Пусть map(.) - это функция отображения детали m_j^' (из I) в m_j^" в соответствии с исходным геометрическим преобразованием. Например, принимая во внимание смещение [x, y] и ротацию против часовой стрелки вокруг источника (источник обычно выбирается как центр тяжести деталей (т. е. средняя точка); перед шагом сопоставления координаты деталей корректируются путем вычитания из них координат источника), получим:

Пусть mm(.) - это индикационная функция, которая возвращает 1 в случае, если детали m_j^" и m_i сопоставимы согласно уравнениям 5 и 6.

Тогда проблема поиска соответствия может быть сформулирована, как:

где P(i) - неизвестная функция, которая определяет сочетание в пару деталей (соответствие между соответствующими деталями) в изображениях I и T; в частности, каждая деталь может иметь в точности только одну парную ей деталь на другом изображении отпечатка пальца или не иметь ни одной парной детали вообще:

1. P(i) = j обозначает, что парной детали m_i в T является деталь m_j^' в I;
2. P(i) = null обозначает, что деталь m_i в T не имеет парной детали в I;
3. При условии, что для всех i = 1..m, P(i)<>j деталь m_j^' в I не имеет парной детали в T;
4. Для всех i = 1..m, k = 1..m, i<>k: P(i) <> P(k) или P(i) = P(k) = null - означает, что каждая деталь в I связана с максимум одной деталью в T.

Обозначим, что, в общем,P(i) = j не обязательно означает, что детали m_j^' и m_i сочетаются в пару согласно с уравнениями 5 и 6, но только если они наиболее вероятная пара при текущем преобразовании.

Уравнение 7 требует, чтобы количество парных деталей было максимизировано, независимо от того, насколько точно устанавливается это соответствие. Другими словами, если две детали удовлетворяют уравнениям 5 и 6, тогда их вклад в уравнение 7 производится независимо от их пространственного расстояния и разницы в их направлении. Альтернативы уравнению 7 могут быть представлены, когда разность (пространственное расстояние и разница в направлении деталей) для оптимального совмещения пар деталей также принимается во внимание.

Решение проблемы сопоставления деталей является тривиальным (очевидным), когда известно корректное расположение (x, y, ); фактически, нахождение сочетающихся пар (например, использование функции P) должно определяться для каждого i = 1..m:

, если для всех k = 1..n, mm (map(m_k^',m_i) = 0.

Выполняя все 4 ограничения, каждая сопряженная (сочтенная в пару) деталь m_j^" должна быть помечена с целью избежать ее сопряжения в пару дважды и более. Рисунок 4.4 показывает пример сопряжения деталей, полученный при сопоставлении изображений отпечатков пальцев.

Рисунок 4.4 – Детали из I отображаются (наносятся на карту) в координаты Т для данного выравнивания. Детали из Т обозначаются стрелкой с началом о, в то время как детали из I – стрелкой с началом х. Отметим, что детали I относятся к m", так как они отобразились в Т координаты (что показано на рисунке). Сочетание в пару выполняется согласно критерию минимальное расстояние. Пунктирные окружности указывают максимальное пространственное расстояние. Серые окружности означают успешно сопоставленные детали; деталь m₁ из Т и деталь m₃^" из I не имеют парных, детали m₃ и m₆^" не могут быть сопоставлены в пару в связи с их огромной разницей в направлении.

Для достижения оптимального сопряжения (согласно уравнению 7), должна быть принята незначительно более усложненная схема: фактически, в случае, если деталь из выходит за пределы пространства допусков или более чем одной детали в Т, оптимум достигается, когда максимизируется количество сопоставившихся пар (простой пример представлен на рисунке 4.5).

Рисунок 4.5 – В этом примере, если m₁ будет сопоставлена с m₂^" (наиболее точно соответствующая (ближайшая) деталь), m₂ останется без пары; однако сочетание в пару m₁ с m₁^" приведет к тому, что деталь m₂ будет сопоставлена с m₂^" таким образом максимизируя выражение 7.

В литературе распознавания образов проблема распознавания деталей, как правило, адресуется как проблема сопоставления точечных образов. Центральную роль во многих задачах распознавания образов и компьютерного зрения занимает сопоставление точечных образов, которым в значительной степени занимаются приводящие к хорошим результатам семейства аппроксимации, известные как релаксационные методы, алгебраические и ориентационные исследовательские решения, методы минимизации энергии, методы, основанные на преобразовании Hough и др.