 |
RU UA EN ДонНТУ Портал магістрів ДонНТУ |
||||
 |
 |
||||
ВСТУП
Актуальність роботи
Теорія динамічних систем широко затребувана великим спектром наук - фізикою, біологією, механікою і, звичайно, економікою. Вона дозволяє не тільки визначити можливий напрямок розвитку досліджуваного об'єкта, а й розробити комплекс адаптивних впливів на систему для коригування цього напрямку.
У ДонНТУ моделюванням динамічних систем в економіці займаються Дмитрієва О.А. та Смирнов А.В. Також цією проблемою займаються журнал «Проблеми управління та інформатики» за підтримки Національної академії наук України, Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Інститут механіки, Інститут математики, Український національний комітет з теоретичної та прикладної механіки. Дослідженням динамічних систем займалися такі вітчизняні та зарубіжні вчені, як Хайрер, Аніщенко, Вержбицький, Аносов. У той же час, у теорії динамічних систем залишається актуальною проблема розв'язання жорстких задач, пов'язана з паралельними обчисленнями.
Метою роботи є розробка та обгрунтування збіжності та стійкості нових чисельних паралельних методів розв'язання динамічних задач зі сконцентрованими параметрами.
1. Виявлення та обгрунтування можливостей розпаралелювання чисельних методів та алгоритмів, які використовуються для моделювання складних динамічних об'єктів. 2. Дослідження проблем збіжності та типів стійкості одержаних методів. 3. Визначення оптимальних співвідношень опірних і розрахункових вузлів, які дозволяють отримувати розв'язок задачі із заданим ступенем точності.
Підвищення ефективності функціонування паралельних обчислювальних середовищ за рахунок створення чисельних методів розпаралелювання обчислювальних процесів, аналізу їх збіжності та стійкості.
Огляд досліджень та розробок
У ДонНТУ моделюванням динамічних систем в економіці займаються Дмитрієва О.А. та Смирнов А.В. Також цією проблемою займаються журнал «Проблеми управління та інформатики» за підтримки Національної академії наук України, Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Інститут механіки, Інститут математики, Український національний комітет з теоретичної та прикладної механіки. Дослідженням динамічних систем займалися такі вітчизняні та зарубіжні вчені, як Хайрер, Аніщенко, Вержбицький, Аносов. У той же час, у теорії динамічних систем залишається актуальною проблема розв'язання жорстких задач, пов'язана з паралельними обчисленнями.
Мета роботи
Метою роботи є розробка та обгрунтування збіжності та стійкості нових чисельних паралельних методів розв'язання динамічних задач зі сконцентрованими параметрами.
Задачі
1. Виявлення та обгрунтування можливостей розпаралелювання чисельних методів та алгоритмів, які використовуються для моделювання складних динамічних об'єктів. 2. Дослідження проблем збіжності та типів стійкості одержаних методів. 3. Визначення оптимальних співвідношень опірних і розрахункових вузлів, які дозволяють отримувати розв'язок задачі із заданим ступенем точності.
Заплановані наукові і практичні результати
Підвищення ефективності функціонування паралельних обчислювальних середовищ за рахунок створення чисельних методів розпаралелювання обчислювальних процесів, аналізу їх збіжності та стійкості.
ПОНЯТТЯ ДИНАМІЧНОЇ СИСТЕМИ
Однією з важливих наукових проблем природознавства є вирішення задачі передбачення поведінки досліджуваного об'єкта в часі і просторі на основі певних знань про його початковийу стан. Ця задача зводиться до знаходження деякого закону, який дозволяє за наявною інформацією про об'єкт у початковий момент часу t 0 у точці простору x 0 визначити його майбутнє в будь-який момент часу t> t 0. Залежно від ступеня складності самого об'єкта цей закон може бути детермінованим або ймовірнісним, може описувати еволюцію об'єкту тільки в часі, тільки в просторі, а може описувати просторово-часову еволюцію.
Предметом нашого аналізу будуть не об'єкти взагалі, а динамічні системи у математичному розумінні цього терміну.
Під динамічною системою розуміють будь-який об'єкт або процес, для якого однозначно визначено поняття стану як сукупності деяких величин у даний момент часу і задано закон, який описує зміну (еволюцію) початкового стану у часі. Цей закон дозволяє за початковим станом прогнозувати майбутній стан динамічної системи, його називають законом еволюції. Динамічні системи - це механічні, фізичні, хімічні та біологічні об'єкти, обчислювальні процеси та процеси перетворення інформації, що здійснюються у відповідності до конкретниих алгоритмів. Описи динамічних систем для завдання закону еволюції також різноманітні: за допомогою диференціальних рівнянь, дискретних відображень, теорії графів, теорії марковських ланцюгів і т.ін. Вибір одного із способів опису задає конкретний вид математичної моделі відповідної динамічної системи.
Математична модель динамічної системи вважається заданою, якщо введені параметри (координати) системи, що визначають однозначно її стан, і зазначений закон еволюції. Залежно від ступеня наближення одній і тій самій системі можуть бути поставлені у відповідність різні математичні моделі.
