перетворити хаотичний рух на періодичний).

  Робота породила лавину публікацій, в яких іноді експериментальним шляхом, а частіше шляхом комп'ютерного моделювання, демонструвалося, як управління (зі зворотнім зв'язком чи без нього) може впливати на поведінку різноманітних реальних і модельних фізичних систем. Запропонований у роботі метод управління почали називати методом OGY за початковими буквами прізвищ авторів, а кількість посилань на роботу до 2002 р. перевищила 1300.

  У процесі моделювання будуть реалізовані і аналізовані графіки чутливості цін у часі, які покажуть поведінку системи; класичний графік павутиноподібної моделі з оптимальними значеннями ринкових цін; графіки атракторів для основних параметрів моделі та вивчення системи при їх незначній зміні (перевірка системи на чутливість до початкових умов, тобто визначення, чи є поведінка системи хаотичною), визначення структури отриманих атракторів (регулярні або дивні (фрактальні)); побудова максимальних експонент Ляпунова, які також оцінюють поведінку системи і показують розбіжність (сходження) траєкторій вздовж різних координат; реалізація 2-D діаграм біфуркацій логістичного відображення, які будуть говорити про рух динамічної системи.

  Управління системи буде відбувається завдяки методу Пірагаса (говорилося вище), або можливо будуть запропоновані деякі модифікації методу, безпосередньо до даного типу системи.

  Як бачимо, всі наші спроби зводяться до вивчення поведінки динаміки ринкових цін у павутиноподібній моделі ціноутворення. На нашу думку такий аналіз буде мати інтерес в умовах переходу української економіки до ринкової, що затруднився із настанням світової кризи.