Дослідження реальних систем зводиться до вивчення математичних моделей, вдосконалення і розвиток яких визначаються аналізом експериментальних і теоретичних результатів при їх зіставленні. У зв'язку з цим під динамічною системою ми будемо розуміти саме її математичну модель. Досліджуючи одну й ту ж динамічну систему (наприклад, коливання цін), залежно від ступеня обліку різних чинників ми отримаємо різні математичні моделі.
Динамічні системи можна класифікувати в залежності від виду оператора відображення та структури фазового простору. Якщо оператор передбачає виключно лінійні перетворення початкового стани, то він називається лінійним. Лінійний оператор має властивість суперпозиції: T [x (t) + y (t)] = Tx (t) + Ty (t). Якщо оператор нелінійний, то і відповідна динамічна система називається нелінійною.
y'=-50(y-cosx) (1.1)
Предметом нашого аналізу будуть не об'єкти взагалі, а динамічні системи у математичному розумінні цього терміну.
Під динамічною системою розуміють будь-який об'єкт або процес, для якого однозначно визначено поняття стану як сукупності деяких величин у даний момент часу і задано закон, який описує зміну (еволюцію) початкового стану у часі. Цей закон дозволяє за початковим станом прогнозувати майбутній стан динамічної системи, його називають законом еволюції. Динамічні системи - це механічні, фізичні, хімічні та біологічні об'єкти, обчислювальні процеси та процеси перетворення інформації, що здійснюються у відповідності до конкретниих алгоритмів. Описи динамічних систем для завдання закону еволюції також різноманітні: за допомогою диференціальних рівнянь, дискретних відображень, теорії графів, теорії марковських ланцюгів і т.ін. Вибір одного із способів опису задає конкретний вид математичної моделі відповідної динамічної системи.
Математична модель динамічної системи вважається заданою, якщо введені параметри (координати) системи, що визначають однозначно її стан, і зазначений закон еволюції. Залежно від ступеня наближення одній і тій самій системі можуть бути поставлені у відповідність різні математичні моделі.
Дослідження реальних систем зводиться до вивчення математичних моделей, вдосконалення і розвиток яких визначаються аналізом експериментальних і теоретичних результатів при їх зіставленні. У зв'язку з цим під динамічною системою ми будемо розуміти саме її математичну модель. Досліджуючи одну й ту ж динамічну систему (наприклад, коливання цін), залежно від ступеня обліку різних чинників ми отримаємо різні математичні моделі.
КЛАСИФІКАЦІЯ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
Динамічні системи можна класифікувати в залежності від виду оператора відображення та структури фазового простору. Якщо оператор передбачає виключно лінійні перетворення початкового стани, то він називається лінійним. Лінійний оператор має властивість суперпозиції: T [x (t) + y (t)] = Tx (t) + Ty (t). Якщо оператор нелінійний, то і відповідна динамічна система називається нелінійною. Розрізняють неперервні і дискретні оператори і відповідно системи з безперервним і дискретним часом. Системи, для яких відображення x (t) за допомогою оператора T може бути визначено для будь-яких t>t0 (безперервно у часі), називають також потоками. Якщо оператор відображення визначений на дискретній множині значень часу, то відповідні динамічні системи називають каскадами або системами з дискретним часом.
Динамічні системи називаються автономними, якщо вони не піддаються дії зовнішніх сил, змінних в часі.
Динамічні системи називаються автономними, якщо вони не піддаються дії зовнішніх сил, змінних в часі.
ЖОРСТКІ ДИНАМІЧНІ СИСТЕМИ
Задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь можна умовно розділити на наступні типи: м'які, жорсткі, погано обумовлені і швидко осцилюючих. Кожен тип пред'являє специфічні вимоги до чисельних методів.
Кертісс і Хіршфельдер пояснюють властивість жорсткості на одновимірних прикладах, таких, як рівняння
Кертісс і Хіршфельдер пояснюють властивість жорсткості на одновимірних прикладах, таких, як рівняння
Рис. 2 Криві рішень (1.1) і рішення неявним методом Ейлера при y(0)=0
Рис. 3 Рішення явним методом Ейлера при у(0)=0, h=1.974/50 та 1.875/50
Криві рішень рівняння (1.1) показані на рис. 2. 2. Видно, що поблизу у=cosх є рішення, що повільно змінюється, а всі інші рішення підходять до нього після швидкої «перехідною фази». Такі швидкі переходи типові для жорстких рівнянь, але не є ні достатньою, ні необхідною їх ознакою. Наприклад, у рішення з початковим значенням у (0) = 1 (точніше, 2500/2501) немає перехідною фази. На рис.3 показані ламані Ейлера для початкового значення у (0) = 0 і довжин кроків h = 1.974/50 (38 кроків) і h = = 1.875/50 (40 кроків). Як тільки довжина кроку стає трохи більше критичної величини (в даному випадку більше 2 / 50), чисельне рішення йде занадто далеко за рівновагу, і виникають все більш сильні коливання.
До жорстких систем відносяться завдання хімічної кінетики, нестаціонарні процеси у складних радіолангюгах, системи, що виникають при вирішенні рівнянь теплопровідності та дифузії методом прямих, і багато інших. Суворого визначення поняття жорсткості немає, але зазвичай під ним мають на увазі наявність як бистрозатухаючих, так і повільно мінливих компонент рішення.
Жорсткі системи досить важкі для чисельного рішення. Класичні явні методи типу Адамса і Рунге-Кутта вимагають для них неприйнятно дрібного кроку.
До жорстких систем відносяться завдання хімічної кінетики, нестаціонарні процеси у складних радіолангюгах, системи, що виникають при вирішенні рівнянь теплопровідності та дифузії методом прямих, і багато інших. Суворого визначення поняття жорсткості немає, але зазвичай під ним мають на увазі наявність як бистрозатухаючих, так і повільно мінливих компонент рішення.
Жорсткі системи досить важкі для чисельного рішення. Класичні явні методи типу Адамса і Рунге-Кутта вимагають для них неприйнятно дрібного кроку.
ДИНАМІЧНІ СИСТЕМИ В ЕКОНОМІЦІ
Прикладом динамічної системи в економіці може служити модель організації рекламної кампанії. Фірма починає виробляти новий товар або надавати нову послугу. Природно, прибуток від майбутніх продажів має з надлишком покрити витрати на дорогу рекламу. Спочатку витрати можуть перевищувати одержуваний прибуток, тому що обізнаність покупців про товар (послугу) невелика. Далі при збільшенні кількості продажів зросте і прибуток, і, нарешті, наступить насичення, і подальше продовження рекламної кампанії буде безглуздим.
ВИСНОВКИ
Однією з важливих наукових проблем природознавства є вирішення задачі передбачення поведінки досліджуваного об'єкта в часі і просторі на основі певних знань про його початковий стан. Цим і займається теорія динамічних систем. Вона використовується у фізиці, механіці, біології, економіці та в інших найрізноманітніших науках.
Однак при використанні систем динамічних у різних науках слід враховувати також їхню специфіку і виважено обирати потрібний клас динамічних систем.
Особливим класом динамічних систем є жорсткі системи. Їх використання на практиці пов'язане з рядом труднощів. З ними пов'язане поняття стійкості динамічних систем.
Однак при використанні систем динамічних у різних науках слід враховувати також їхню специфіку і виважено обирати потрібний клас динамічних систем.
Особливим класом динамічних систем є жорсткі системи. Їх використання на практиці пов'язане з рядом труднощів. З ними пов'язане поняття стійкості динамічних систем.
ЛІТЕРАТУРА
1. Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов. – М.: ЮНИТИ, 2005 – 409с.
2. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение ОДУ. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. – М.: Мир, 1999г. – 686 с.
3. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Мир, 1998 г. – 285 с.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы решения жестких систем – М.: Мир, 1978. – 308 с.
5. Добрынин А.И., Тарасевич Л.С. Экономическая теория: учебник. – СПб: Питер, 2005. – 414 с.
6. Курс экономической теории: Учебное пособие//Под ред. А.В.Сидоровича – М.: Дело и Сервис, 2001. – 832 с.
7. Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов. – Ростов н/Д: Феникс, 2005. – 409 c.
8. Expert system for Ordinary Differential Equations. [Электронный ресурс]//Faculty of Mathematics, Western University of Timisoara
Режим доступа: http://web.info.uvt.ro/~petcu/epode/e314.htm
9. Ахмеров Р.Р. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [Электронный ресурс]
Режим доступа: http://www.ict.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/nm-ode/index.html
10. Фирсова А.А. Моделирование динамических систем в экономике. [Электронный ресурс]//Персональный сайт магистра ДонНТУ
Режим доступа: http://masters.donntu.ru/2009/fvti/firsova/diss/index.htm
2. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение ОДУ. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. – М.: Мир, 1999г. – 686 с.
3. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Мир, 1998 г. – 285 с.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы решения жестких систем – М.: Мир, 1978. – 308 с.
5. Добрынин А.И., Тарасевич Л.С. Экономическая теория: учебник. – СПб: Питер, 2005. – 414 с.
6. Курс экономической теории: Учебное пособие//Под ред. А.В.Сидоровича – М.: Дело и Сервис, 2001. – 832 с.
7. Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов. – Ростов н/Д: Феникс, 2005. – 409 c.
8. Expert system for Ordinary Differential Equations. [Электронный ресурс]//Faculty of Mathematics, Western University of Timisoara
Режим доступа: http://web.info.uvt.ro/~petcu/epode/e314.htm
9. Ахмеров Р.Р. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. [Электронный ресурс]
Режим доступа: http://www.ict.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/nm-ode/index.html
10. Фирсова А.А. Моделирование динамических систем в экономике. [Электронный ресурс]//Персональный сайт магистра ДонНТУ
Режим доступа: http://masters.donntu.ru/2009/fvti/firsova/diss/index.htm